1.2 空间向量基本定理（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过三级分层设计实现从概念辨析到综合应用的递进，强化数学空间观念与推理能力，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念辨析、向量表示|以选择题为主，如题型01-03，通过基底判定、简单向量表示巩固空间观念| |进阶层|定理应用、加减运算|结合几何体情境，如题型04-05，在三棱锥、平行六面体中强化符号表达与推理| |综合层|多知识点综合|设置多选题（题型06）及跨运算应用（题型07），发展数学思维的逻辑性与创新性|

分层作业 1.2 空间向量基本定理 目 录 1 题型01 空间向量基底概念及辨析 1 题型02用空间基底表示向量 4 题型03判定空间向量共面 5 题型04空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 7 题型05空间向量加减运算的几何表示 9 题型06空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 11 题型07用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 13 14 18 20 题型01 空间向量基底概念及辨析题型01 1.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型02用空间基底表示向量题型02 4.（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 题型03判定空间向量共面题型03 7.（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 8.（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 题型04空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量题型04 10.（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 11.（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 12.（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型05空间向量加减运算的几何表示题型05 13.（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 15.（23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 题型06空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面题型06 16.（2025高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 17.（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 18.（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选题）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型07用空间基底表示向量、空间向量的加减运算题型07 19.（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 20.（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 21.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 1.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一下·重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 5.．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 6.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 1.（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 1.（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 2.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 空间向量基本定理 目 录 1 题型01 空间向量基底概念及辨析 1 题型02用空间基底表示向量 4 题型03判定空间向量共面 5 题型04空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 7 题型05空间向量加减运算的几何表示 9 题型06空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 11 题型07用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 13 14 18 20 题型01 空间向量基底概念及辨析题型01 1.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 2.（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 3.（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 题型02用空间基底表示向量题型02 4.（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 5.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【解析】如图，， 又，则，所以. 6.（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 题型03判定空间向量共面题型03 7.（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【解析】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 8.（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 9.（25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 题型04空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量题型04 10.（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 11.（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 12.（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 题型05空间向量加减运算的几何表示题型05 13.（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 14.（25-26高二下·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【解析】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 15.（23-24高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，    ∵N是的中点，， ，， ． 题型06空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面题型06 16.（2025高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 17.（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选题）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 18.（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选题）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【解析】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 题型07用空间基底表示向量、空间向量的加减运算题型07 19.（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由得， ， 代入得． 20.（25-26高二下·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由得， ， 代入得． 21.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【解析】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 1.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 2.（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3.（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由，得， 由，得， 所以. 4.（25-26高一下·重庆·期末）如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， . 5.．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量以为基底时的坐标为， 所以， 设， 由空间向量基本定理得，解得， 所以以为基底时的坐标为. 故选：B 6.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【解析】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 1.（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 2.（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 3.（24-25高二上·江西萍乡·期末）若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 4.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 1.（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间向量的基本定理、向量的线性运算及向量相等求解即可. 【解析】由题意可知. 设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 2.（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③. 【解析】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一的使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $