3.2.2函数奇偶性应用同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念辨析到综合性质应用再到迁移拓展，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|奇偶性定义、图像性质|选择1-5直接考察奇偶性判断与简单应用，夯实概念理解| |中档|性质综合、分段函数|选择6-8结合单调性解不等式，填空9-11涉及分段函数奇偶性，培养推理意识| |提升|迁移拓展、证明应用|解答12作图分析值域，13证明单调性，发展数学思维与表达能力|

函数奇偶性应用 1、 选择题 1.下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是( ) (A)y=|x| (B)y=1-x (C)y= (D)y=-x2+4 【答案】A 【解析】 选项B中,函数不具备奇偶性;选项C中,函数是奇函数;选项A,D中的函数是偶函数,但函数y=-x2+4在区间(0,1)上单调递减.故选A. 2.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( ) A.-2 B.2 C.1 D.0 【答案】A 【解析】 由图知f(1)=,f(2)=, 又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2. 故选A. 3.已知，则“”是“是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 因为是偶函数，所以 所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C. 4.若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3＋x－1 B．f(x)＝－x3－x－1 C．f(x)＝x3－x＋1 D．f(x)＝－x3－x＋1 【答案】A 【解析】 ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 当x<0时，－x>0， ∵x>0时，f(x)＝x3＋x＋1， ∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1， ∴－f(x)＝－x3－x＋1，∴f(x)＝x3＋x－1. 即x<0时，f(x)＝x3＋x－1.故选A. 5．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】A 【解析】 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增． 6．(多选)设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内单调递增，f(－2)＝0，则下列区间中使得xf(x)<0的有(　　) A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(2,4) 【答案】CD 【解析】 结合题意画出草图，如图所示． 当x>0时，f(x)<0得x>2； 当x<0时，f(x)>0得－2<x<0， 结合选项得，使xf(x)<0的区间有(－2,0)和(2,4)．故选CD. 7．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 【答案】A 【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A. 8．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 【答案】C 【解析】 因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故选C. 二、填空题 9.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= . 【答案】-15 【解析】 根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数, g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3, 则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15. 10．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【答案】＋1 【解析】 　∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝f(－x)＝＋1， 即x＜0时，f(x)＝＋1. 11．如果函数F(x)＝是奇函数，则F(－1)＝________，f(x)＝________. 【答案】 1　2x＋3　 【解析】 ∵F(x)为奇函数，∴F(－1)＝－F(1)＝－(2×1－3)＝1. 当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3， 又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)， ∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3. 三、解答题 12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间; (2)写出函数f(x)的值域. 【解析】 (1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图: 所以f(x)的递增区间是(-1,0),(1,+∞). (2)由函数图象可知,f(x)min=f(-1)=-1, 故f(x)的值域为[-1,+∞). 13．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是单调递增还是单调递减？证明你的结论． 【解析】 F(x)在(－∞，0)上单调递减． 证明如下： 任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0. 因为y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，① 又因为f(x)是奇函数， 所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ② 由①②得f(x2)>f(x1)>0. 于是F(x1)－F(x2)＝>0， 即F(x1)>F(x2)， 所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数奇偶性应用 1、 选择题 1.下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是( ) (A)y=|x| (B)y=1-x (C)y= (D)y=-x2+4 2.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( ) A.-2 B.2 C.1 D.0 3.已知，则“”是“是偶函数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3＋x－1 B．f(x)＝－x3－x－1 C．f(x)＝x3－x＋1 D．f(x)＝－x3－x＋1 5．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 6．(多选)设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内单调递增，f(－2)＝0，则下列区间中使得xf(x)<0的有(　　) A．(－1,1) B．(0,2) C．(－2,0) D．(2,4) 7．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 8．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 二、填空题 9.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= . 10．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 11．如果函数F(x)＝是奇函数，则F(－1)＝________，f(x)＝________. 三、解答题 12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x. (1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间; (2)写出函数f(x)的值域. 13．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是单调递增还是单调递减？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $