培优提升 周期性、奇偶性及对称性 课后同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“周期性、奇偶性及对称性”为核心，通过A级基础巩固、B级能力提升、C级创新拓展的三层设计，构建从单一概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|周期计算、奇偶性判断、对称性基础|8题选择填空，聚焦定义直接应用，夯实数学抽象基础| |B级|周期与奇偶性综合、参数问题、多选题|6题含多选与中档解答，强化逻辑推理，衔接阶段测评| |C级|抽象函数周期、分段函数综合、跨知识点应用|3题创新情境题，提升数学建模与创新意识，拓展思维深度|

培优专题　周期性、奇偶性及对称性 A级　必备知识基础练 1.y=2sin(x+)的最小正周期为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 2.函数f(x)=x+sin x,x∈R(　　) A.是奇函数,但不是偶函数 B.是偶函数,但不是奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 3.函数y=4sin x的图象关于(　　) A.y轴对称 B.直线x=对称 C.原点对称 D.直线x=π对称 4.函数f(x)=sin(x++φ)为R上的奇函数,则φ的值可以是(　　) A.0 B. C. D.π 5.函数f(x)=cos(2x+)+2的图象的对称轴方程为　　　　　　　　　.  6.函数f(x)=5sin(3x+)+2的图象的对称中心为　　　　　　　　　　.  7.已知函数f(x)=2cos(x++φ)是偶函数,则φ=　　　　　　　　　.  8.定义在R上的函数f(x)的周期为π,且为奇函数,f()=1,则f()=　　　　.  B级　关键能力提升练 9.(多选题)已知函数f(x)=sin|x|,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的最大值为1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)的图象关于直线x=对称 10.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于(　　) A.1 B. C.0 D.- 11.已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的最小正周期为T,且<T<,函数y=f(x+)为奇函数,则f()=(　　) A.- B. C.-1 D. 12.(多选题)关于函数f(x)=4sin(2x+),x∈R,下列命题正确的是(　　) A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cos(2x-) B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 C.函数y=f(x-)是奇函数 D.y=f(x+)的图象关于y轴对称 13.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法: ①对任意的φ,f(x)都既不是奇函数,也不是偶函数; ②存在φ,使f(x)是偶函数; ③存在φ,使f(x)是奇函数; ④对任意的φ,f(x)都不是偶函数. 其中错误的是　　　　　(填序号).  14.已知函数f(x)=+sin πx,则f()+f()+…+f()=　　　　.  C级　学科素养创新练 15.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 026)=　　　　　. 16.已知f(n)=sin,n∈Z,则f(1)+f(2)+…+f(100)=　　　　　.  17.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)是周期为　　　　的周期函数;若当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则当x∈[-6,-2]时,f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  答案 1.D　2sin(x++2π)=2sin[(x+4π)+],所以函数的最小正周期T=4π.故选D. 2.A　由f(-x)=-x-sin x=-(x+sin x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,不是偶函数.故选A. 3.C　y=4sin x是奇函数,图象关于原点对称,A错误,C正确;而sin,sin π=0,则直线x=,x=π都不是y=4sin x的图象的对称轴,B,D错误.故选C. 4.C　f(x)=sin(x++φ)=cos(x+φ),由f(x)为R上的奇函数,则f(0)=cos φ=0,得φ=+kπ,k∈Z,当k=0时,φ=,所给其他φ均不存在整数k使其成立.故选C. 5.x=kπ-(k∈Z)　由2x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z), 所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z). 6.(-,2),k∈Z　令3x+=kπ,解得x=-,k∈Z,则其对称中心为(-,2),k∈Z. 7.kπ-(k∈Z)　+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z). 8.-1　f()=f(π-)=f(-)=-f()=-1. 9.BC　函数f(x)=sin|x|=所以f(x)的图象关于y轴对称,且不具备周期性,不关于直线x=对称,故选项A,D错误,C正确;且f(x)的最大值为1,故B正确.故选BC. 10.B　f(-)=f[×(-3)+]=f()=sin. 11.B　由<T<,得,则<ω<4,因为函数y=f(x+)=sin(ωx+)为奇函数,所以有=kπ,ω=2+6k(k∈Z),则ω=2,所以f()=sin(2×)=sin.故选B. 12.ACD　对于A,f(x)=4sin(2x+)=4cos[-(2x+)]=4cos(-2x)=4cos(2x-),故A正确;对于B,由题意知y=f(x)的最小正周期T==π,故B错误;对于C,f(x-)=4sin[2(x-)+]=4sin 2x,是奇函数,故C正确;对于D,f(x+)=4sin[2(x+)+]=4cos 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称,故D正确.故选ACD. 13.①④　当φ=0时,f(x)=sin x是奇函数. 当φ=时,f(x)=cos x是偶函数. 14.2 025　由题意,函数f(x)=+sin πx,可得f(x)+f(2-x)=+sin πx++sin[π(2-x)]==2, 所以f()+f()+…+f()=f()+f()+f()+f()+…+f()+f()+f()=2×1 012++sin π=2 024+1+0=2 025. 15.2　由题意得f(x+6)==f(x), 所以f(x)的周期为6, 所以f(2 026)=f(6×337+4)=f(4)==2. 16.1+　易知f(n)是以8为周期的周期函数, 因为f(1)+f(2)+…+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+…+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin+sin+sin+sin π=1+. 17.4　f(x)=-x2-8x-15　由题意得f(-x)=f(x),f(2+x)=f(2-x), 所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数. 当x∈[-6,-2]时,x+4∈[-2,2], 所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15. 5 学科网（北京）股份有限公司 $