3.3幂函数限时练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 幂函数同步练通过基础巩固、性质应用、综合拓展三层设计，覆盖解析式、性质、图像及综合应用，梯度合理，适配新授课知识内化与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|解析式求解、简单计算|直接应用概念（如选择1求解析式），夯实数学抽象基础| |进阶层|单调性、定义域、奇偶性|结合充要条件（选择3）、不等式求解（填空12），发展推理能力| |综合层|图像识别、参数讨论|融入图像分析（选择8）、多考点综合（解答15），培养数学思维与表达|

幂函数限时练 一、选择题： 1. [2025鲁山一高高一调研] 已知幂函数f(x)的图象经过点(2, 4)，则该函数的解析式为( ) A. f(x) = B. f(x) = C. f(x) = D. f(x) = x 2. [2026太原成成中学高一质量检测] 若函数f(x)是幂函数，且f(4) = 2f(2)，则f(2) =( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 3. [2025重庆一中高一期末] "m = -2或m = 3"是"幂函数f(x) = (-m-5)的图象不经过原点"的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. [2026郑州七中高一质量测试] 函数f(x) = 的单调递减区间为 A. [-1, 1] B. (-∞, 1] C. (-1, 1] D. [1, 3] 5. [2025新乡一中高一质量检测] 已知幂函数f(x) = （m ∈ Z）的图象关于原点对称，且在(0, +∞)上单调递减，则m的所有可能取值为 A. 0或2 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 6. [2025绵阳中学综合测试] 幂函数y = 的定义域和值域分别为 A. R, R B. [0, +∞), [0, +∞) C. R, [0, +∞) D. [0, +∞), R 7. [2025合肥一中高一期中] 已知幂函数f(x) = （m ∈ R）在(0, +∞)上单调递减，则m的取值范围为 A. (-1, 3) B. [-1, 3] C. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) D. (-∞, -1] ∪ [3, +∞) 8.[2025吉林长春高一期中]如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A． －2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 9.．(多选)(2026·四川广安期中)下列是幂函数的有(　　) A．y＝xπ B．y＝(2x)2 C．y＝ D．y＝－x2 10. [2025济南外国语学校高一月考] 已知幂函数f(x) = 的图象经过点(2, )，则下列结论正确的有 A. f(x)在(0, +∞)上单调递增 B. f(x)是偶函数 C. f(x)的图象过点(4, 2) D. 当x > 1时，f(x) > 1 二、填空题： 11. [2025福州一中高一期中] 写出一个为奇函数的幂函数f(x)＝ ． 12．[2025武汉华中师大一附中高一期中]不等式(a－3) <(1＋2a) 的解集为 ． 2a，解得a>－4，所以不等式的解集为(－4，＋∞). 13. [2025长沙长郡中学高一月考] 已知幂函数f(x) = （m ∈ Z），若f(x)在(0, +∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，则满足条件的所有m之和为 ______ 三、解答题： 14. [2025成都石室中学高一月考] 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 4) (1) 求f(x)的解析式 (2) 求f(x)在[-2, 3]上的最大值和最小值 (3) 若f(a) > 9，求a的取值范围 15．(2024·湖南长沙期末)已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)xm-1在定义域内单调递增． (1)求f(x)的解析式； (2)求关于x的不等式f(x＋1)<f(x2－2x＋3)的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数限时练 一、选择题： 1. [2025鲁山一高高一调研] 已知幂函数f(x)的图象经过点(2, 4)，则该函数的解析式为( ) A. f(x) = B. f(x) = C. f(x) = D. f(x) = x 答案：B 解析：设f(x) = ，将点(2, 4)代入得 = 4 = ，所以a = 2，即f(x) = 。故选B。 2. [2026太原成成中学高一质量检测] 若函数f(x)是幂函数，且f(4) = 2f(2)，则f(2) =( ) A. 1 B. C. 2 D. 4 答案：C 解析：设f(x) = ，由f(4) = 2f(2)得 = 2·，即 = ，所以2a = a+1，解得a = 1，故f(x) = x，f(2) = 2。故选C。 3. [2025重庆一中高一期末] "m = -2或m = 3"是"幂函数f(x) = (-m-5)的图象不经过原点"的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由幂函数定义，-m-5 = 1，解得m = 3或m = -2。当m = 3时，f(x) = = 1（x ≠ 0），图象不经过原点；当m = -2时，f(x) = ，图象经过原点(0,0)。故"m = -2或m = 3"不是充分条件。反之，若图象不经过原点，则m = 3，满足"m = -2或m = 3"，故为必要条件。选C。 4. [2026郑州七中高一质量测试] 函数f(x) = 的单调递减区间为 A. [-1, 1] B. (-∞, 1] C. (-1, 1] D. [1, 3] 答案：D 解析：令-+2x+3 ≥ 0，解得-1 ≤ x ≤ 3，定义域为[-1, 3]。令t = -+2x+3 = +4，t在[1, 3]上单调递减，而y = 在t ≥ 0时单调递增，由复合函数单调性可知f(x)在[1, 3]上单调递减。故选D。 5. [2025新乡一中高一质量检测] 已知幂函数f(x) = （m ∈ Z）的图象关于原点对称，且在(0, +∞)上单调递减，则m的所有可能取值为 A. 0或2 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 答案：A 解析：在(0, +∞)上单调递减，需-2m-3 < 0，解得-1 < m < 3，m ∈ Z，所以m = 0, 1, 2。图象关于原点对称，需f(x)为奇函数，即指数为奇数。m = 0时指数=-3正确；m = 1时指数=-4，不成立；m = 2时指数=-3正确。所以m = 0或2。故选A。 6. [2025绵阳中学综合测试] 幂函数y = 的定义域和值域分别为 A. R, R B. [0, +∞), [0, +∞) C. R, [0, +∞) D. [0, +∞), R 答案：C 解析：y = = ，定义域为R，值域为[0, +∞)。故选C。 7. [2025合肥一中高一期中] 已知幂函数f(x) = （m ∈ R）在(0, +∞)上单调递减，则m的取值范围为 A. (-1, 3) B. [-1, 3] C. (-∞, -1) ∪ (3, +∞) D. (-∞, -1] ∪ [3, +∞) 答案：A 解析：需-2m-3 < 0，即(m-3)(m+1) < 0，解得-1 < m < 3。故选A。 8.[2025吉林长春高一期中]如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A． －2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 答案：B 解析:　(1)幂函数y＝xn在第一象限内的图象：随着n的变大，幂函数y＝xn的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．由题图可知，直线x＝1右侧的图象，由低向高依次为C4，C3，C2，C1，所以C1，C2，C3，C4的n依次为2，，－，－2. 9.．(多选)(2026·四川广安期中)下列是幂函数的有(　　) A．y＝xπ B．y＝(2x)2 C．y＝ D．y＝－x2 答案：AC 解析　y＝＝x-2，所以A、C符合．故选AC. 10. [2025济南外国语学校高一月考] 已知幂函数f(x) = 的图象经过点(2, )，则下列结论正确的有 A. f(x)在(0, +∞)上单调递增 B. f(x)是偶函数 C. f(x)的图象过点(4, 2) D. 当x > 1时，f(x) > 1 答案：ACD 解析：由f(2)==得a=，f(x)=。A对：在(0,+∞)递增。B错：定义域[0,+∞)不关于原点对称。C对：f(4)=2。D对：x>1时>1。故选ACD。 二、填空题： 11. [2025福州一中高一期中] 写出一个为奇函数的幂函数f(x)＝ ． 答案：x 解析　f(x)＝x，对于定义域内任意x，－x也在其定义域内，且f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，故f(x)＝x满足题意． 12．[2025武汉华中师大一附中高一期中]不等式(a－3) <(1＋2a) 的解集为 ． 答案：(－4，＋∞) 解析　因为幂函数y＝x在R上为增函数，(a－3) <(1＋2a) ，所以a－3<1＋2a，解得a>－4，所以不等式的解集为(－4，＋∞). 13. [2025长沙长郡中学高一月考] 已知幂函数f(x) = （m ∈ Z），若f(x)在(0, +∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，则满足条件的所有m之和为 ______ 答案：1 解析：单调递减需m = 0, 1, 2。偶函数需指数为偶数。只有m = 1满足，和为1。故答案为1。 三、解答题： 14. [2025成都石室中学高一月考] 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 4) (1) 求f(x)的解析式 (2) 求f(x)在[-2, 3]上的最大值和最小值 (3) 若f(a) > 9，求a的取值范围 解析： (1) 设f(x) = ，f(2) = = 4 = ，所以a = 2，f(x) = 。 (2) f(x) = 在[-2, 3]上，对称轴x = 0在区间内。f(0) = 0（最小值）。f(-2) = 4，f(3) = 9。最大值为f(3) = 9，最小值为f(0) = 0。 (3) f(a) = > 9，即 - 9 > 0，(a-3)(a+3) > 0，解得a > 3或a < -3。所以a的取值范围为(-∞, -3) ∪ (3, +∞)。 15．(2024·湖南长沙期末)已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)xm-1在定义域内单调递增． (1)求f(x)的解析式； (2)求关于x的不等式f(x＋1)<f(x2－2x＋3)的解集． 解析： 　(1)幂函数f(x)＝(2m2－m－2)xm-1在定义域内单调递增，故2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝， 当m＝－1时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，不满足； 当m＝时，f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增，满足．故f(x)＝x. (2)f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增，f(x＋1)<f(x2－2x＋3)， 故解得－1≤x<1或x>2，即x∈[－1，1)∪(2，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $