3.2.2函数的奇偶性(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础全面练”与“综合应用练”分层设计，覆盖函数奇偶性的概念理解、性质应用及综合问题解决，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|奇偶性定义、简单性质应用、解析式求法|选择（含多选）、填空、解答结合，如判断函数奇偶性、利用奇偶性求参数| |综合应用练|奇偶性与单调性综合、复合函数奇偶性、二次函数与奇函数结合|解答题为主，如函数平移后奇偶性分析、含参数的综合解析式求解|

　函数的奇偶性(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)(2026·娄底高一检测)设函数f(x)=|x3-3x|,若f(-m)=a,则f(m)+f(2)= (　　) A.2-a　 B.a C.a+1　 D.a+2 2.(5分)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=ax3+1,若f(2)=5,则a= (　　) A.- B. C.- D. 3.(5分)(2026·遵义高一检测)若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则 (　　) A.f(4)<f(-3)<f(2) B.f(2)<f(-3)<f(4) C.f(-3)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(-3) 4.(5分)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= (　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 5.(5分)若函数f(x)=为奇函数,则a= (　　) A. B. C. D.1 6.(5分)(多选)(2026·咸阳高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是 (　　) A.f(-1)=0 B.当x<0时,f(x)=-x-x2 C.f(x)在区间(-1,0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1) 7.(5分)已知函数f(x)为R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=　　.  8.(5分)已知定义在[a-4,2a-2]上的奇函数f(x)=2 024x3-2 023x+b+2,则f(a)+f(b)的值为　　.  9.(5分)(2026·上海高一检测)若y=x2-|x-1+m|是偶函数,则m=　　.  10.(10分)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式. 【综合应用练】 11.(5分)已知函数f(x)=x3-6x2,若g(x)=f(x+a)-b为奇函数,则 (　　) A.a=2,b=16 B.a=-2,b=-16 C.a=-2,b=16 D.a=2,b=-16 12.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,则 (　　) A.f(0)=0 B.f(1)=2 C.f(x)-1为偶函数 D.f(x)-1为奇函数 13.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=3,则a=　　.  14.(10分)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 15.(10分)已知二次函数f(x)满足:f(x+1)=f(x)+2x+2,f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时g(x)=f(x),求g(x)在R上的解析式. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)(2026·娄底高一检测)设函数f(x)=|x3-3x|,若f(-m)=a,则f(m)+f(2)= (　　) A.2-a　 B.a C.a+1　 D.a+2 【解析】选D.注意到f(-x)=|(-x)3-3(-x)|=|-x3+3x|=|x3-3x|=f(x), 所以f(x)为偶函数,故f(m)=f(-m)=a.又因为f(2)=2,故f(m)+f(2)=a+2. 2.(5分)已知函数f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=ax3+1,若f(2)=5,则a= (　　) A.- B. C.- D. 【解析】选D.函数f(x)是奇函数,f(2)=5,则f(-2)=-f(2)=-5, 又当x<0时,f(x)=ax3+1,即f(-2)=a(-2)3+1=-8a+1=-5,解得a=. 3.(5分)(2026·遵义高一检测)若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则 (　　) A.f(4)<f(-3)<f(2) B.f(2)<f(-3)<f(4) C.f(-3)<f(2)<f(4) D.f(4)<f(2)<f(-3) 【解析】选B.因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,所以f(-3)=f(3), ∀x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,因为2<3<4,所以f(2)<f(3)=f(-3)<f(4). 4.(5分)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b= (　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 【解析】选C.依题意,当x>0时,-x<0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(-x)]=-x2+x, 而当x>0时,f(x)=ax2+bx, 因此ax2+bx=-x2+x,则a=-1,b=1,f(x)=-x2+x,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+(-x)]=x2+x, 又f(0)=0=-f(0),于是∀x∈R,f(x)=-f(-x),所以a=-1,b=1,所以a+b=0. 5.(5分)若函数f(x)=为奇函数,则a= (　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即f(-x)==-=-, 所以(3x-2)(x+a)=(3x+2)(x-a),即3x2+(3a-2)x-2a=3x2-(3a-2)x-2a, 所以3a-2=0,解得a=. 6.(5分)(多选)(2026·咸阳高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是 (　　) A.f(-1)=0 B.当x<0时,f(x)=-x-x2 C.f(x)在区间(-1,0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1) 【解析】选ABD.对于A选项,因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(-1)=f(1)=0,故A正确; 对于B选项,设x<0,所以-x>0,又因为f(x)=f(-x),所以f(x)=f(-x)=-x-x2,故B正确; 对于C选项,当x≥0时,f(x)=x-x2=+,在区间(0,)上为增函数,又由f(x)为偶函数,则f(x)在区间(-,0)上为减函数,故C错误; 对于D选项,当x≥0时,f(x)=x-x2>0, 解得0<x<1,又因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,若f(x)>0,则有-1<x<0,则f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),故D正确. 7.(5分)已知函数f(x)为R上的偶函数,当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=　 x(x+1)　.  【解析】当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故f(x)=f(-x)=x(x+1). 8.(5分)已知定义在[a-4,2a-2]上的奇函数f(x)=2 024x3-2 023x+b+2,则f(a)+f(b)的值为　0　.  【解析】因为f(x)=2 024x3-2 023x+b+2是定义在[a-4,2a-2]上的奇函数, 所以a-4+(2a-2)=0,且f(0)=b+2=0. 解得a=2且b=-2.所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0. 9.(5分)(2026·上海高一检测)若y=x2-|x-1+m|是偶函数,则m=　1　.  【解析】由题设,函数的定义域为R,且(-x)2-|-x-1+m|=x2-|x-1+m|恒成立, 所以x2-|x+1-m|=x2-|x-1+m|, 即|x+1-m|=|x-1+m|恒成立, 则对于x∈R,恒有x+1-m=x-1+m或x+1-m=-(x-1+m), 若x+1-m=-(x-1+m),则x=0,不符合题意; 故x+1-m=x-1+m,所以m=1. 10.(10分)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式. 【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=x+1(x<0), 所以当x<0时,f(x)=-x-1. 又x=0时,f(0)=0,所以f(x)=. 【综合应用练】 11.(5分)已知函数f(x)=x3-6x2,若g(x)=f(x+a)-b为奇函数,则 (　　) A.a=2,b=16 B.a=-2,b=-16 C.a=-2,b=16 D.a=2,b=-16 【解析】选D.因为g(x)=f(x+a)-b为奇函数,f(x)=x3-6x2,所以f(x+a)-b+f(-x+a)-b=0,所以(x+a)3-6(x+a)2-b+(-x+a)3-6(-x+a)2-b=0,所以(x+a)3-6(x+a)2-b-(x-a)3-6(x-a)2-b=0, 所以(6a-12)x2+2a3-12a2-2b=0,所以6a-12=0,2a3-12a2-2b=0,所以a=2,b=-16. 12.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,则 (　　) A.f(0)=0 B.f(1)=2 C.f(x)-1为偶函数 D.f(x)-1为奇函数 【解析】选D.对于A,令b=0,则f(a)f(0)-f(a)=0,得f(a)[f(0)-1]=0,所以f(a)=0或f(0)=1,当f(a)=0时,f(a)f(b)-f(a)=ab-b不恒成立,所以f(0)=1,所以A错误; 对于B,令a=b=1,则f(1)f(1)-f(1)=0,得f(1)[f(1)-1]=0,所以f(1)=0或f(1)=1, 由选项A可知f(1)≠0,所以f(1)=1,所以B错误; 对于C,D,令a=0,b=x,则f(0)f(x)-f(0)=-x,由选项A可知f(0)=1, 所以f(x)=1-x,所以f(x)-1=1-x-1=-x,令g(x)=f(x)-1=-x,则g(-x)=x=-g(x), 所以g(x)为奇函数,即f(x)-1为奇函数,所以C错误,D正确. 13.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=3,则a=　2　.  【解析】因为y=f(x)是偶函数,所以f(-3)=(-3)2-3a=9-3a=f(3)=3,解得a=2. 14.(10分)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式. 【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 由f(x)+g(x)=,① 用-x代替x,得f(-x)+g(-x)=, 所以f(x)-g(x)=,② (①+②)÷2,得f(x)=; (①-②)÷2,得g(x)=. 15.(10分)已知二次函数f(x)满足:f(x+1)=f(x)+2x+2,f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; 【解析】(1)依题意,设f(x)=ax2+bx+1,a≠0,由f(x+1)=f(x)+2x+2, 得a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x+2,整理得2ax+a+b=2x+2, 于是,解得a=1,b=1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2+x+1. (2)若g(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时g(x)=f(x),求g(x)在R上的解析式. 【解析】(2)由(1)知,当x>0时,g(x)=f(x)=x2+x+1,由g(x)为定义在R上的奇函数,得g(0)=0, 当x<0时,-x>0,g(x)=-g(-x)=-[(-x)2+(-x)+1]=-x2+x-1, 所以g(x)在R上的解析式为g(x)=. 学科网（北京）股份有限公司 $