3.4 函数的应用（一）-同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过“基础过关+能力提升”分层设计，以函数模型应用为主线，从单一模型求解到综合模型选择，实现知识巩固与能力进阶，培养数学建模与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|一次函数、二次函数及其他函数模型的直接应用|含选择、填空、解答题，如利润最大化（二次函数）、矩形面积最值（二次函数），注重运算能力与模型构建| |能力提升练|分段函数模型、函数模型选择与优化|以动态几何、研发投入等复杂情境为载体，如分段函数面积问题、多模型比较选择，强调数学抽象与综合应用|

3.4　函数的应用(一) 基础过关练 题组一　一次函数、二次函数模型的应用 1.(2026辽宁协作校联考)某公司设计了一款文创纪念品,前期设计费和宣传费需要固定投入5万元,每件纪念品的生产成本为40元,经市场调研预估,若以60元的单价出售,则能销售1万件,在销售单价60元的基础上,每降价1元,销售量在1万件的基础上增加1千件,要使得该款纪念品的利润最大,则每件纪念品的定价应为(　　) A.50元　　B.52元　　C.53元　　D.55元 2.(教材习题改编)(2026湖南多校联考)如图,在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园(阴影部分),已知AB=AC=20 m,BC=24 m,则内接矩形花园面积的最大值为(　　) A.84 m2　　B.90 m2　　C.100 m2　　D.96 m2 3.(2026安徽合肥期末)假设在一般情况下,某大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明,当x∈[20,200]时,车流速度v是车流密度x的一次函数.则当车流密度为　　　　辆/千米时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)可以达到最大.  4.(2026湖南长沙期中)边际函数是经济学中的一个基本概念,在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,定义函数f(x)的边际函数为Mf(x),且Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产x(x∈N*)台的收入函数(单位:元)R(x)=3 000x-20x2,其成本函数(单位:元)C(x)=500x+4 000,利润是收入与成本之差,设利润函数(单位:元)为P(x),则以下说法正确的有　　　　(填序号).  ①当P(x)取得最大值时,每月的产量为63台; ②边际利润函数的表达式为MP(x)=2 480-40x(x∈N*); ③利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值; ④边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加,每台的利润与前一台利润的差额在减少. 5.(2026湖北孝感期末)为了改善学校办公环境,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型号笔记本电脑每台5 200元,B型号笔记本电脑每台6 400元,设购买A型号笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元. (1)求出y关于x的函数解析式; (2)因为经费有限,学校的预算不超过9万元,且购买A型号笔记本电脑的数量不得比B型号笔记本电脑数量的2倍还要多,则学校共有几种购买方案?哪种方案费用最少?求出费用最少的方案所需的费用. 6.(2026湖南衡阳段考)某直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)若按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少元时利润最大?最大利润是多少? (3)若要使销售该商品每天获得的利润不低于1 280元,则每天的销售量最少应为多少件? 题组二　其他函数模型的应用 7.(2026陕西宝鸡期中)生物学家认为,睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位:心跳次数·min-1)与体重W(单位:kg)的次方成反比.若A、B为两个睡眠中的恒温动物,A的体重为2 kg,脉搏率为210次·min-1,B的脉搏率是70次·min-1,则B的体重为(　　) A.6 kg　　B.8 kg　　C.18 kg　　D.54 kg 8.(2026山东济宁期中)小李打算批发某种水果进行售卖,设他进货的总费用f(x)(单位:元)与进货量x(单位:千克)之间的关系为f(x)=(a为常数),若满足“随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小”,则a的取值范围为(　　) A.[4,6]　　B.[4,6)　　C.(4,6]　　D.(4,6) 9.(2026江苏南京二十九中月考)某保健厂研制了一种足疗盆:在足疗盆右侧离中心x(0<x<18)厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用,已知臭氧发生孔工作时对左脚的干扰度与x2成反比,比例系数为2;对右脚的干扰度与1 350-x2成反比,比例系数为k.设臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和为y,当x=10时,y=0.06. (1)求y关于x的表达式; (2)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和的最小值,并求此时x的值. 能力提升练 题组一　分段函数模型的应用 1.(2026浙江义乌中学月考)如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AD=9,DB=3,CD=6,矩形的顶点E与A点重合,EF=8,EH=4,将矩形EFGH沿AB平移,当点E与点B重合时,停止平移,设点E平移的距离为x,矩形EFGH与△ABC重合部分的面积为y,则y关于x的函数图象大致为(　　) 　　　　　　 2.(2026山东青岛期中)某工厂生产某种零件的固定成本为20 000元,每生产一个零件要增加投入100元,已知总收入Q(单位:元)与产量x(单位:个)满足Q=当x=　　　　时,零件的单位利润最大,最大为　　　　元.(单位利润=利润÷产量)  3.(2026河南郑州中学月考)经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:W(x)=肥料成本投入为10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)为20x元.已知这种水果的市场售价为21元/千克,且销售畅通供不应求,记单株水果树的利润为f(x)元. (1)写出f(x)关于x的关系式; (2)当施用肥料为多少千克时,单株水果树的利润最大?最大利润是多少? 4.(2026山西忻州一中月考)某公司为提高经济效益,大力进行新产品研发,现计划投入100万元,全部用于甲、乙两种产品的研发,每种产品至少要投入10万元,对市场进行调研分析后发现,甲产品的利润P(单位:万元),乙产品的利润Q(单位:万元)与研发投入a(单位:万元)分别满足P=Q=a+35,10≤a≤90,设甲产品的投入为x万元,两种产品的总利润为f(x)万元. (1)求f(x)的表达式; (2)如何安排甲、乙两种产品的研发投入,才能使总利润最大?最大总利润是多少?(结果保留1位小数) 题组二　函数模型的选择与建立 5.(2025北京景山学校期中)长江流域水库群的修建和联合调度极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾作用.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数蓄满指数=×100来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下: (i)调度后每座水库的蓄满指数仍在区间[0,100]内; (ii)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (iii)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变. 记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:①y=-x2+6x;②y=x+50;③y=|x-1|;④y=10.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是　(　　) A.②④　　B.①④　　C.②③　　D.③④ 6.(2026上海华东师范大学第二附属中学月考)现在要装修一间高为4米,底面积为30平方米的长方体形状的书房(书房只有一面有窗),有窗的那面墙体长为x米(4≤x≤6).现有A,B两支装修队给出了报价,A队的报价方案为有窗的墙体每平方米300元,其他三面墙体每平方米200元,屋顶和地面以及其他共计18 000元;B队给出总价为×4k万元(k>0). (1)写出A队的报价关于x的函数表达式; (2)不考虑其他因素,若B队要确保拿到装修资格,求实数k的取值范围. 7.(2026福建漳州期中)已知某工厂要设计一个部件(如图中阴影部分所示),要求从圆形铁片上进行裁剪,部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成,且部件的面积是13 cm2.设CD=x cm,AD=y cm. (1)求y关于x的函数解析式,并求定义域; (2)求圆形铁片面积的最小值. 答案 3.4　函数的应用(一) 基础过关练 1.D　依题意,设该款纪念品降价x(0<x<60)元,利润为y万元.则销售单价为(60-x)元,销售量为(1+0.1x)万件, y=(60-x)(1+0.1x)-40(1+0.1x)-5=-0.1x2+x+15=-0.1(x-5)2+17.5,当x=5时,y取得最大值,即每件纪念品的定价为55元时,利润最大. 2.D　设DE=x m,0<x<24,矩形DEFG的面积为S m2. 取BC的中点H,连接AH,交DE于I. 因为AB=AC,所以AH⊥BC,AI⊥DE,则AH==16 m. 易知DE∥BC,则△ADE∽△ABC, 则=, 则AI===x(m), 所以EF=HI=AH-AI=m, 所以S=DE·EF=x=16x-x2=-(x-12)2+96,0<x<24, 当x=12时,S取得最大值,且最大值为96,故内接矩形花园面积的最大值为96 m2. 3.答案　100 解析　当20≤x≤200时,设v=kx+b(k≠0),则解得k=-,b=. 于是v= 设车流量为q辆/时, 则q=v·x= 当0≤x<20时,q=60x,此时函数在区间[0,20)上单调递增,恒有q<1 200; 当20≤x≤200时,q=-x2+x=-(x-100)2+,此时函数在区间[20,100]上单调递增,在区间[100,200]上单调递减, 因此当x=100时,q取得最大值,为. 综上所述,当x=100时,q取得最大值,即车流量最大,约为3 333辆/时. 4.答案　②③④ 解析　对于①,P(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2 500x-4 000, 二次函数P(x)的图象开口向下,对称轴为直线x==62.5, 因为x∈N*,所以P(x)取得最大值时每月的产量为63台或62台,①错误; 对于②,MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2 500(x+1)-4 000]-(-20x2+2 500x-4 000)=2 480-40x(x∈N*),②正确; 对于③,P(x)max=P(62)=P(63)=74 120, 因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数,所以MP(x)max=MP(1)=2 440,74 120≠2 440,③正确; 对于④,因为函数MP(x)=2 480-40x为减函数, 所以随着产量的增加,每台的利润与前一台利润的差额在减少,④正确. 5.解析　(1)因为购买A型号笔记本电脑x台,所以购买B型号笔记本电脑(15-x)台,所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000, 所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+96 000(0≤x≤15,x∈N). (2)因为学校的预算不超过9万元,购买A型号笔记本电脑的数量不得比B型号笔记本电脑数量的2倍还要多, 所以解得5≤x≤10, 又x∈N(易错点),故x可取5,6,7,8,9,10,学校共有6种购买方案. 易知y=-1 200x+96 000单调递减, 又5≤x≤10且x∈N,所以当x=10时,y有最小值,且ymin=-1 200×10+96 000=84 000,此时15-x=5. 故学校共有6种购买方案,购买A型号笔记本电脑10台、B型号笔记本电脑5台的方案所需费用最少,该方案所需费用为84 000元. 6.解析　(1)设y=kx+b(k≠0),由题图可知,函数图象过点(30,100),(45,70), 所以解得所以y=-2x+160, 所以每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式是y=-2x+160. (2)若按单价不低于成本价24元,且不高于50元销售,则y=-2x+160(24≤x≤50), 设利润为f(x)元,则f(x)=(-2x+160)×(x-24)=-2x2+208x-3 840(24≤x≤50), 因为y=-2x2+208x-3 840的图象开口向下,对称轴方程为x=-=52, 所以当x=50时, f(x)取得最大值,为-2×502+208×50-3 840=1 560, 所以销售单价定为50元时利润最大,最大利润为1 560元. (3)若该商品每天获得的利润不低于1 280元, 则由(2)可得-2x2+208x-3 840≥1 280,整理得x2-104x+2 560≤0, 即(x-40)(x-64)≤0, 解得40≤x≤64, 因为y=-2x+160是减函数,所以当x=64时,y最小,且最小值为-2×64+160=32. 故每天的销售量最少为32件. 7.D　根据题意设f=(k≠0),由当W=2时, f=210,得k=210×,当f=70时,==3×,所以W=(3×)3=27×2=54. 故B的体重为54 kg. 8.C　设水果每千克的平均价格为g(x)元, 则g(x)== 随着进货量的增大,水果每千克的平均价格逐渐减小,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递减(关键点:转化为函数的性质), 则需 解得4<a≤6, 所以实数a的取值范围为(4,6]. 9.解析　(1)由题意得y=+,0<x<18, 因为当x=10时,y=0.06,所以+=0.06⇒k=50,所以y=+,0<x<18. (2)因为0<x<18,所以1 350-x2>0, 所以y=+=[x2+(1 350-x2)]·=·≥·=×(52+20)=, 当且仅当=,即x=15时取“=”, 所以当x=15时,臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和最小,为. 能力提升练 1.C　由已知得tan∠CAD==,tan∠CBD==2. 当0<x≤4时,重合部分为三角形,且三角形的边AE上的高h=xtan∠CAD=x,∴y=xh=x2,函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故排除A; 当4<x≤9时,重合部分为直角梯形, 上底长为(x-4)tan∠CAD=(x-4), 下底长为xtan∠CAD=x,高为4, 故y=××4=x-,函数图象为直线的一部分,故排除D; 当9<x≤12时,重合部分可以看作两个直角梯形(当x=12时,为一个直角梯形和一个三角形), 左边直角梯形的上底长为(x-4)·tan∠CAD=(x-4),高为4-(x-9)=13-x, 右边直角梯形的上底长为(12-x)·tan∠CBD=2(12-x),高为x-9, 两个梯形的下底长均为CD=6, 故y=××(13-x)+×[2(12-x)+6]×(x-9)=-x2+x-,图象为开口向下的抛物线的一部分,且抛物线的对称轴方程为x=10,故排除B. 2.答案　200;100 解析　设利润为P(x)元,当0<x<400时,P(x)=400x-x2-20 000-100x=-x2+300x-20 000, 当x≥400时,P(x)=80 000-100x-20 000=60 000-100x, 故P(x) = 设零件的单位利润为g(x)元, 则g(x) = 当0<x<400时,g(x)=300-≤300-2=100,当且仅当=,即x=200时,等号成立, 当x≥400时,g(x)=-100≤50, 故当x=200时,零件的单位利润最大,最大单位利润是100元. 3.解析　(1)由题意可知f(x)=21W(x)-30x= (2)当0≤x≤2时, f(x)=84(x2+3)-30x=+, 则f(x)在上单调递减,在上单调递增, 又f(0)=252, f(2)=528,所以f(x)的最大值为528; 当2<x≤5时, f(x)=-30x=750-≤750-2=540, 当且仅当=15(2x+1),即x=3时取等号,故f(x)的最大值为540. 因为528<540,所以当施用肥料为3千克时,单株水果树的利润最大,最大利润是540元. 4.解析　(1)甲产品的投入为x万元,则乙产品的投入为(100-x)万元, 则Q=(100-x)+35=135-x, 当10≤x≤27时,P=10+45, 所以f(x)=10+45+(135-x)=10-x+180, 当27<x≤90时,P=-+130, 所以f(x)=-+130+(135-x)=--x+265, 故f(x)= (2)当10≤x≤27时, f(x)=10-x+180,令t=,则t∈[3,],x=t2+1, 则f(x)可转化为g(t)=10t-(t2+1)+180=-t2+10t+179=-(t-5)2+204,t∈[3,], 当t=5时,函数g(t)有最大值,为204, 即当x=26时,函数f(x)有最大值,为204. 当27<x≤90时,f(x)=--x+265=-+266≤-2+266=266-40,当且仅当=x+1,即x=20-1时取等号, 因为266-40≈209.4>204, 所以当甲投入20-1≈27.3万元,乙投入72.7万元时,才能使总利润最大,最大总利润是209.4万元. 5.A　 信息提取　符合要求需满足四个条件:(1)自变量的取值范围是[0,100];(2)函数的值域为[0,100]的子集;(3)函数在[0,100]上恒有y≥x;(4)函数在[0,100]上单调递增.逐一对照分析即可求解. 解析　函数y=-x2+6x的图象的对称轴方程为x=-=60, 所以ymax=-×602+6×60=180>100,不符合题意; 对于y=x+50,当x∈[0,100]时,y∈[50,100], 且y=x+50在[0,100]上单调递增, y-x=-x+50∈[0,50],即y≥x,符合题意; 函数y=|x-1|在[0,1]上单调递减,在[1,100]上单调递增,故不符合题意; 函数y=10在[0,100]上单调递增,且当x∈[0,100]时,y∈[0,100], 由0≤≤10,得x≤10,即y≥x,符合题意. 故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④. 6.解析　(1)因为有窗墙体的长为x米(4≤x≤6),所以相邻墙体的长为米, 设A队的报价为y1元, 则y1=4x×300+×200+18 000=2 000x++18 000(4≤x≤6). (2)设B队的报价为y2元,则y2=×4k×10 000(4≤x≤6,k>0), 若B队要确保拿到装修资格,则y2<y1,即×20k<x++9, 所以20k<· =·=x++ =x++=x++7- =(x+2)++5. 因为函数y=(x+2)++5在[4,6]上单调递增,所以当x=4时,ymin=6++5=, 所以20k<,即k<,又k>0,所以实数k的取值范围是. 7.解析　(1)由题意可得3xy+x2=13,整理得y=. 又y>0,所以52-x2>0,所以0<x<2,即函数的定义域为{x|0<x<2}, 即y=,x∈(0,2). (2)设圆形铁片的半径为R cm,则面积为πR2 cm2, 过圆心O作CD的垂线,垂足为E,交AB于点F,连接OD,如图所示,则DE= cm,OF= cm. 由(1)知y=, 所以R2=OD2=+=+=x2++. 因为x>0,所以由基本不等式,可得R2=x2++≥2+=,当且仅当x2=时取等号,经检验,满足x∈(0,2). 故圆形铁片的面积的最小值为π cm2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $