山西太原市山西大学附属中学校2026年高二数学暑假作业综合练习

**基本信息** 聚焦数学思维与推理能力，整合几何、代数、统计模块，覆盖高二核心知识，通过综合题型强化知识间逻辑关联与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何|5题（含解三角形、立体几何）|空间形式与数量关系结合|三角形性质→空间向量→线面关系推导| |代数|8题（含集合、函数、数列）|抽象符号与逻辑推理|函数性质→导数应用→数列单调性分析| |统计与应用|2题（统计、线性规划）|数据处理与实际建模|频率分布→分层抽样→不等式组构建|

山西大学附中高二数学暑假作业综合练习 一、单选题 1．已知的三边，， 其中，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知正项等比数列的首项为，且.记为数列的前n项的积，若中仅有最大，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在锐角三角形中，内角的对边分别为，已知，则角的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．若对任意，都至少存在三个互不相等的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为单调递减函数 B．是函数的极小值点 C．函数至多有两个零点 D．当时，不等式恒成立 10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．与平面的夹角的余弦值为 C．是平面PBC的一个法向量 D． 11．下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．函数的图象不经过第四象限，则 D．函数的图像必过定点 三、填空题 12．如图，在正方体中，和相交于点O，若，则________． 13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____. 14．设圆，定点，若圆上存在两点到的距离为2，则的取值范围是___________. 四、解答题 15．化简下列各式： (1)； (2). 16．已知函数. (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数的解析式写成分段函数； (2)在给出的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调区间和值域. 17．如图所示：在边长为的正方形中，，且，，分别交、于两点, 将正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. ( 1)在底边上有一点，且::, 求证：平面; ( 2)求直线与平面所成角的正弦值 18．某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 19．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中高二数学暑假作业综合练习 一、单选题 1．已知的三边，， 其中，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】由已知计算可得，由余弦定理可得，从而有为锐角，同理可证，均为锐角，从而得解． 【详解】， 由余弦定理可得：，可得为锐角． 同理，， ，，均为锐角． 故选：． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，根据角的余弦值判断角的范围是解题的关键，属于基本知识的考查． 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解指数不等式和绝对值不等式化简集合和，再根据交集概念进行运算可得结果. 【详解】集合，集合， . 故选：B． 【点睛】本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题. 3．已知直线与直线关于轴对称，且直线过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，直线经过点关于轴的对称点，由此可求得实数的值. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，直线过点，则，解得. 故选：A. 4．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确， 故选：D 5．已知正项等比数列的首项为，且.记为数列的前n项的积，若中仅有最大，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的通项公式可求出公比，结合最大可得，从而可求出实数m的取值范围. 【详解】设等比数列的公比为q，有，解得或(舍去)， 由中仅有最大，有，有，可得. 故选:B. 【点睛】关键点睛： 本题的关键是由中仅有最大得. 6．在锐角三角形中，内角的对边分别为，已知，则角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式展开整理可得，再利用三角形内角关系化简得，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值，进而可求结论. 【详解】由已知得， 整理得，因为，所， 又因为， 所以，即， ， 当且仅当时等号成立，故角A的最小值为． 故选：B. 7．如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三点共线可得存在实数使得，再由三点共线可解得，利用向量的线性运算化简可得，即. 【详解】根据图示可知，三点共线，由共线定理可知， 存在实数使得, 又，所以， 又三点共线，所以，解得， 即可得，所以， 所以，即，可得， 又，即可得. 故选：A 8．若对任意，都至少存在三个互不相等的整数，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式将问题转化为至少有3个整数解，再利用二次函数的性质得到是的3个整数解，从而列式即可得解. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以问题转化为不等式至少有3个整数解， 因为的图象关于直线对称， 所以是的3个整数解， 所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为单调递减函数 B．是函数的极小值点 C．函数至多有两个零点 D．当时，不等式恒成立 【答案】BCD 【分析】A：对函数进行求导，结合已知不等式进行求解判断即可； B：根据极小值点的定义，利用导数的性质进行求解判断即可； C：利用导数的性质，判断函数的单调性，结合零点的定义进行判断即可； D：利用导数的性质，判断函数的单调性，结合函数单调性进行判断即可. 【详解】解析：，则．当时，由，可得，则，故在上单调递增，故A错误；当时，由，可得，则，故在上单调递减，故是函数的极小值点，故B正确；若，则函数有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故C正确；因为在上单调递减，所以在上单调递减，由，得当时，，即，故，故D正确， 故选：BCD． 10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．与平面的夹角的余弦值为 C．是平面PBC的一个法向量 D． 【答案】AB 【分析】利用向量的坐标运算解决平行垂直问题，利用向量法求线面角的余弦值. 【详解】是平行四边形，，又， 由，得，即，A选项正确； ，，又，则是平面的法向量， 即平面，在平面内射影为， 与平面的夹角为，，B选项正确； ，不是平面PBC的法向量，C选项错误； ，，无解，不成立，D选项错误. 故选：AB 11．下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．函数的图象不经过第四象限，则 D．函数的图像必过定点 【答案】BCD 【分析】根据指数函数定义确定A错误，计算单调区间得到B正确，根据指数函数平移确定，C正确，代入数据计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：函数不是指数函数，错误； 对选项B：单调递减，在上单调递减， 故函数的单调增区间是，正确； 对选项C：函数的图象不经过第四象限，则，正确； 对选项D：，，正确； 故选：BCD 三、填空题 12．如图，在正方体中，和相交于点O，若，则________． 【答案】/ 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件将用表示出来即可求出的值，从而可求得答案. 【详解】因为在正方体中，和相交于点O， 所以 , 因为， 所以， 所以， 故答案为： 13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____. 【答案】 【分析】由复数的除法运算求出复数，再求出的共轭复数，即可求得对应的点的坐标. 【详解】由可得， 所以的共轭复数为，在复平面内对应点的坐标为， 故答案为：. 14．设圆，定点，若圆上存在两点到的距离为2，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】将问题转化为以为圆心，2为半径的圆为圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆， 所以圆 圆心为半径为， 则两圆圆心距为 : ， 因为圆上存在两点到的距离为2， 所以圆与圆相交， 所以 解得 所以的取值范围是：. 故答案为：. 【点睛】 圆与圆位置关系问题的解题策略： （1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法； （2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项得到. 四、解答题 15．化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）、（2）利用对数的运算法则求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 16．已知函数. (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数的解析式写成分段函数； (2)在给出的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调区间和值域. 【答案】(1) (2) 单调增区间为，单调减区间为，值域为： 【分析】（1）首先去掉绝对值符号，然后． （2）利用函数解析式作图，根据图像观察可知函数的单调区间和值域． 【详解】（1） （2）略 17．如图所示：在边长为的正方形中，，且，，分别交、于两点, 将正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. ( 1)在底边上有一点，且::, 求证：平面; ( 2)求直线与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】(1)过作交 于,连接,由得 ,从而四边形为平行四边形，对边平行,由线面平行的判定定理得平面；(2)先求得各点的坐标，从而得出相应向量的坐标，再求出平面的法向量，由线面角公式求解. 【详解】 (1)过作交 于,连接, ， ， ， ,则， 所以四边形为平行四边形， 所以, 平面，平面 ∴平面 (2) 由图1知，，在图2中分别以为轴， ，， 设平面的法向量为， 得，令， 则， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 18．某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在的称为“轻度超标日”，PH值在的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，可求出，平均数可利用同一组中的数据用该组区间的中点值和频率的乘积之和求解; （2）求出样本空间，再结合古典概型计算公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 平均值： （2）抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A， 样本空间， 设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则. 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以. 19．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案． 【答案】答案见解析 【分析】由题意得到不等式组，可求x，进而可求出满足题意的方案． 【详解】由题意得， 解得， 故， 所以有三组组建方案： 方案一：组建中型图书角18个，小型图书角12个； 方案二：组建中型图书角19个，小型图书角11个； 方案三：组建中型图书角20个，小型图书角10个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $