25.2.2 公式法 同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法核心知识，分层设计从概念辨析到综合证明，梯度衔接紧密，通过“概念识别-计算应用-推理证明”路径巩固知识，适配新授课基础夯实与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程一般形式、判别式定义、求根公式识记|选择题辨析核心概念，强化符号意识与抽象能力| |进阶层|判别式计算、公式法步骤、简单参数问题|填空题训练运算能力，衔接基础到应用的过渡| |综合层|含参数方程根的情况分析、公式法证明|解答题综合推理与论证，发展逻辑思维与创新意识|

25.2.2 公式法 课时同步训练 （总分：100 分 时间：45 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．【考点：一元二次方程一般形式与系数符号识别】一元二次方程 中，二次项系数、一次项系数、常数项依次对应正确的是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：根的判别式的定义与表达式】对于一元二次方程 ，数学上定义的根的判别式为（ ） A． B． C． D． 3．【考点：求根公式的标准形式识记】一元二次方程 的求根公式是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：公式法解方程的步骤排序】用公式法解一元二次方程的流程包含以下四步：①代入求根公式计算根；②将方程化为一般形式；③计算判别式的值；④确定系数、、的取值。正确的操作顺序是（ ） A．②→④→③→① B．④→②→③→① C．②→③→④→① D．④→②→①→③ 5．【考点：求根公式的适用前提条件】使用求根公式求解一元二次方程的实数根时，必须同时满足的前提是（ ） A． B． C． 且 D． 且 6．【考点：判别式与根的对应关系概念辨析】下列关于一元二次方程根的判别式的说法，正确的是（ ） A．若，则方程有两个相等的实数根 B．若，则方程有两个不相等的实数根 C．若，则方程没有实数根 D．若方程没有实数根，则 7．【考点：含参数方程的判别式代数式化简】关于的一元二次方程 ，其根的判别式化简后为（ ） A． B． C． D． 8．【考点：已知两不等实根求参数取值范围】若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．【考点：一元二次方程定义与判别式综合求参】已知关于的方程 是一元二次方程且有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． 且 C． 且 D． 10．【考点：判别式的取值范围与符号判断】关于的一元二次方程 ，其根的判别式的值一定（ ） A．大于 0 B．大于或等于 0 C．小于 0 D．小于或等于 0 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．【考点：标准形式方程的判别式数值计算】一元二次方程 的根的判别式 。 12．【考点：标准形式方程公式法求整数根】一元二次方程 的两个实数根为 。 13．【考点：已知两相等实根求常数项参数值】若一元二次方程 有两个相等的实数根，则常数的值为 。 14．【考点：求根公式推导的配方项填空】用配方法推导求根公式时，将 配方，左边化为完全平方形式 ，右边的结果为 （用含的代数式表示）。 15．【考点：非标准方程化一般式后判断根的情况】将方程 化为一般形式后，该方程根的情况为 （填 “两个不相等实根”、“两个相等实根” 或 “无实根”）。 16．【考点：已知无实根求参数的最小整数值】若关于的一元二次方程 没有实数根，则的最小整数值为 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 17．【考点：标准形式一元二次方程的公式法求解】（12 分）用公式法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）。 18．【考点：非标准形式一元二次方程的公式法求解】（15 分）先将下列各方程化为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解： （1）； （2）； （3）。 19．【考点：根的情况求参后代入公式法解方程】（15 分）已知关于的一元二次方程 。 （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）取的一个正整数值，代入原方程并用公式法求出方程的根。 20．【考点：证明含参数方程总有两个不等实数根】（10 分）求证：无论取任意实数，关于的一元二次方程 总有两个不相等的实数根。 参考答案与详细解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．答案：B 解析：一元二次方程的一般形式为 ，系数需保留原式符号。方程 中，，，。 易错点：易忽略一次项、常数项的负号。 核心知识点：一元二次方程一般形式的系数识别。 2．答案：C 解析：根的判别式是公式法的核心概念，定义为 ，用于判断方程实数根的个数。 易错点：易混淆符号，或与求根公式的根式部分混淆。 核心知识点：根的判别式的定义。 3．答案：A 解析：一元二次方程的求根公式为 ，需注意分子中的符号与根号内判别式的形式。 易错点：易漏掉分子中前的负号。 核心知识点：求根公式的标准形式。 4．答案：A 解析：公式法解方程的规范流程为：先化为一般形式，再确定的值，接着计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式计算，即②→④→③→①。 核心知识点：公式法解方程的操作步骤。 5．答案：D 解析：求根公式基于一元二次方程推导，因此需满足二次项系数；同时只有时方程才有实数根，才能代入公式计算实数根。 易错点：易忽略的前提，或误将作为唯一条件。 核心知识点：求根公式的适用前提。 6．答案：C 解析：判别式与根的对应关系为：⇔两个不相等实数根；⇔两个相等实数根；⇔无实数根。 易错点：易混淆三种对应关系的逻辑。 核心知识点：判别式与根的个数的对应关系。 7．答案：A 解析：代入判别式公式计算： 。 核心知识点：含参数的判别式代数式化简。 8．答案：A 解析：方程有两个不相等实数根，则。 代入系数得 ，解得 。 易错点：易混淆不等号方向，或错误添加等号。 核心知识点：由根的情况逆向推导参数范围。 9．答案：C 解析：方程为一元二次方程，故二次项系数 ，即 ； 方程有实数根，故，代入得 ，解得 。 综上， 的取值范围是 且 。 易错点：易忽略二次项系数不为 0 的条件。 核心知识点：一元二次方程定义与判别式的综合应用。 10．答案：B 解析：代入判别式公式并配方： 。 根据平方的非负性，，即判别式恒大于或等于 0。 核心知识点：完全平方公式化简，判别式符号判断。 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．答案：49 解析：代入判别式公式：。 核心知识点：根的判别式的直接计算。 12．答案：， 解析：，，，。 代入求根公式得 ，即 ，。 核心知识点：求根公式的基础应用。 13．答案：9 解析：方程有两个相等实数根，则。 代入得 ，解得 。 核心知识点：条件的逆向应用。 14．答案： 解析：配方过程：方程两边除以后移项，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方，右边通分后得到 。 核心知识点：配方法推导求根公式的过程。 15．答案：两个不相等实根 解析：先整理方程：，移项得一般形式 。 计算判别式 ，因此方程有两个不相等实根。 易错点：未化为一般形式直接判断根的情况。 核心知识点：方程整理与判别式判根。 16．答案：4 解析：方程无实数根，则。 代入得 ，解得 。 大于 3 的最小整数为 4。 核心知识点：由根的情况求参数范围与整数解确定。 三、解答题（共 52 分） 17．（12 分）解：（1），，，， ，即 ，。（3 分） （2），，，， ，即 ，。（3 分） （3），，， ， 方程有两个相等实数根：。（3 分） （4），，，， 原方程没有实数根。（3 分） 解析：本题覆盖判别式三种典型情况，规范公式法解题步骤。解题需先算判别式，再根据符号判断根的情况，最后代入公式。 易错点：忽略判别式计算直接代入公式，无实根时强行输出根式结果。 核心知识点：求根公式的规范应用。 18．（15 分）解：（1）整理得一般形式：。（1 分） ，，，，，即 ，。（4 分） （2）整理得一般形式：。（1 分） ，，，，， 即 ，。（4 分） （3）整理得一般形式：。（1 分） ，，，，，即 ，。（4 分） 解析：本题考查非标准形式方程的公式法求解，需先通过去括号、移项化为一般形式，再按步骤计算。 易错点：去括号、移项时符号出错，导致系数计算错误。 核心知识点：一元二次方程一般形式的转化。 19．（15 分）解：（1）方程有两个不相等实数根，则。 ，（3 分）由 ，解得 。（3 分） （2）取（正整数且满足 即可），代入方程得 。（3 分） ，，，，（2 分） ，即 ，。（4 分） 解析：本题综合考查判别式逆向应用与公式法解方程，第二问为开放性设问，巩固解题步骤。 易错点：含参数的常数项代入判别式时符号出错。 核心知识点：判别式的逆向应用。 20．（10 分）证明：对于方程 ， ，，，（2 分） Δ=(k−2)2−4×1×(−k)=k2−4k+4+4k=k2+4（6 分） ∵ 对任意实数，， ∴ ，即恒成立。 ∴ 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。（2 分） 解析：本题核心是通过配方将判别式化为 “完全平方 + 正数” 的形式，利用平方非负性证明判别式恒正。 易错点：判别式展开时符号错误，配方变形失误。 核心知识点：完全平方公式与判别式恒正证明。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $