专题02 空间向量在立体几何中的应用（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量立体几何专项训练，以向量法为核心，构建“概念-判定-计算-应用”四层方法体系，通过10类题型系统培养数学思维与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线方向向量|4题|位置向量表示及充要条件|基础概念，为向量应用奠基| |平面法向量|4题|法向量定义及求法|承接方向向量，构建平面向量表示| |位置关系证明|4题|线线/线面/面面平行垂直的向量判定|综合方向向量与法向量，实现逻辑推理| |空间角计算|12题|线线/线面/面面角的向量公式|基于位置关系，解决度量问题| |空间距离计算|12题|点面/点线/异面直线距离公式|深化度量计算，拓展向量应用场景| |存在性问题|4题|参数设元与向量方程求解|综合应用，培养创新意识与问题解决能力|

专题02 空间向量在立体几何中的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 直线的方向向量与直线的向量表示 题型02 平面的法向量及其应用 题型03 空间位置关系的向量证明 题型04 两条直线所成的角 题型05 直线与平面所成的角的角 题型06 两个平面所成的角 题型07 点到平面的距离 题型08 点到直线距离的向量求法 题型09 异面直线距离的向量求法 题型10 立体几何中存在性的问题 ▌题型01 直线的方向向量与直线的向量表示 空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的方向向量为，若点在直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【变式1-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式1-3】（25-26高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 平面的法向量及其应用 空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 【典例2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 ▌题型03 空间位置关系的向量证明 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 【典例3】（2026·贵州遵义·模拟预测）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．面 D．面 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【变式3-2】（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【变式3-3】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． ▌题型04 两条直线所成的角 利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 【典例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·辽宁·三模）在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． ▌题型05 直线与平面所成的角的角 利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 【典例5】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．    (1)证明：平面平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【变式5-1】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式5-2】（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【变式5-3】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． ▌题型06 两个平面所成的角 利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 【典例6】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 【变式6-1】（25-26高二下·山西·期末）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点. (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 【变式6-2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式6-3】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． ▌题型07 点到平面的距离 点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【典例7】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【变式7-2】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【变式7-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． ▌题型08 点到直线距离的向量求法 点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 【典例8】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【变式8-2】（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． ▌题型09 异面直线距离的向量求法 【典例9】（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【变式9-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ ▌题型10 立体几何中存在性的问题 【典例10】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式10-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若边上存在一动点N，求与平面的正切值范围． 【变式10-2】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． (1)证明：平面平面． (2)若是棱的中点，求三棱锥的体积． (3)在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 【变式10-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量在立体几何中的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 直线的方向向量与直线的向量表示 题型02 平面的法向量及其应用 题型03 空间位置关系的向量证明 题型04 两条直线所成的角 题型05 直线与平面所成的角的角 题型06 两个平面所成的角 题型07 点到平面的距离 题型08 点到直线距离的向量求法 题型09 异面直线距离的向量求法 题型10 立体几何中存在性的问题 ▌题型01 直线的方向向量与直线的向量表示 空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 【典例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的方向向量为，若点在直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意有存在实数，使得，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意，所以存在实数，使得， 所以，所以，即. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用直线的一个方向向量与共线即可求解. 【详解】因为，所以， 因为直线的一个方向向量为，所以， 即，所以， 解得，则. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·北京·阶段检测）在空间直角坐标系中，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由两直线垂直有对应方向向量的数量积为0，再应用空间向量数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，故. 故选：B 【变式1-3】（25-26高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. ▌题型02 平面的法向量及其应用 空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 【典例2】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 【变式2-1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 【变式2-2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 【变式2-3】（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC ▌题型03 空间位置关系的向量证明 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 【典例3】（2026·贵州遵义·模拟预测）在正方体中，、分别棱，的中点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．面 D．面 【答案】B 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量共线的基本定理可得A错误；由向量的数量积为零可得B正确，C错误；求出面的法向量，由与不垂直可得D错误. 【详解】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2， 对于A，， 则， 若，则，无解，故A错误； 对于B，，， 则，所以，即，故B正确； 对于C，，，， 则，所以与不垂直，因为平面，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D，，， 设面的法向量为， 则，取，则， 所以，即与不垂直，所以与平面不平行，故D错误； 故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用直线方向向量和平面法向量的关系证明线面关系即可. 【详解】由已知得直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 可得，则或，故D正确. 故选：D 【变式3-2】（25-26高一下·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. ▌题型04 两条直线所成的角 利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 【典例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 【变式4-1】（2026·辽宁·三模）在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，求得的坐标，结合向量的加减公式，即可求解； 解法二：设，取的中点P，连接，证得和，得到（或其补角）是异面直线与所成角，在中，结合余弦定理，即可求解． 【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得， 则， 所以. 解法二：设，则， 如图所示，取的中点P，连接， 在正方形中，可得， 在三角形中，因为是的中点，可得， 所以（或其补角）是异面直线与所成角， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得, 在中，由余弦定理得． 故选:D． 【变式4-2】（25-26高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 【变式4-3】（2026·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. ▌题型05 直线与平面所成的角的角 利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 【典例5】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．    (1)证明：平面平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)在图中连接，，    由是正方形，则和都是等腰三角形， 又是正方形中心，所以，， 因为，且，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）根据正方形的性质，及线面垂直的判定和性质即可证明； （2）先根据题意及面面垂直的性质得到，，两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再计算及平面的一个法向量，进而计算即可． 【详解】（1）略 （2）在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大， 此时平面平面， 因为，且平面平面，平面， 所以平面ABC，所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，    因为正方形的边长为，则， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为． 【变式5-1】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意，是边长为2的等边三角形， 过点作于点，连接， 则，又，则，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）作，证明，从而证明平面，再根据面面垂直的判定，证明两平面垂直； （2）在第（1）问的基础上，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 【变式5-2】（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)底面为矩形，，又平面，平面， ，又，，平面，平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，，可得， ； 因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为． 【变式5-3】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．    (1)求证：平面； (2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)    如上图，连接交于，连接， 由题可知：底面是正方形，所以为的中点， 又因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连接交于，连接，再根据线面平行的判定定理求解即可； （2）建系，求得平面法向量，和直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为底面是正方形，所以，由二面角为直二面角， 得平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又，平面，平面，    以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系，直线与平面所成角为． ，，，， 由图可知为平面的法向量， 则，. ▌题型06 两个平面所成的角 利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 【典例6】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点. (1)求证：平面； (2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值； 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，则，， 所以，显然平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）因为，设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量可以为， 则设两平面所成角为，则， 为锐角，所以两平面所成角的余弦值为. 【变式6-1】（25-26高二下·山西·期末）在三棱锥中，和均为等边三角形，，点为线段的中点. (1)证明：平面平面； (2)若直线与所成角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)连接、，如图所示： 因为和均为等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，，                        因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面.                      (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证出平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出结论； （2）取中点找出二面角，建立空间直角坐标系后借助异面直线的夹角公式即可求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接、，如图所示， 因为，为的中点，则，， 所以二面角的平面角为，设， 因为，、平面，所以平面，            以点为原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，                              由题意可得，           解得（舍去）或，故二面角的余弦值为. 【变式6-2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知四棱锥的底面是菱形，，交于点，底面，点为棱上的点.在空间坐标系中，点，，，. (1)求点坐标； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质及点的坐标确定垂足的坐标； （2）由已建立的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式计算； （3）分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）因底面，且均在平面上，所 以面即为平面. 又因为，所以平行于轴且在平面上， 故点的横、纵坐标与点相同，竖坐标为，所以. 如图，作出符合题意的图形， （2）直线的方向向量可取， 已知，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，，取得. 设直线与平面所成角为，且，， 则，因为，故. 因此直线与平面所成的角为. （3）平面，，, 设平面的法向量为，则， 即，令，得，，即. 由（2）的分析知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. 因此​​​平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式6-3】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； (3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. (2) (3)存在点， 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）方法一：设在面上射影为，根据线面角定义可知为与平面所成角，由长度关系可求得的长； 方法二：假设，由线面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略. （2）方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. （3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. ▌题型07 点到平面的距离 点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【典例7】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 【变式7-1】（25-26高二上·上海·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，. (1)求点到平面的距离. (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标及平面 的法向量，利用向量法即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面 的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）因为平面，，，所以， 以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ，，，， 过点作于点，则四边形为矩形，所以，， 在中，，所以，因为，所以， 所以 。 则 ，， 设平面 的法向量为 ， 则 ， 取，得，所以 ， 又 ，所以点到平面的距离. （2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的大小为 . 【变式7-2】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． 【变式7-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形． (1)证明：平面平面． (2)若，底面，求平面与平面之间的距离． 【答案】(1)证明：，分别是，的中点， 平面，平面，平面 且，四边形是平行四边形，． 平面，平面，平面． 又，平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）直接根据面面平行的判定定理可得； （2）直接用向量方法计算面面间的距离可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又因为底面是正方形，所以. 故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量是， 则，， 取，得，，则． 所以点到平面的距离为. 故平面与平面之间的距离为． ▌题型08 点到直线距离的向量求法 点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 【典例8】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 【变式8-1】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知点，，，则点A到直线BC的距离为______． 【答案】/ 【详解】因为点，，， 所以， 于是有， 所以， 所以点A到直线BC的距离为. 【变式8-2】（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 【变式8-3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 四点共面，求得；再建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离的求解公式，计算即可. 【详解】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. ▌题型09 异面直线距离的向量求法 【典例9】（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）    A． B． C．与夹角是 D．直线与直线的距离是 【答案】A 【分析】设，依题得，运用向量数量积的运算计算即可判断A，B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项． 【详解】设， 则， A选项：， ， 所以，A正确， B选项： 所以B错误， C选项：，设夹角为， 计算得， ， 因此C错误， D选项：在平行六面体中， 易得， 则得，故， 故点到直线的距离即直线与直线的距离． 因， 且， 则， 因此直线距离为，所以D错误. 故选：A 【变式9-1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 【变式9-3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故答案为： ▌题型10 立体几何中存在性的问题 【典例10】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 【变式10-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若边上存在一动点N，求与平面的正切值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质证明平面，然后得到，然后证明平面，最后得到. （2）先利用与平面所成角的正弦值为找出之间的关系，然后利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值. （3）先找出与平面所成的角，然后根据正切函数的单调性求出线面角的正切值范围. 【详解】（1）为矩形，，又平面平面，且平面平面， 平面，又平面，. 又为正三角形，是的中点，. 又平面，平面，平面，. （2）取的中点，连接，为正三角形，， 又平面平面，且平面平面，平面， 如图所示，过作的平行线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，. 易得平面的法向量为，记与平面所成角为， 根据题意有，整理解得，即. ，，，. ，. 记平面的法向量为. ，令，得， . 同理可求得平面的法向量 . 记平面与平面所成角为. . 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）如图，过作交于点，连接. 平面平面，且平面平面，又，平面. 为直线与平面所成角. 当时，此时有最小值，最小值为. 当点与点重合时，此时有最大值，最大值为. ，又 ， . 与平面的正切值范围为. 【变式10-2】（25-26高三下·贵州黔东南·阶段检测）如图1，在平行四边形中，，，，将沿翻折成如图2所示的四棱锥，使． (1)证明：平面平面． (2)若是棱的中点，求三棱锥的体积． (3)在图2中，平面内是否存在点，使得直线平面，若存在，说明点的轨迹，并探究该轨迹与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明如下： 取的中点，连接，， 且， 四边形为平行四边形，， ，由平行四边形性质得， 则， 又，且， 又，， ， 平面， 平面， 平面平面. (2). (3)存在，点的轨迹是一条直线.． 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明面面垂直. （2）利用垂直找到棱锥的高，使用体积公式求棱锥. （3）建立空间直角坐标系，将线面的平行关系转化为向量的垂直关系，求出点的轨迹，最后求出轨迹的方向向量和平面法向量求夹角余弦值绝对值，对应所求正弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面平面，且平面平面， 又，平面，平面， . （3）以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，， ，， 设平面的法向量为， 由 令，得 是平面的一个法向量， 设点的坐标为， ， 平面， ， 可得， 点的轨迹是一条直线. 设，所以， 设平面的法向量为， 由， 令，得，， 是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【变式10-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $