25.2 降次——解一元二次方程 分层同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进式设计，覆盖解一元二次方程全方法，从基础技能到综合应用，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|直接开平方法、配方法（二次项系数为1）、根的判别式等单一知识点|选择/填空/基础解答，聚焦公式识别与步骤规范，强化抽象能力| |B组能力提升|含参数判别式、解法灵活选择、根的定义综合应用|综合解答题占比40%，突出推理意识，如“根的判别式证明”| |C组拓展探究|换元法降次、分类讨论方程类型、几何场景建模|探究题形式，如“直角三角形边长问题”，发展应用意识与创新意识|

25.2 降次——解一元二次方程 分层同步训练 A 组 基础达标（共 42 分） 一、选择题（共 7 小题，每题 3 分，共 21 分） 1．【考点：直接开平方法解方程】方程的解是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：配方法的配方变形（二次项系数为 1）】用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A． B． C． D． 3．【考点：根的判别式・判断根的情况】一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．【考点：因式分解法的适用场景判断】下列一元二次方程中，最适合用因式分解法求解的是（ ） A． B． C． D． 5．【考点：一元二次方程求根公式的识别】对于一元二次方程，下列求根公式书写正确的是（ ） A． B． C． D． 6．【考点：因式分解法・提公因式型（易错丢根）】方程的解是（ ） A． B． C． D． 7．【考点：配方法的基本步骤】用配方法解一元二次方程时，正确的操作顺序是（ ） A．先移项，再将二次项系数化为 1，最后两边加一次项系数一半的平方 B．先两边加一次项系数一半的平方，再移项 C．先将二次项系数化为 1，再配方，最后移项 D．先去括号，再直接配方 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 8．【考点：直接开平方法解方程】方程的解为 。 9．【考点：根的判别式】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 。 10．【考点：因式分解法・十字相乘法】方程的解为 。 11．【考点：配方法的配方变形】将代数式配方成的形式，结果为 。 12．【考点：公式法・判别式计算】一元二次方程的根的判别式的值为 。 三、解答题（共 2 小题，每题 3 分，共 6 分） 13．【考点：指定方法解方程（配方法）】用配方法解方程：。 14．【考点：指定方法解方程（公式法）】用公式法解方程：。 B 组 能力提升（共 40 分） 一、选择题（共 4 小题，每题 3 分，共 12 分） 15．【考点：二次项系数不为 1 的配方法变形】用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A． B． C． D． 16．【考点：根的判别式综合（含二次项系数约束）】若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 17．【考点：解法的灵活选择】解下列方程时，最适合先整理为一般形式再用因式分解法求解的是（ ） A． B． C． D． 18．【考点：根的定义与解方程综合】若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 4 小题，每题 3 分，共 12 分） 19．【考点：根的定义与整体代入求值】已知是方程的一个根，则代数式的值为 。 20．【考点：因式分解法的逆用】若一元二次方程的两个根为，，则这个方程可以是 （写出一个即可）。 21．【考点：含参数的根的判别式（恒成立判断）】关于的一元二次方程，其根的情况是 。 22．【考点：代数式值转化为解方程】若代数式的值等于 0，则的值为 。 三、解答题（共 4 小题，每题 4 分，共 16 分） 23．【考点：灵活选择方法解方程（提公因式型）】解方程：。 24．【考点：灵活选择方法解方程（配方法 / 公式法）】解方程：。 25．【考点：根的判别式的证明应用】求证：关于的一元二次方程总有两个实数根。 26．【考点：解方程与分式化简综合】先化简，再从方程的根中选一个合适的数代入求值。 C 组 拓展探究（共 18 分） 27．【考点：分类讨论方程类型与实数根】（4 分）若关于的方程有实数根，求的取值范围。 28．【考点：换元法降次解高次方程】（5 分）阅读材料，完成求解： 解高次方程的核心是 “降次”，我们可以通过换元法将高次方程转化为一元二次方程求解。请参照该思路解方程： 29．【考点：配方法的综合应用（最值问题）】（4 分）用配方法说明：无论取何值，代数式的值恒大于 0，并求出它的最小值。 30．【考点：列一元二次方程并求解（几何场景）】（5 分）一个直角三角形的两条直角边长度相差 7cm，面积是 30cm²，求两条直角边的长度。 参考答案（含选择填空解析） A 组 基础达标 一、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1．答案：C 解析：本题考查直接开平方法解一元二次方程。 对等式两边直接开平方，得 当 时，解得 ； 当 时，解得 。 因此方程的解为 。 2．答案：A 解析：本题考查二次项系数为 1 的配方法变形。 配方法的核心是将方程左边配成完全平方式，步骤为： ① 移项，将常数项移到等号右侧： ② 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为 6，一半是 3，平方为 9），得 整理得 。 3．答案：D 解析：本题考查用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 对于一元二次方程 ，根的判别式为 。 本题中 ，代入得： 当 时，方程没有实数根。 4．答案：A 解析：本题考查因式分解法的适用场景。 因式分解法适合方程左边易于分解为两个一次式乘积、右边为 0 的形式。 选项 A： 可直接用十字相乘法分解为 ，最适合因式分解法； 选项 B、D：左边不易因式分解，适合用公式法； 选项 C：左边是完全平方式，适合用直接开平方法。 5．答案：A 解析：本题考查一元二次方程求根公式的标准形式。 一元二次方程 的求根公式为： 选项 B 分子一次项符号错误；选项 C 根号内常数项符号错误；选项 D 分母、根号内表达式均错误。 6．答案：B 解析：本题考查提公因式型因式分解法（易错点：直接除以含未知数的式子会丢根）。 先移项，将右侧项移到左侧，统一公因式： 提取公因式 ，得 则 或 ，解得 。 7．答案：A 解析：本题考查配方法解一元二次方程的标准操作顺序。 配方法的标准步骤为： ① 移项：将常数项移到等号右侧； ② 二次项系数化为 1：等式两边同时除以二次项系数； ③ 配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式。 因此正确顺序为选项 A。 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8．答案： 解析：本题考查直接开平方法解方程。 移项得 ，两边同时除以 4 得 开平方得 ，即 。 9．答案： 解析：本题考查根的判别式的应用（两根相等的条件）。 一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式 。 本题中 ，则： 解得 。 10．答案： 解析：本题考查十字相乘法因式分解解方程。 对 进行十字相乘： 常数项 - 6 可分解为 - 6 和 1，二者相加恰好等于一次项系数 - 5，因此方程分解为： 解得 。 11．答案： 解析：本题考查代数式的配方变形。 配方时，对二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数以保证代数式值不变： 12．答案： 解析：本题考查根的判别式的计算。 根的判别式公式为 。 本题中 ，代入得： 注意常数项为 - 1，计算时符号不要出错。 三、解答题（每题 3 分，共 6 分） 13．用配方法解方程 解：移项，得 配方，两边加一次项系数一半的平方： 即 开平方，得 解得： 14．用公式法解方程 解：这里 根的判别式 代入求根公式： 解得： B 组 能力提升 一、选择题（每题 3 分，共 12 分） 15．答案：A 解析：本题考查二次项系数不为 1 的配方法变形。 步骤如下： ① 二次项系数化为 1：等式两边同时除以 3，得 ② 移项： ③ 配方：两边加一次项系数一半的平方（1 的平方为 1），得 整理得 。 16．答案：C 解析：本题考查含参数的一元二次方程根的判别式（易错点：忽略二次项系数不为 0 的前提）。 题目明确是一元二次方程，因此首先满足二次项系数不为 0：，即 。 方程有实数根，则根的判别式 ： 解得 。 综上， 的取值范围是 且 。 17．答案：A 解析：本题考查因式分解法的灵活选择。 选项 A：左侧是乘积式、右侧是常数 6，需要先展开整理为一般形式 ，再用十字相乘法因式分解，符合题意； 选项 B：左侧是完全平方式，直接用开平方法即可，无需整理为一般式； 选项 C：移项后可直接提取公因式 ，无需整理为一般式； 选项 D：左边不易因式分解，适合用公式法。 18．答案：A 解析：本题考查一元二次方程根的定义与韦达定理的应用。 方法一（代入法）： 将 代入方程，得 ，解得 。 原方程为 ，因式分解得 ，因此另一个根为 。 方法二（韦达定理）： 对于一元二次方程 ，两根之积 。 设另一个根为 ，则 ，解得 。 二、填空题（每题 3 分，共 12 分） 19．答案： 解析：本题考查根的定义与整体代入求值（无需解出 m 的值）。 已知 是方程 的根，因此满足方程： ，整理得 。 将代数式变形，整体代入： 。 20．答案：（答案不唯一） 解析：本题考查因式分解法的逆用 —— 由根构造方程。 若一元二次方程的两个根为 ，则方程可写为 。 代入两根 ，得 ，展开后即为 。 等式两边同时乘任意非零常数得到的方程均正确。 21．答案：总有两个实数根（当时两根相等，时两根不相等） 解析：本题考查含参数的根的判别式与根的情况判断。 计算根的判别式： 因为任何实数的平方均非负，即 ，也就是 恒成立，因此方程总有两个实数根。 22．答案： 解析：本题考查代数式值与解方程的转化。 由题意得方程 ，用十字相乘法因式分解： 解得 。 三、解答题（每题 4 分，共 16 分） 23．解方程 解：移项，得 提公因式，得 则 或 解得： 24．解方程 解（配方法）：二次项系数化为 1，得 移项，得 配方，得 即 开平方，得 解得： 25．求证：关于的一元二次方程 总有两个实数根 证明： 根的判别式 ，，即恒成立 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根，即总有两个实数根。 26．先化简，再从方程的根中选合适的数代入求值 解：化简原式： 方程的根为。 分式有意义的条件：且，两个根均符合要求。 选代入，得： 原式 （若选代入，结果为，也正确） C 组 拓展探究 27．求的取值范围 解：分两种情况讨论： ① 当，即时，方程化为一元一次方程，解得，有实数根，符合条件。 ② 当，即时，方程为一元二次方程，有实数根需满足。 ，恒成立。 综上，的取值范围是全体实数。 28．用换元法解方程 解：设，则原方程化为 因式分解得 ，解得 当时，，即 分解得，解得 当时，，即 分解得，解得 综上，原方程的解为 29．用配方法说明代数式恒大于 0，并求最小值 解：配方： ， 因此无论取何值，代数式的值恒大于 0。 当时，，代数式取得最小值，最小值为。 30．求直角三角形两条直角边的长度 解：设较短的直角边长为，则较长的直角边长为。 根据直角三角形面积公式，列方程： 整理得 因式分解得 解得 （边长为正，舍去） 较长直角边长度： 答：两条直角边的长度分别为和。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $