3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

数学　选择性必修　第一册　作业与测评 §4　向量在立体几何中的应用 4．1　直线的方向向量与平面的法向量 知识点一　求直线的方向向量 1．[多选]已知一直线经过点A(2，3，2)，B(－1，0，5)，下列向量中是该直线的方向向量的是(　　) A．a＝(1，1，1) B．a＝(－1，－1，1) C．a＝(－3，－3，3) D．a＝(1，1，－1) 答案　BCD 解析　由题知，＝(－3，－3，3)，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，故选BCD． 2．如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线EF的一个方向向量． 解　＝＋＋ ＝(－)－＋ ＝－－ ＝a－b－c． 故直线EF的一个方向向量为a－b－c． 知识点二　直线的方向向量的应用 3．已知点A(2，3，1)，B(1，－5，2)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵C在线段AB上，且＝，∴＝，设C(x，y，z)，则(x－2，y－3，z－1)＝(1－2，－5－3，2－1)，即解得 4．若△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) A．5 B． C．4 D．2 答案　A 解析　设＝λ，又＝(0，4，－3)，则＝(0，4λ，－3λ)．又＝(－4，5，0)，∴＝＋＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝5．故选A． 5．若向量a＝(x，2，1)，b＝(1，y，3)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 答案　 解析　根据题意可知a∥b，故存在实数λ，使a＝λb，即(x，2，1)＝λ(1，y，3)，即解得所以x＋y＝＋6＝． 知识点三　求平面的法向量 6．过点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)的平面的一个法向量为________． 答案　(1，1，1)(答案不唯一) 解析　设平面的一个法向量为n＝(x，y，1)，由得∴∴n＝(1，1，1)． 7．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量． 解　∵SA⊥底面ABCD，底面是直角梯形 ，且∠ABC＝90°， ∴SA，AD，AB两两垂直． 以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D，C(1，1，0)，S(0，0，1)， 则＝，＝， 易知向量＝是平面SBA的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面SCD的一个法向量， 则 即取x＝2，则y＝－1，z＝1， 所以平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1)． 知识点四　平面的法向量的应用 8．[多选]已知平面α内有一点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是(　　) A．P1(1，－1，1) B．P2 C．P3 D．P4 答案　BC 解析　对于A，＝(1，0，1)，·n＝≠0，排除A；同理可排除D；对于B，＝，∴·n＝0；对于C，＝(0，－2，1)，∴·n＝0．故选BC． 9．在空间直角坐标系O－xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1)，则平面α的方程是________． 答案　x－y＋2z＋1＝0 解析　设P(x，y，z)是平面α内任意一点，由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0． 10．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC＝a，F是PB的中点．在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 解　存在．理由如下： 由题意知，DA，DC，DP两两垂直． 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，B(a，a，0)，F，假设存在满足条件的点G， 设G(x，0，z)，则＝， 又＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若GF⊥平面PCB， 则·＝·(a，0，0)＝a＝0，得x＝． ·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，得z＝0，所以点G的坐标为． 故存在满足条件的点G，且点G的坐标为． 一、选择题 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任一点，则不能作为直线AA1的方向向量的是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合，则这个向量就是直线AA1的一个方向向量．故选C． 2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　) A．(0，1，2) B．(3，6，9) C．(－1，－2，3) D．(3，6，8) 答案　B 解析　由题意知，与a共线的非零向量都能作为平面γ的法向量，由(3，6，9)＝3(1，2，3)知，向量(3，6，9)与向量a＝(1，2，3)共线．故选B． 3．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 答案　B 解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则∴x＝y＝z，又单位向量的模为1，故只有B正确． 4．已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)．若c为平面α的一个法向量，则m，n的值分别为(　　) A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－2 答案　A 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得即解得 5．[多选]已知直线l过点P(1，0，－1)，向量a＝(2，1，1)是直线l的一个方向向量，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4，2) B．(0，2，－2) C． D．(0，－1，1) 答案　AC 解析　因为＝(0，2，4)，向量a是直线l的一个方向向量，若n是平面α的一个法向量，则必须满足把选项代入验证，只有A，C满足．故选AC． 二、填空题 6．如图所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________． 答案　45°或135° 解析　∵正四棱锥的底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD，∴为平面SBD的一个法向量，∴〈，〉＝45°，∴平面SBD的法向量与的夹角为45°或135°． 7．已知平面α经过点A(0，0，2)，且平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则x轴与平面α的交点坐标是______． 答案　(－2，0，0) 解析　设交点为M(x，0，0)，则＝(x，0，－2)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则n·＝0，解得x＝－2，故x轴与平面α的交点坐标是(－2，0，0)． 8．已知向量b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则点E的坐标为________． 答案　 解析　＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，因为⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，点E的坐标为． 三、解答题 9．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图所示，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(1，，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E， 故＝(1，，0)，＝， 设n＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量， 则即 令y＝－1，则x＝，z＝，即n＝(，－1，)， 所以平面ACE的一个法向量为(，－1，)． 10．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝，B1D与平面ACD1交于点M，试建立恰当的空间直角坐标系，求点M的坐标． 解　易知AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D1(0，3，3)，D(0，3，0)，＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(－，3，－3)， 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量． 则即 令x＝1，则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的方程为x－y＋z＝0， 设＝λ，则＝(－λ，3λ，－3λ)，M(－λ，3λ，3－3λ)， 所以－λ－×3λ＋(3－3λ)＝0， 解得λ＝， 所以M． 9 学科网（北京）股份有限公司 $$