3. 2.2　空间向量的数量积（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【导与练】高中同步全程学习（北师大版）

2.2.3　空间向量的数量积 基础巩固 知识点一:空间向量的数量积 1.下列式子中正确的是(　D　) (A)|a|·a=a2 (B)(a·b)2=a2·b2 (C)(a·b)c=a(b·c) (D)|a·b|≤|a||b| 解析:|a|·a是与a共线的向量,a2是实数,故A错误; (a·b)2=|a|2·|b|2·cos2<a,b>≠a2·b2,故B错误; (a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故C错误. |a·b|=||a|·|b|·cos<a,b>|≤|a|·|b|.故选D. 2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　B　) (A)-6 (B)6 (C)3 (D)-3 解析:由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B. 3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　　.  解析:·=·=||||cos<,>=a· a·cos 60°=a2. 答案:a2 知识点二:向量的夹角与向量模的问题 4.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　B　) (A)30° (B)45° (C)135° (D)60° 解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0,所以a·a-a·b= |a|2-|a||b|cos<a,b>=1-1××cos<a,b>=0,所以cos<a,b>=. 因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°. 故选B. 5.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|等于(　A　) (A)22 (B)48 (C) (D)32 解析:因为|a+b|2=a2+b2+2a·b, |a-b|2=a2+b2-2a·b, 所以|a-b|2=2(a2+b2)-|a+b|2=2×(132+192)-242=484, 所以|a-b|=22.故选A. 知识点三:投影向量与投影数量 6.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于(　D　) (A)-a2 (B)-a2 (C)a2 (D)a2 解析:·=(-)·(-)=-·+=-a·acos120°+ a2=a2.故选D. 能力提升 7.如图所示,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:因为=++, 所以=(++C)2 =+++2(·+·+·) =12+22+32+2(0+1×3cos 60°+2×3cos 60°) =14+2×=23, 所以||=,即AC′的长为.故选B. 8.已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(　B　) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b 解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2, |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 因为|a+b|=|a-b|, 所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 即2a·b=-2a·b,所以a·b=0,a⊥b.故选B. 9.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题: ①(++)2=3; ②·(-)=0; ③与的夹角为60°. 其中正确命题的个数是(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 解析:根据数量积的定义知①②正确.与的夹角为120°,所以③不正确.故选B. 10.已知长方体ABCDA1B1C1D1,则下列向量的数量积不可能为0的是(　D　) (A)· (B)· (C)· (D)· 解析:对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有·=0;对于选项B,当四边形ABCD为正方形时,AC⊥BD,易得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有·=0;对于选项C,由长方体的性质,可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有·=0;对于选项D,由长方体的性质,可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即·≠0.故选D. 11.在空间四边形ABCD中,·+·+·=　　　.  解析:原式=·+·+·(-)=·(-)+· (+)=·+·=0. 答案:0 12.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围为　　　.  解析:由向量2te1+