3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从单调性概念辨析到综合应用，通过基础巩固与能力提升双层次设计，培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|单调性概念、判断证明、简单应用|教材改编题结合易错题，如第1题图象识别、第8题定义证明| |能力提升练|综合判断、复杂应用|多选题与抽象函数问题，如第4题抽象函数单调性证明、第7题分段函数综合应用|

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 基础过关练 题组一　单调性的相关概念 1.(教材习题改编)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(-3,-1)∪(1,4)　　B.(-5,-3)∪(-1,1) C.(-3,-1),(1,4)　　D.(-5,-3),(-1,1) 2.(易错题)(2025河南平顶山期中)下列说法正确的是　(　　) A.若x1,x2∈I,当x1<x2时, f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上单调递增 B.函数f(x)=x2在[0,+∞)上单调递增 C.函数f(x)=-在定义域内单调递增 D.函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞) 题组二　单调性的判断与证明 3.(2025北京丰台期中)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是(　　) A. f(x)=x　　B. f(x)=- C. f(x)=x2+2x　　D. f(x)=|x| 4.(2026山东潍坊期中)已知函数f(x)=x,g(x)=,则(　　) A. f(x)+g(x)在区间(0,+∞)上单调递增 B. f(x)+g(x)在区间(0,+∞)上单调递减 C. f(x)-g(x)在区间(0,+∞)上单调递减 D. f(x)-g(x)在区间(0,+∞)上单调递增 5(2026安徽芜湖师范大学附属中学期中)函数f(x)=的单调递减区间为(　　) A.[1,2]　　B.[2,3]　　C.(-∞,2]　　D.[2,+∞) 6.(2026浙江杭州第二中学期中)函数f(x)=的单调递增区间为(　　) A.(-∞,0)　　B.(-∞,-2)和(-2,0) C.(0,+∞)　　D.(0,2)和(2,+∞) 7.(2026广东佛山期中)函数f(x)=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　　　　　　.  8.(2025江苏扬州中学期中)已知函数f(x)=. (1)求f(f(1))的值; (2)若g(x)=3f(x)+,用单调性的定义证明:函数g(x)在(0,1)上单调递减. 9.(2026广东揭阳期末)已知函数f(x)=. (1)用函数单调性的定义证明函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减; (2)若函数f(x)的定义域为(1,+∞),且f(a2)>f(2a+3),求实数a的取值范围. 题组三　单调性的应用 10.(2026安徽皖江名校联盟期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的最大值为f(3.5),则(　　) A. f(1)>f(5)>f(4)　　B. f(4)>f(1)>f(5) C. f(4)>f(5)>f(1)　　D. f(5)>f(4)>f(1) 11.(2026北京师范大学附属实验中学期中)已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2]∪[3,+∞)　　 B.[2,3]　　 C.(-∞,-3]∪[-2,+∞)　　 D.[-3,-2] 12.(2026云南普洱期中)若函数f(x)=是R上的单调函数,则a的取值范围是(　　) A.　　B.　　C.(0,1]　　D.(0,1) 13.若函数f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是　　　　.  14.(2026四川成都期中)已知函数f(x)=在[1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  15.(2026江西吉安第一中学期中)设函数f(x)=则满足f(k-1)<f(2k)的k的取值范围是　　　　.  16.(2026重庆巴蜀中学校月考)已知函数f(x)=ax2-(a-3)x-6. (1)关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-2≤x≤b},求实数a,b的值; (2)若函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,求实数a的取值范围. 能力提升练 题组一　单调性的判断 1.(多选题)(2026陕西咸阳实验中学月考)函数f(x)=ax+(a∈R)的图象可能是(　　) 　　　　　　 2.(2026天津滨海新区月考)“a≥-1”是“函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递增”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026广西北海期末)已知函数y=f(x)的定义域为R,且∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >0,且f(4)=0,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为(　　) A.(-∞,2)　　B.(4,+∞) C.(-∞,2)∪(4,+∞)　　D.(-∞,2]∪[4,+∞) 4.(2026安徽宿州期中)已知函数f(x)的定义域为R,∀x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>0时,0<f(x)<1且f(2)=. (1)求f(1), f(3)的值; (2)用函数单调性的定义证明f(x)在R上单调递减; (3)若∀x∈R,3f(2x2-a2+a)≤f(x-5)·f(3x-4)恒成立,求实数a的取值范围. 题组二　单调性的应用 5.(2026江西部分学校期中联考)已知函数f(x)=的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)为增函数,则f(f(0))=(　　) A.-8　　B.-4　　C.-2　　D.0 6.(2025湖南常德石门一中入学考试)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若∀x∈(0,+∞),都有f=2,则f=(　　) A.　　B.2 023　　C.2 024　　D.2 025 7.(2026河南信阳期末)已知函数f(x)=且对任意x1,x2∈R,x1≠x2,都有 >1,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2]　　B.(-∞,0)　　 C.(-3,-2]　　D.[-3,-2] 8.(多选题)(2026湖南岳阳期末)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x>0时, f(x)>-1, f(1)=1,则下列结论正确的是(　　) A. f(0)=0 B. f(x)在R上单调递增 C. f(2 026)=4 051 D.不等式f(x2)<f(x)+12的解集为(-2,3) 9.(多选题)(2026广东深圳外国语学校月考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:∀x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,恒有>0,则称f(x)为“理想函数”.则下列函数中是“理想函数”的是(　　) A. f(x)=1　　B. f(x)=x2+2　　 C. f(x)=x3-x　　D. f(x)=x4 答案 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 基础过关练 1.C　由题图知函数f(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)上是下降的,在区间(-5,-3)和(-1,1)上是上升的,因此该函数的单调递减区间为(-3,-1),(1,4). 2.B　对于A,由函数单调性的定义知,应为对于任意的x1,x2∈I,“任意”二字不可缺少,故A错误; 对于B,该二次函数的图象是开口向上,对称轴为直线x=0的抛物线,故函数f(x)=x2在[0,+∞)上单调递增, (写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但当某些点无意义时,单调区间就不包括这些点) 故B正确; 对于C,函数f(x)=-在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递增,但f(x)在定义域内不具有单调性,故C错误; 对于D,函数f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,故f(x)=的单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞), (易错点:具有相同单调性的区间不能用“∪”符号连接)故D错误. 3.D　在(-∞,0)上, f(x)=x单调递增, f(x)=-单调递增; f(x)=x2+2x在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增; f(x)=|x|=显然f(x)在(-∞,0)上单调递减. 4.D　对于A,B,y=f(x)+g(x)=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故A,B错误; 对于C,D,因为函数f(x)=x在区间(0,+∞)上单调递增,g(x)=在区间(0,+∞)上单调递减, 所以f(x)-g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,故C错误,D正确. 5.B　由-x2+4x-3≥0,得1≤x≤3, 所以函数f(x)=的定义域为[1,3](易错点), 易知二次函数y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1的图象开口向下,对称轴方程为x=2, 故y=-x2+4x-3在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,又y=在[0,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)的单调递减区间为[2,3]. 6.B　对于函数f(x)=,令x2-4≠0,解得x≠±2, 故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,+∞), 令u=x2-4,y=, 由x2-4<0可得-2<x<2,由x2-4>0可得x<-2或x>2, 因为外层函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 内层函数u=x2-4在(-∞,-2),(-2,0)上单调递减,在(0,2),(2,+∞)上单调递增, 所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)=的单调递增区间为(-∞,-2)和(-2,0). 7.答案　(-1,1),(3,+∞) 解析　作出f(x)=|x2-2x-3|的图象,如图, 由图可得函数f(x)=|x2-2x-3|的单调递增区间是(-1,1),(3,+∞). 8.解析　(1)因为f(x)=,所以f(1)==3, 所以f(f(1))=f(3)==. (2)证明:g(x)=3f(x)+==7, ∀x1,x2∈(0,1),且x1<x2,(取值) 则g(x2)-g(x1) =7(作差) =7(x2-x1) =,(变形) 因为0<x1<x2<1,所以0<x1x2<1,x1x2-1<0,x2-x1>0, 所以g(x2)-g(x1)<0, 即g(x2)<g(x1),(定号) 因此g(x)在(0,1)上单调递减.(判断) 9.解析　(1)证明:∀x1,x2∈(1,+∞),且x2>x1, 则f(x2)-f(x1)=- =, 因为x2>x1>1,所以(x2-1)(x1-1)>0,x1-x2<0, f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1), 故f(x)在(1,+∞)上单调递减. (2)由(1)得f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以解得 所以1<a<3,故实数a的取值范围是(1,3). 10.C　由题意可知, f(x)=ax2+bx+c的图象开口向下,关于直线x=3.5对称,所以f(1)=f(6), 且f(x)在(3.5,+∞)上单调递减, 所以f(4)>f(5)>f(6)=f(1). 11.A　易知二次函数y=x2-2ax+1的图象开口向上,对称轴为直线x=a,若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递增函数,则有a≤2;若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递减函数,则有a≥3. 综上,a的取值范围是(-∞,2]∪[3,+∞). 12.B　根据题意,结合y=x2-2ax(x≥1)的图象,知f(x)必定为单调递增函数, 则有解得0<a≤,即a的取值范围为. 13.答案　-1 解析　易得f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1. 14.答案　[-2,-1] 解析　由题意可得解得-2≤a≤-1(不仅要考虑区间和对称轴的位置关系,也要考虑定义域的要求). 15.答案　(-1,+∞) 解析　画出分段函数f(x)的图象,如图: 由图可知分段函数f(x)在R上单调递增, 因为f(k-1)<f(2k), 所以k-1<2k,解得k>-1. 16.解析　(1)由题意得a>0且-2和b是ax2-(a-3)x-6=0的两个实数根, 所以f(-2)=4a+2(a-3)-6=0,得a=2,则-2×b=-=-3,所以b=. 综上所述,a=2,b=. (2)①当a=0时, f(x)=3x-6,满足在[2,5]上单调递增,符合题意; ②当a>0时,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,由已知得≤2, 即≤0,即2a(3+3a)≥0且a≠0,解得a≤-1或a>0,则a>0; ③当a<0时,函数f(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=,由已知得≥5,即≥0,即2a(9a+3)≤0且a≠0,可得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围是-,+∞. 能力提升练 1.BCD　当a=0时(易错点), f(x)=,B可能. 当a<0时,函数y=ax和y=在(0,+∞)和(-∞,0)上均单调递减,因此函数f(x)=ax+(a<0)在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,C可能. 当a>0时,函数f(x)=ax+为对勾函数,x>0时,ax>0,>0, f(x)=ax+≥2,当且仅当x=时取等号,当x<0时, f(x)=ax+≤-2=-2,当且仅当x=-时取等号,所以D可能. 2.A　f(x)===1-(对于“一次分式”函数,常利用分离常数的方法转化解析式,然后通过反比例函数的性质得到单调性), 由题意得f(x)的定义域是{x|x≠-2},且f(x)在(-2,+∞)上单调递增, 所以由“函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递增”可得a≥-2,因为{a|a≥-1}⫋{a|a≥-2}, 所以“a≥-1”是“函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递增”的充分不必要条件. 3.C　由>0得<0,所以f(x)在R上单调递减. 又f(4)=0,所以当x<4时, f(x)>0;当x>4时, f(x)<0. 因为(x-2)f(x)<0,所以或解得或 即x<2或x>4.故不等式的解集是(-∞,2)∪(4,+∞). 4.解析　(1)在f(x+y)=f(x)f(y)中,取x=y=1,可得f(2)=[f(1)]2=, 又当x>0时,0<f(x)<1, 所以f(1)=, 取x=1,y=2,可得f(3)=f(1)f(2)=. (2)证明:因为f(x)≠0,所以f(x)=f=>0, ∀x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, 由已知得0<f(x2-x1)<1, 则f(x2)=f((x2-x1)+x1)=f(x2-x1)f(x1),则 =f(x2-x1)∈(0,1), 所以f(x1)>f(x2), 即f(x)在R上单调递减. (3)由已知得3f(2x2-a2+a)≤f(x-5)·f(3x-4)=f(4x-9), 由(1)得f(1)=,则有f(2x2-a2+a)≤f(4x-9)=f(1)f(4x-9)=f(4x-8), 因为f(x)在R上单调递减,所以2x2-a2+a≥4x-8恒成立, 即2x2-4x+8≥a2-a恒成立, 又2x2-4x+8=2(x-1)2+6≥6, 所以a2-a≤6,解得-2≤a≤3, 故实数a的取值范围为[-2,3]. 5.A　因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 所以x=m一定为函数y=2x-x2与y=x-2的图象交点的横坐标. 由2x-x2=x-2,解得x=-1或x=2. 若m=2,则当1≤x≤2时, f(x)=2x-x2单调递减,不符合题意; 当m=-1时, f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,且函数图象连续,故f(x)为增函数,符合题意. 所以f(x)=故f(f(0))=f(-2)=-8. 6.D　由题意设f(x)-=c(c>0),故f(x)=c+,且f(c)=c+=2,所以c=1,所以f(x)=+1,则f=2 025. 7.D　不妨设x1>x2,由>1,可得f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2(关键:构造相同的结构形式),故y=f(x)-x在R上单调递增,即y=在R上单调递增, 所以解得-3≤a≤-2, 即a的取值范围是[-3,-2]. 8.BCD　在f(x+y)=f(x)+f(y)+1中,令x=y=0,则f(0)=2f(0)+1,得f(0)=-1≠0,故A错误; 任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0, 则f(x1-x2)>-1, 则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1-f(x2)=f(x1-x2)+1>0,则f(x1)>f(x2),故f(x)在R上单调递增,故B正确; 在f(x+y)=f(x)+f(y)+1中,令y=1, 则f(x+1)=f(x)+f(1)+1=f(x)+2, 则f(2 026)=f(2 025)+2=f(2 024)+2×2=f(2 023)+2×3=…=f(1)+2×2 025=4 051,故C正确; 因为f(6)=f(1)+5×2=11,所以f(x)+12=f(x)+f(6)+1=f(x+6), 故f(x2)<f(x)+12可化为f(x2)<f(x+6), 因为f(x)在R上单调递增,所以x2<x+6,得-2<x<3,故D正确. 9.CD　不妨设x1>x2>0, 由>0,可得x2 f(x1)-x1 f(x2)>0,∴>,∴函数y=在(0,+∞)上单调递增. 对于A,y==,易知函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合题意; 对于B,y==x+,易知函数y=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以B不符合题意; 对于C,y==x2-1,易知函数y=x2-1在(0,+∞)上单调递增,所以C符合题意; 对于D,y==x3,易知函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以D符合题意. 7 学科网（北京）股份有限公司 $