第三单元3.3《探索规律（二）》（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本讲义聚焦北师大版六年级数学上册第三单元“探索规律（二）”，系统梳理图形拼接列表分析数量变化、推导含字母关系式、代入求值、逆向推理求变量及规律综合辨析五个考点，构建从具体到抽象的递进式学习支架。 该资料通过列表法培养学生数学眼光中的抽象能力，如考点1引导学生观察图形数量变化规律，借助关系式推导与逆向推理发展数学思维中的推理意识，以字母式子表达规律强化数学语言中的模型意识。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生巩固知识、查漏补缺。

北师大版六年级数学上册讲义 北师大版六年级数学上册讲义 目录 第三单元3.3探索规律（二）(5个考点)…2 考点1：图形拼接找规律，列表分析数量变化. .2 考点2：从图形规律推导含有字母的关系式4 考点3：利用关系式求值（代入计算） baboocooocccbccobooooooobaabbaaaaobabbbbaoaaaaaoon 考点4：逆向推理，根据结果求变量… .7 考点5：规律题型综合辨析.. 8 第1页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.3探索规律（二） (5个考点) 考点1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 【核心知识】 1.多个相同图形拼接在一起，每增加1个图形，增加的数量是固定不变，属于 等差规律。 2解题可以用列表法：把图形个数和对应的总数一一填入表格，观察前后两组 数据的差，找到不变增加量。 3.关键点：第一个图形的基础数量，加上后续每增加一个图形带来的增加量。 4.易错：拼接之后，重合的位置会造成数量减少，不能直接用单个图形数量乘 总个数。 【方法点拨】 1.先算出前3-4组的数据，列出表格； 2观察相邻两组结果，找出每次增加多少； 3.区分：初始数量（第1个图形）、每增加1个新增数量： 4.不要直接套用“单个数量×个数”，拼接重合部分要扣除。 【典型例题】 例：1张卡片可以摆放5颗珠子，把卡片并排拼接，每多拼1张卡片，增加3 颗珠子。2张卡片放8颗，3张卡片放11颗。列表写出1、2、3、4张卡片对 应的珠子数量。 分析：1张卡片有5颗，之后每增加1张就增加3颗，所以数量构成等差数列： 5,8,11,14. 详解： 1张：5 2张：5+3=8 3张：8+3=11 第2页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 4张：11+3=14 列表： 卡片张数 123 4 珠子数 5 1114 答案：1张5颗，2张8颗，3张11颗，4张14颗。 【对应练习】 1.摆1个图形需要7根小棒，每多摆1个，增加4根小棒，填表格：2个图形 ()根，3个图形()根。 分析：初始7根，每次增加4根。2个图形：7+4=11；3个图形：11+4=15。 详解： 1个：7 2个：7+4=11 3个：11+4=15 答案：2个图形(11)根，3个图形（15)根。 2判断：图形拼接，直接用单个图形数量乘图形个数，就能得到总数量。() 分析：拼接时重合部分会减少数量，不能简单相乘，例如卡片拼接，重合处珠 子不重复计数。 详解：错误。拼接后重合位置会造成数量减少，必须扣除重合部分。 答案：X(错误)。 3.拼图案：第1组有9个圆点，第2组13个圆点，第3组17个圆点，每增加 一组增加（)个圆点。 分析：观察相邻差值：13-9=4,17-13=4，所以每次增加4个。 详解：差值恒为4。 答案：每增加一组增加（4)个圆点。 4.请简单说一说列表法找图形规律的好处。 第3页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 分析：列表法直观展示数据变化，便于发现增量。 详解：好处：①清晰呈现每组数据；②容易看出相邻两组之间的差（增 量)；③避免遗漏或重复计算；④为写出字母关系式提供依据。 答案：列表法能直观显示数量变化，快速找到每次增加的固定值，减少错误， 便于总结规律。 考点2：从图形规律推导含有字母的关系式 【核心知识】 1.找到初始数、每次增加数，就可以写出字母式子： 总数量=初始数+每一次增加数量×（图形个数-1） 2同样的图形，摆放方式不一样，得到的字母关系式不一样。 3.n代表图形的个数，必须是大于0的自然数 4.同一个规律，可以写出形式不同但等价的代数式，可以化简。 【方法点拨】 1.先看=1的时候，式子算出来要和实际数量相等，用来检验式子写的对不 对。 2.先找“每次增加几”，这是式子当中的乘数。 3注意拼接重合带来的数量扣除，不要写错常数项。 4.写出式子后代入n=1,验算，快速排查错误。 【典型例题】 例：拼图案，第1个图案6朵花，往后每增加1个图案增加4朵花。用n表示 图案个数，写出总花朵数m的关系式。 分析：初始6朵，每次增加4朵。n个图案时，比第1个多增加(-1)次，所 以m=6+4(n-1)。 详解：m=6+4(n-1)=6+4n-4=4n+2(也可以化简)。检验n=1,4 X1+2=6,正确。 第4页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：m=6+4(n-1)或m=4n+2。 【对应练习】 1.第1组有8个方块，每增加一组增加5个方块，为组数，写出方块总数S 的字母式子。 分析：初始8，每次增加5，S=8+5(-1)。 详解：S=8+5n-5=5n+3。检验n=1,5×1+3=8,正确。 答案：S=8+5(n-1)或S=5n+3。 2判断：同一个图形，摆放方式改变，字母关系式不会改变。() 分析：摆放方式不同，拼接重合部分不同，增加量可能改变，所以关系式会 变。 详解：例如同样的小棒，摆成一行和摆成两行，增量不同，字母式不同。 答案：X(错误)。 3.已知：n=2,总数13；n=3,总数18；n=4,总数23，每次增加5，写出总 数量y和n的关系式。 分析：由n=2时y=13,可反推n=1时y=13-5=8(因为每增加1组增加 5,从1到2增加一次)。初始为8，增量5，所以y=8+5(-1)。 详解：y=8+5n-5=5n+3。检验n=2:5×2+3=13,正确。 答案：y=5n+3(或y=8+5(n-1))。 4.一个规律式子：y=6n-3,当n=1,计算y的值，验证初始数量。 分析：代入n=1计算y,看是否等于初始数量（通常n=1对应第一个图形） 详解：y=6×1一3=3。若实际第一个图形的数量为3，则式子正确。 答案：y=3(（初始数量为3)。 考点3：利用关系式求值（代入计算） 【核心知识】 1.知道字母关系式，给出n(图形个数)，把式子里面的n替换成数字，按照四 第5页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 则运算顺序计算，叫代入求值。 2.含有字母的乘法，数字写字母前面，省略乘号，如5×n写成5n。 3运算顺序：先括号，再乘除，后加减。 【方法点拨】 1.代入数字的时候，数字和字母相乘要补回乘号： 例：m=4n+2,n=5,写成m=4×5+2,不要写成45+2； 2.先乘法，后加减； 3.算完结果可以和列表当中的数据对照检验。 【典型例题】 例：数量关系式y=7n-4,求n=6时，y等于多少？ 分析：将n=6代入，注意乘号补回。 详解：y=7×6-4=42-4=38。 答案：y=38。 【对应练习】 1.式子：A=5n+7,n=8,求A。 分析：代入n=8。 详解：A=5X8+7=40+7=47。 答案：A=47。 2.关系式m=9n-12,n=4,求m。 分析：代入n=4。 详解：m=9×4-12=36-12=24。 答案：m=24。 3.已知S=6+3(n-1),n=10,求S。 分析：先算括号，再乘加。 详解：S=6+3×(10-1)=6+3×9=6+27=33。 第6页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：S=33。 4.关系式k=8n+5,当n=7,k是多少？ 分析：代入n=7。 详解：k=8×7+5=56+5=61。 答案：k=61。 考点4：逆向推理，根据结果求变量 【核心知识】 1.已知结果，反过来求图形的个数n,属于逆向计算。 2.把字母式子看成等式，利用等式的性质，反向运算：加减互逆，乘除互逆。 3.n代表图形个数，算出来结果必须是正整数，如果算出来小数、分数，说明该 情况不存在。 【方法点拨】 1.已知总数，求n:先移项，常数项移到等号另一边，再做除法。 2.最后检验，把算出的n代回原式，看是否等于题目给的总数。 3.n不能是小数、负数，图形个数只能是1、2、3...自然数。 【典型例题】 例：关系式m=4n+2,m=42,求n。 分析：将m=42代入，解方程求n。 详解：42=4n+2→4n=40→n=10。检验：4×10+2=42，正确。 答案：n=10。 【对应练习】 1.y=6n+4,y=52,求n。 分析：52=6n+4→6n=48→n=8。 详解：同上。 答案：n=8。 第7页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 2.A=7n-3,A=60,求n。 分析：60=7n-3→7n=63→n=9。 详解：同上。 答案：n=9。 3.S=5+4(n-1),S=41,求n。 分析：41=5+4(n-1)→4(n-1)=36→n-1=9→n=10。 详解：同上。 答案：n=10。 4.k=3n+8,k=35,判断n是不是整数。 分析：35=3n+8→3n=27→n=9,是整数。 详解：n=9,正整数，符合图形个数要求。 答案：n=9,是整数。 考点5：规律题型综合辨析 【核心知识】 1.规律题目两大类型： ①图形拼接规律：看图形个数，找每次增加量，写字母式，正向、逆向计算： ②机器转化规律（输入输出）：输入a,经过固定两步运算得到输出b,写出 b关于a的关系式。 2.不管是图形规律还是数字机器，本质都是等差数量关系。 3.同样总数，不同摆放方式，对应的n不一定相同。 【方法点拨】 1.图形题：列表→找增量→写字母式→代入求值或逆向求： 2数字机器：看懂运算顺序，先算什么，再算什么，再写字母式子： 3做完一定要代入检验，避免式子写错。 【典型例题】 第8页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 例：数字机器，输入数字a,先乘5，再减去6，得到输出b。 ①写出b与a的关系式；②当a=9,求b;③b=39,求a。 分析：运算顺序：a×5→结果-6。 ①b=5a-6; ②代入a=9:b=5X9-6=45-6=39; ③令39=5a-6→5a=45→a=9。 详解：如上。 答案：①b=5a-6;②b=39;③a=9。 【对应练习】 1数字机器：输入x,先乘4，再加9，输出y,写出y和x的关系式。 分析：x×4+9→y=4x+9。 详解：直接按顺序写出。 答案：y=4x+9。 2.机器：b=8a-11,输入a=7,输出b等于多少？ 分析：代入a=7。 详解：b=8×7-11=56-11=45。 答案：b=45。 3.机器运算y=3x+10,输出y=52,输入×是多少？ 分析：52=3x+10→3x=42→×=14。 详解：同上。 答案：×=14。 4.判断：图形拼接规律和数字输入输出机器，都可以用含有字母式子表示数量 关系。() 分析：两者都是等差数列或线性关系，均可用字母式表示。 详解：正确，它们本质都是固定变化量，可写成一次函数形式。 第9页共10页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：√（正确)。 第10页共10页北师大版六年级数学上册讲义 北师大版六年级数学上册讲义 目录 第三单元3.3探索规律（二）(5个考点)…2 考点1：图形拼接找规律，列表分析数量变化.2 考点2：从图形规律推导含有字母的关系式3 考点3：利用关系式求值（代入计算）4 考点4：逆向推理，根据结果求变量.… .5 考点5：规律题型综合辨析.. .7 第1页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 第三单元3.3探索规律（二) (5个考点) 考点1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 【核心知识】 1.多个相同图形拼接在一起，每增加1个图形，增加的数量是固定不变，属于 等差规律。 2.解题可以用列表法：把图形个数和对应的总数一一填入表格，观察前后两组 数据的差，找到不变增加量。 3.关键点：第一个图形的基础数量，加上后续每增加一个图形带来的增加量。 4.易错：拼接之后，重合的位置会造成数量减少，不能直接用单个图形数量乘 总个数。 【方法点拨】 1.先算出前3-4组的数据，列出表格： 2观察相邻两组结果，找出每次增加多少； 3.区分：初始数量（第1个图形）、每增加1个新增数量： 4.不要直接套用“单个数量×个数”，拼接重合部分要扣除。 【典型例题】 例：1张卡片可以摆放5颗珠子，把卡片并排拼接，每多拼1张卡片，增加3 颗珠子。2张卡片放8颗，3张卡片放11颗。列表写出1、2、3、4张卡片对 应的珠子数量。 【对应练习】 1摆1个图形需要7根小棒，每多摆1个，增加4根小棒，填表格：2个图形 ()根，3个图形()根。 第2页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 2判断：图形拼接，直接用单个图形数量乘图形个数，就能得到总数量。() 3.拼图案：第1组有9个圆点，第2组13个圆点，第3组17个圆点，每增加 一组增加()个圆点。 4.请简单说一说列表法找图形规律的好处。 考点2：从图形规律推导含有字母的关系式 【核心知识】 1.找到初始数、每次增加数，就可以写出字母式子： 总数量=初始数+每一次增加数量×（图形个数-1） 2同样的图形，摆放方式不一样，得到的字母关系式不一样。 3.n代表图形的个数，必须是大于0的自然数。 4.同一个规律，可以写出形式不同但等价的代数式，可以化简。 【方法点拨】 1.先看=1的时候，式子算出来要和实际数量相等，用来检验式子写的对不 对。 2.先找“每次增加几”，这是式子当中的乘数。 3注意拼接重合带来的数量扣除，不要写错常数项。 4.写出式子后代入n=1,验算，快速排查错误。 【典型例题】 例：拼图案，第1个图案6朵花，往后每增加1个图案增加4朵花。用n表示 图案个数，写出总花朵数m的关系式。 第3页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.第1组有8个方块，每增加一组增加5个方块，n为组数，写出方块总数S 的字母式子。 2判断：同一个图形，摆放方式改变，字母关系式不会改变。() 3.已知：n=2,总数13；n=3,总数18；n=4,总数23，每次增加5，写出总 数量y和n的关系式。 4.一个规律式子：y=6n-3,当n=1,计算y的值，验证初始数量。 考点3：利用关系式求值（代入计算） 【核心知识】 1.知道字母关系式，给出n(图形个数)，把式子里面的n替换成数字，按照四 则运算顺序计算，叫代入求值。 2.含有字母的乘法，数字写字母前面，省略乘号，如5×n写成5n。 3运算顺序：先括号，再乘除，后加减。 【方法点拨】 1.代入数字的时候，数字和字母相乘要补回乘号： 例：m=4n+2,n=5,写成m=4×5+2,不要写成45+2； 2.先乘法，后加减： 3.算完结果可以和列表当中的数据对照检验。 【典型例题】 第4页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 例：数量关系式y=7n-4,求n=6时，y等于多少？ 【对应练习】 1.式子：A=5n+7,n=8,求A。 2.关系式m=9n-12,n=4,求m。 3.已知S=6+3(n-1),n=10,求S。 4.关系式k=8n+5,当n=7,k是多少？ 考点4：逆向推理，根据结果求变量 【核心知识】 1.已知结果，反过来求图形的个数n,属于逆向计算。 2把字母式子看成等式，利用等式的性质，反向运算：加减互逆，乘除互逆。 3.代表图形个数，算出来结果必须是正整数，如果算出来小数、分数，说明该 情况不存在。 第5页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【方法点拨】 1.已知总数，求：先移项，常数项移到等号另一边，再做除法。 2.最后检验，把算出的n代回原式，看是否等于题目给的总数。 3.n不能是小数、负数，图形个数只能是1、2、3..自然数。 【典型例题】 例：关系式m=4n+2,m=42,求n。 【对应练习】 1.y=6n+4,y=52,求n。 2.A=7n-3,A=60,求n。 3.S=5+4(n-1),S=41,求n。 4.k=3n+8,k=35,判断n是不是整数。 第6页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 考点5：规律题型综合辨析 【核心知识】 1.规律题目两大类型： ①图形拼接规律：看图形个数，找每次增加量，写字母式，正向、逆向计算： ②机器转化规律（输入输出）：输入a,经过固定两步运算得到输出b,写出b 关于a的关系式。 2.不管是图形规律还是数字机器，本质都是等差数量关系。 3.同样总数，不同摆放方式，对应的n不一定相同。 【方法点拨】 1.图形题：列表找增量→写字母式→代入求值或逆向求： 2数字机器：看懂运算顺序，先算什么，再算什么，再写字母式子： 3.做完一定要代入检验，避免式子写错。 【典型例题】 例：数字机器，输入数字a,先乘5，再减去6，得到输出b。 ①写出b与a的关系式；②当a=9,求b:③b=39,求a。 【对应练习】 1.数字机器：输入x,先乘4，再加9，输出y,写出y和×的关系式。 2.机器：b=8a-11,输入a=7,输出b等于多少？ 第7页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 3.机器运算y=3x+10,输出y=52,输入×是多少？ 4.判断：图形拼接规律和数字输入输出机器，都可以用含有字母式子表示数量 关系。() 第8页共8页北师大版六年级数学上册讲义 目录 第三单元3.3探索规律（二）（5个考点） 2 考点 1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 2 考点 2：从图形规律推导含有字母的关系式 3 考点 3：利用关系式求值（代入计算） 4 考点 4：逆向推理，根据结果求变量 5 考点 5：规律题型综合辨析 7 北师大版六年级数学上册讲义 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第三单元3.3探索规律（二）（5个考点） 考点 1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 【核心知识】 1.多个相同图形拼接在一起，每增加 1 个图形，增加的数量是固定不变，属于等差规律。 2.解题可以用列表法：把图形个数和对应的总数一一填入表格，观察前后两组数据的差，找到不变增加量。 3.关键点：第一个图形的基础数量，加上后续每增加一个图形带来的增加量。 4.易错：拼接之后，重合的位置会造成数量减少，不能直接用单个图形数量乘总个数。 【方法点拨】 1.先算出前 3‑4 组的数据，列出表格； 2.观察相邻两组结果，找出每次增加多少； 3.区分：初始数量（第 1 个图形）、每增加 1 个新增数量； 4.不要直接套用 “单个数量 × 个数”，拼接重合部分要扣除。 【典型例题】 例：1 张卡片可以摆放 5 颗珠子，把卡片并排拼接，每多拼 1 张卡片，增加 3 颗珠子。2 张卡片放 8 颗，3 张卡片放 11 颗。列表写出 1、2、3、4 张卡片对应的珠子数量。 【对应练习】 1.摆 1 个图形需要 7 根小棒，每多摆 1 个，增加 4 根小棒，填表格：2 个图形（ ）根，3 个图形（ ）根。 2.判断：图形拼接，直接用单个图形数量乘图形个数，就能得到总数量。（ ） 3.拼图案：第 1 组有 9 个圆点，第 2 组 13 个圆点，第 3 组 17 个圆点，每增加一组增加（ ）个圆点。 4.请简单说一说列表法找图形规律的好处。 考点 2：从图形规律推导含有字母的关系式 【核心知识】 1.找到初始数、每次增加数，就可以写出字母式子： 总数量 = 初始数 + 每一次增加数量 ×(图形个数−1) 2.同样的图形，摆放方式不一样，得到的字母关系式不一样。 3.n 代表图形的个数，必须是大于 0 的自然数。 4.同一个规律，可以写出形式不同但等价的代数式，可以化简。 【方法点拨】 1.先看 n=1 的时候，式子算出来要和实际数量相等，用来检验式子写的对不对。 2.先找 “每次增加几”，这是式子当中的乘数。 3.注意拼接重合带来的数量扣除，不要写错常数项。 4.写出式子后代入 n=1，验算，快速排查错误。 【典型例题】 例：拼图案，第 1 个图案 6 朵花，往后每增加 1 个图案增加 4 朵花。用 n 表示图案个数，写出总花朵数 m 的关系式。 【对应练习】 1.第 1 组有 8 个方块，每增加一组增加 5 个方块，n 为组数，写出方块总数 S 的字母式子。 2.判断：同一个图形，摆放方式改变，字母关系式不会改变。（ ） 3.已知：n=2，总数 13；n=3，总数 18；n=4，总数 23，每次增加 5，写出总数量 y 和 n 的关系式。 4.一个规律式子：，当 n=1，计算 y 的值，验证初始数量。 考点 3：利用关系式求值（代入计算） 【核心知识】 1.知道字母关系式，给出 n（图形个数），把式子里面的 n 替换成数字，按照四则运算顺序计算，叫代入求值。 2.含有字母的乘法，数字写字母前面，省略乘号，如写成。 3.运算顺序：先括号，再乘除，后加减。 【方法点拨】 1.代入数字的时候，数字和字母相乘要补回乘号； 例：，n=5，写成 ，不要写成 45+2； 2.先乘法，后加减； 3.算完结果可以和列表当中的数据对照检验。 【典型例题】 例：数量关系式 ，求 n=6 时，y 等于多少？ 【对应练习】 1.式子：，n=8，求 A。 2.关系式 ，n=4，求 m。 3.已知 ，n=10，求 S。 4.关系式 ，当 n=7，k 是多少？ 考点 4：逆向推理，根据结果求变量 【核心知识】 1.已知结果，反过来求图形的个数 n，属于逆向计算。 2.把字母式子看成等式，利用等式的性质，反向运算：加减互逆，乘除互逆。 3.n 代表图形个数，算出来结果必须是正整数，如果算出来小数、分数，说明该情况不存在。 【方法点拨】 1.已知总数，求 n：先移项，常数项移到等号另一边，再做除法。 2.最后检验，把算出的 n 代回原式，看是否等于题目给的总数。 3.n 不能是小数、负数，图形个数只能是 1、2、3…… 自然数。 【典型例题】 例：关系式 ，m=42，求 n。 【对应练习】 1.，y=52，求 n。 2.，A=60，求 n。 3.，S=41，求 n。 4.，k=35，判断 n 是不是整数。 考点 5：规律题型综合辨析 【核心知识】 1.规律题目两大类型： ①图形拼接规律：看图形个数，找每次增加量，写字母式，正向、逆向计算； ②机器转化规律（输入输出）：输入 a，经过固定两步运算得到输出 b，写出关于的关系式。 2.不管是图形规律还是数字机器，本质都是等差数量关系。 3.同样总数，不同摆放方式，对应的 n 不一定相同。 【方法点拨】 1.图形题：列表→找增量→写字母式→代入求值或逆向求 n； 2.数字机器：看懂运算顺序，先算什么，再算什么，再写字母式子； 3.做完一定要代入检验，避免式子写错。 【典型例题】 例：数字机器，输入数字 a，先乘 5，再减去 6，得到输出 b。 ①写出 b 与 a 的关系式；②当 a=9，求 b；③b=39，求 a。 【对应练习】 1.数字机器：输入 x，先乘 4，再加 9，输出 y，写出 y 和 x 的关系式。 2.机器：，输入 a=7，输出 b 等于多少？ 3.机器运算 ，输出 y=52，输入 x 是多少？ 4.判断：图形拼接规律和数字输入输出机器，都可以用含有字母式子表示数量关系。（ ） $北师大版六年级数学上册讲义 目录 第三单元3.3探索规律（二）（5个考点） 2 考点 1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 2 考点 2：从图形规律推导含有字母的关系式 4 考点 3：利用关系式求值（代入计算） 5 考点 4：逆向推理，根据结果求变量 7 考点 5：规律题型综合辨析 8 北师大版六年级数学上册讲义 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 第三单元3.3探索规律（二）（5个考点） 考点 1：图形拼接找规律，列表分析数量变化 【核心知识】 1.多个相同图形拼接在一起，每增加 1 个图形，增加的数量是固定不变，属于等差规律。 2.解题可以用列表法：把图形个数和对应的总数一一填入表格，观察前后两组数据的差，找到不变增加量。 3.关键点：第一个图形的基础数量，加上后续每增加一个图形带来的增加量。 4.易错：拼接之后，重合的位置会造成数量减少，不能直接用单个图形数量乘总个数。 【方法点拨】 1.先算出前 3‑4 组的数据，列出表格； 2.观察相邻两组结果，找出每次增加多少； 3.区分：初始数量（第 1 个图形）、每增加 1 个新增数量； 4.不要直接套用 “单个数量 × 个数”，拼接重合部分要扣除。 【典型例题】 例：1 张卡片可以摆放 5 颗珠子，把卡片并排拼接，每多拼 1 张卡片，增加 3 颗珠子。2 张卡片放 8 颗，3 张卡片放 11 颗。列表写出 1、2、3、4 张卡片对应的珠子数量。 分析：1张卡片有5颗，之后每增加1张就增加3颗，所以数量构成等差数列：5, 8, 11, 14... 详解： 1张：5 2张：5 + 3 = 8 3张：8 + 3 = 11 4张：11 + 3 = 14 列表： 卡片张数 1 2 3 4 珠子数 5 8 11 14 答案：1张5颗，2张8颗，3张11颗，4张14颗。 【对应练习】 1.摆 1 个图形需要 7 根小棒，每多摆 1 个，增加 4 根小棒，填表格：2 个图形（ ）根，3 个图形（ ）根。 分析：初始7根，每次增加4根。2个图形：7+4=11；3个图形：11+4=15。 详解： 1个：7 2个：7+4=11 3个：11+4=15 答案：2个图形（11）根，3个图形（15）根。 2.判断：图形拼接，直接用单个图形数量乘图形个数，就能得到总数量。（ ） 分析：拼接时重合部分会减少数量，不能简单相乘，例如卡片拼接，重合处珠子不重复计数。 详解：错误。拼接后重合位置会造成数量减少，必须扣除重合部分。 答案：×（错误）。 3.拼图案：第 1 组有 9 个圆点，第 2 组 13 个圆点，第 3 组 17 个圆点，每增加一组增加（ ）个圆点。 分析：观察相邻差值：13-9=4，17-13=4，所以每次增加4个。 详解：差值恒为4。 答案：每增加一组增加（4）个圆点。 4.请简单说一说列表法找图形规律的好处。 分析：列表法直观展示数据变化，便于发现增量。 详解：好处：① 清晰呈现每组数据；② 容易看出相邻两组之间的差（增量）；③ 避免遗漏或重复计算；④ 为写出字母关系式提供依据。 答案：列表法能直观显示数量变化，快速找到每次增加的固定值，减少错误，便于总结规律。 考点 2：从图形规律推导含有字母的关系式 【核心知识】 1.找到初始数、每次增加数，就可以写出字母式子： 总数量 = 初始数 + 每一次增加数量 ×(图形个数−1) 2.同样的图形，摆放方式不一样，得到的字母关系式不一样。 3.n 代表图形的个数，必须是大于 0 的自然数。 4.同一个规律，可以写出形式不同但等价的代数式，可以化简。 【方法点拨】 1.先看 n=1 的时候，式子算出来要和实际数量相等，用来检验式子写的对不对。 2.先找 “每次增加几”，这是式子当中的乘数。 3.注意拼接重合带来的数量扣除，不要写错常数项。 4.写出式子后代入 n=1，验算，快速排查错误。 【典型例题】 例：拼图案，第 1 个图案 6 朵花，往后每增加 1 个图案增加 4 朵花。用 n 表示图案个数，写出总花朵数 m 的关系式。 分析：初始6朵，每次增加4朵。n个图案时，比第1个多增加（n-1）次，所以 m = 6 + 4(n-1)。 详解：m = 6 + 4(n-1) = 6 + 4n - 4 = 4n + 2（也可以化简）。检验 n=1，4×1+2=6，正确。 答案：m = 6 + 4(n-1) 或 m = 4n + 2。 【对应练习】 1.第 1 组有 8 个方块，每增加一组增加 5 个方块，n 为组数，写出方块总数 S 的字母式子。 分析：初始8，每次增加5，S = 8 + 5(n-1)。 详解：S = 8 + 5n - 5 = 5n + 3。检验 n=1，5×1+3=8，正确。 答案：S = 8 + 5(n-1) 或 S = 5n + 3。 2.判断：同一个图形，摆放方式改变，字母关系式不会改变。（ ） 分析：摆放方式不同，拼接重合部分不同，增加量可能改变，所以关系式会变。 详解：例如同样的小棒，摆成一行和摆成两行，增量不同，字母式不同。 答案：×（错误）。 3.已知：n=2，总数 13；n=3，总数 18；n=4，总数 23，每次增加 5，写出总数量 y 和 n 的关系式。 分析：由n=2时y=13，可反推n=1时 y = 13 - 5 = 8（因为每增加1组增加5，从1到2增加一次）。初始为8，增量5，所以 y = 8 + 5(n-1)。 详解：y = 8 + 5n - 5 = 5n + 3。检验 n=2：5×2+3=13，正确。 答案：y = 5n + 3（或 y = 8 + 5(n-1)）。 4.一个规律式子：，当 n=1，计算 y 的值，验证初始数量。 分析：代入 n=1 计算 y，看是否等于初始数量（通常n=1对应第一个图形）。 详解：y = 6×1 - 3 = 3。若实际第一个图形的数量为3，则式子正确。 答案：y = 3（初始数量为3）。 考点 3：利用关系式求值（代入计算） 【核心知识】 1.知道字母关系式，给出 n（图形个数），把式子里面的 n 替换成数字，按照四则运算顺序计算，叫代入求值。 2.含有字母的乘法，数字写字母前面，省略乘号，如写成。 3.运算顺序：先括号，再乘除，后加减。 【方法点拨】 1.代入数字的时候，数字和字母相乘要补回乘号； 例：，n=5，写成 ，不要写成 45+2； 2.先乘法，后加减； 3.算完结果可以和列表当中的数据对照检验。 【典型例题】 例：数量关系式 ，求 n=6 时，y 等于多少？ 分析：将 n=6 代入，注意乘号补回。 详解：y = 7×6 - 4 = 42 - 4 = 38。 答案：y = 38。 【对应练习】 1.式子：，n=8，求 A。 分析：代入 n=8。 详解：A = 5×8 + 7 = 40 + 7 = 47。 答案：A = 47。 2.关系式 ，n=4，求 m。 分析：代入 n=4。 详解：m = 9×4 - 12 = 36 - 12 = 24。 答案：m = 24。 3.已知 ，n=10，求 S。 分析：先算括号，再乘加。 详解：S = 6 + 3×(10-1) = 6 + 3×9 = 6 + 27 = 33。 答案：S = 33。 4.关系式 ，当 n=7，k 是多少？ 分析：代入 n=7。 详解：k = 8×7 + 5 = 56 + 5 = 61。 答案：k = 61。 考点 4：逆向推理，根据结果求变量 【核心知识】 1.已知结果，反过来求图形的个数 n，属于逆向计算。 2.把字母式子看成等式，利用等式的性质，反向运算：加减互逆，乘除互逆。 3.n 代表图形个数，算出来结果必须是正整数，如果算出来小数、分数，说明该情况不存在。 【方法点拨】 1.已知总数，求 n：先移项，常数项移到等号另一边，再做除法。 2.最后检验，把算出的 n 代回原式，看是否等于题目给的总数。 3.n 不能是小数、负数，图形个数只能是 1、2、3…… 自然数。 【典型例题】 例：关系式 ，m=42，求 n。 分析：将m=42代入，解方程求n。 详解：42 = 4n + 2 → 4n = 40 → n = 10。检验：4×10+2=42，正确。 答案：n = 10。 【对应练习】 1.，y=52，求 n。 分析：52 = 6n + 4 → 6n = 48 → n = 8。 详解：同上。 答案：n = 8。 2.，A=60，求 n。 分析：60 = 7n - 3 → 7n = 63 → n = 9。 详解：同上。 答案：n = 9。 3.，S=41，求 n。 分析：41 = 5 + 4(n-1) → 4(n-1) = 36 → n-1 = 9 → n = 10。 详解：同上。 答案：n = 10。 4.，k=35，判断 n 是不是整数。 分析：35 = 3n + 8 → 3n = 27 → n = 9，是整数。 详解：n=9，正整数，符合图形个数要求。 答案：n=9，是整数。 考点 5：规律题型综合辨析 【核心知识】 1.规律题目两大类型： ①图形拼接规律：看图形个数，找每次增加量，写字母式，正向、逆向计算； ②机器转化规律（输入输出）：输入 a，经过固定两步运算得到输出 b，写出关于的关系式。 2.不管是图形规律还是数字机器，本质都是等差数量关系。 3.同样总数，不同摆放方式，对应的 n 不一定相同。 【方法点拨】 1.图形题：列表→找增量→写字母式→代入求值或逆向求 n； 2.数字机器：看懂运算顺序，先算什么，再算什么，再写字母式子； 3.做完一定要代入检验，避免式子写错。 【典型例题】 例：数字机器，输入数字 a，先乘 5，再减去 6，得到输出 b。 ①写出 b 与 a 的关系式；②当 a=9，求 b；③b=39，求 a。 分析：运算顺序：a×5→结果−6。 ① b = 5a - 6； ② 代入a=9：b = 5×9 - 6 = 45-6=39； ③ 令39 = 5a - 6 → 5a = 45 → a=9。 详解：如上。 答案：① b = 5a - 6；② b=39；③ a=9。 【对应练习】 1.数字机器：输入 x，先乘 4，再加 9，输出 y，写出 y 和 x 的关系式。 分析：x×4+9 → y = 4x + 9。 详解：直接按顺序写出。 答案：y = 4x + 9。 2.机器：，输入 a=7，输出 b 等于多少？ 分析：代入 a=7。 详解：b = 8×7 - 11 = 56 - 11 = 45。 答案：b = 45。 3.机器运算 ，输出 y=52，输入 x 是多少？ 分析：52 = 3x + 10 → 3x = 42 → x = 14。 详解：同上。 答案：x = 14。 4.判断：图形拼接规律和数字输入输出机器，都可以用含有字母式子表示数量关系。（ ） 分析：两者都是等差数列或线性关系，均可用字母式表示。 详解：正确，它们本质都是固定变化量，可写成一次函数形式。 答案：√（正确）。 $