3.4 函数的应用（一）-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4　函数的应用(一)

基础过关练

题组一　一次函数、二次函数模型的应用

1.(2026辽宁协作校联考)某公司设计了一款文创纪念品,前期设计费和宣传费需要固定投入5万元,每件纪念品的生产成本为40元,经市场调研预估,若以60元的单价出售,则能销售1万件,在销售单价60元的基础上,每降价1元,销售量在1万件的基础上增加1千件,要使得该款纪念品的利润最大,则每件纪念品的定价应为(　　)

A.50元　　B.52元　　C.53元　　D.55元

2.(教材习题改编)(2026湖南多校联考)如图,在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园(阴影部分),已知AB=AC=20 m,BC=24 m,则内接矩形花园面积的最大值为(　　)

A.84 m2　　B.90 m2　　C.100 m2　　D.96 m2

3.(2026安徽合肥期末)假设在一般情况下,某大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明,当x∈[20,200]时,车流速度v是车流密度x的一次函数.则当车流密度为　　　　辆/千米时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)可以达到最大. 

4.(2026湖南长沙期中)边际函数是经济学中的一个基本概念,在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,定义函数f(x)的边际函数为Mf(x),且Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数(单位:元)R(x)=3 000x-20x2,其成本函数(单位:元)C(x)=500x+4 000,利润是收入与成本之差,设利润函数(单位:元)为P(x),则以下说法正确的有　　　　(填序号). 

①当P(x)取得最大值时,每月的产量为63台;

②边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x(x∈N*);

③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值;

④边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,每台的利润与前一台利润的差额在减少.

5.(2026湖北孝感期末)为了改善学校办公环境,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型号笔记本电脑每台5 200元,B型号笔记本电脑每台6 400元,设购买A型号笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.

(1)求出y关于x的函数解析式;

(2)因为经费有限,学校的预算不超过9万元,且购买A型号笔记本电脑的数量不得比B型号笔记本电脑数量的2倍还要多,则学校共有几种购买方案?哪种方案费用最少?求出费用最少的方案所需的费用.

6.(2026湖南衡阳段考)某直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.

(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;

(2)若按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大?最大利润是多少?

(3)若要使销售该商品每天获得的利润不低于1 280元,则每天的销售量最少应为多少件?

 

 

题组二　其他函数模型的应用

7.(2026陕西宝鸡期中)生物学家认为,睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位:心跳次数·min-1)与体重W(单位:kg)的次方成反比.若A、B为两个睡眠中的恒温动物,A的体重为2 kg,脉搏率为210次·min-1,B的脉搏率是70次·min-1,则B的体重为(　　)

A.6 kg　　B.8 kg　　C.18 kg　　D.54 kg

8.(2026山东济宁期中)小李打算批发某种水果进行售卖,设他进货的总费用f(x)(单位:元)与进货量x(单位:千克)之间的关系为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小”,则a的取值范围为(　　)

A.[4,6]　　B.[4,6)　　C.(4,6]　　D.(4,6)

9.(2026江苏南京二十九中月考)某保健厂研制了一种足疗盆:在足疗盆右侧离中心x(0<x<18)厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用,已知臭氧发生孔工作时对左脚的干扰度与x2成反比,比例系数为2;对右脚的干扰度与1 350-x2成反比,比例系数为k.设臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和为y,当x=10时,y=0.06.

(1)求y关于x的表达式;

(2)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和的最小值,并求此时x的值.

 

能力提升练

题组一　分段函数模型的应用

1.(2026浙江义乌中学月考)如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AD=9,DB=3,CD=6,矩形的顶点E与A点重合,EF=8,EH=4,将矩形EFGH沿AB平移,当点E与点B重合时,停止平移,设点E平移的距离为x,矩形EFGH与△ABC重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象大致为(　　)