山西太原市山西大学附属中学校2026年高二数学暑假作业综合（三）

**基本信息** 以代数、几何、概率统计三大模块整合为核心，通过多样化题型考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，体现跨章节知识的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-4、7、12、14，多选9、11，解答19（约10题）|侧重概念应用与逻辑推理，如复数运算、向量垂直、数列递推、函数零点极值|从基础概念（集合、复数）到工具应用（向量、数列）再到函数综合，形成“概念-工具-综合”逻辑链| |几何|单选5-6、8，填空15，多选10，解答18（约7题）|注重空间想象与模型构建，如圆轨迹、双曲线性质、四面体体积、二面角计算|从平面几何（解三角形）到立体几何（空间关系）再到解析几何（圆锥曲线），体现“平面-空间-坐标”递进关系| |概率统计|填空13，解答17（2题）|强调数据分析与实际应用，如排列组合、最大似然估计|结合志愿服务安排、摸球概率等情境，体现数学语言对现实问题的表达与解释|

山大附中高二数学暑假作业 综合（三） 一、单选题 1．若复数满足为虚数单位)，则（     ） A．1 B． C． D． 2．已知向量，若，则（     ） A．8 B．4 C．2 D． 3．已知集合，，则（     ） A．或 B． C． D．或 4．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（     ） A．51 B．66 C． D．6 5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：，为频率（单位：，为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度．现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为　　 A． B． C． D． 6．已知，，设点是圆上的点，若动点满足：，，则的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 7．在中，角、、的对边分别为、、，，则（     ） A． B． C． D． 8. 已知在四面体中，,则当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 9（多选题）. 已知一组数据1，3，5，7，9，其中位数为，平均数为，极差为，方差为．现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是　　 A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 10（多选题）. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是　　 A．双曲线的离心率为3 B．若，且，则 C．以线段，为直径的两个圆外切 D．若点在第二象限，则 11（多选题）．已知，则下列结论正确的是　　 A．当时，若有三个零点，则的取值范围是 B．当且时， C．对于任意满足 D．若存在极值点，且，其中，则 12.已知等比数列的公比为，若，则 　 　． 13．为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是 　 　． 14．设，已知函数，若恒成立，则的最大值为 　 　． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 16．已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点． （1）当时，求直线的方程； （2）过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标． 17．在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则. （注： 表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值. (2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 18．如图，为圆的直径，点，在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为． 19．已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如． (1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由； (2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为． （i）求函数的解析式； （ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高二数学暑假作业（三）答案 一、单选题 1．若复数满足为虚数单位)，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算先求出复数再写出其共轭复数最后求模即可. 【详解】因为，所以，，所以. 故选：B 2．已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】，由得，解得．故选：A． 3．已知集合，，则（    ） A．或B．C． D．或 【答案】B 【详解】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合、，再按照集合的并集运算即可． 【分析】在集合中，因为，所以，则，解得，所以，因为，故.故选：B． 4．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出公差，进而求出前6项和. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 5.一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：，为频率（单位：，为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度．现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为　　 A． B． C． D． 解：依题意，由，，得，即， 则有，解得，，所以带宽为．故选：． 6．已知，，设点是圆上的点，若动点满足：，，则的轨迹方程为　　 A． B． C． D． 解：由，可得，而，可知在的平分线上．圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，因为且，所以，且为中点， 因此，， 点在以、为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，可知，，由，得，故，双曲线方程为．故选：． 7．在中，角、、的对边分别为、、，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由及正弦定理可得， 因为，所以，整理得， 所以，因为，则，由题意知，，故，因为，因此，.故选：C 8. 已知在四面体中，,则当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【答案】D 二、多选题 9．已知一组数据1，3，5，7，9，其中位数为，平均数为，极差为，方差为．现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为，平均数为，极差为，方差为，则下列说法中正确的是　　 A．若删去3，则 B．若删去9，则 C．无论删去哪个数，均有 D．若，则 解：对于，若删去3，则原来中位数是，删去后的中位数是，所以，选项正确； 对于，若删去9，则原来平均数是，删去后的平均数是，所以，选项错误； 对于，无论删去哪个数，原来的极差为，删去后的极差，选项正确； 对于，若，则删去的数据是5，所以，，选项正确．故选：． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是　　 A.双曲线的离心率为3 B．若，且，则 C．以线段，为直径的两个圆外切 D．若点在第二象限，则 解：对于，设，则，因为，，直线与的斜率率之积等于3， 所以，得，故错误； 对于：因为，所以，而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得， 又，且，则， 由，可得，即，解得，故错误； 对于：设的中点为，为坐标原点，则为△的中位线， 所以，则以线段为直径的圆，圆心为，半径， 以线段为直径的圆，圆心为，半径，所以，故两个圆外切，故正确； 对于：设，，则，，，，， 则渐近线方程为，，， 又，， ．，故正确． 故选：CD 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/28 8:33:19；用户：高春娟；邮箱：cqtzxgz20@xyh.com；学号：25476338 11．已知，则下列结论正确的是　　 A．当时，若有三个零点，则的取值范围是 B．当且时， C．对于任意满足 D．若存在极值点，且，其中，则 解：对于：当时，，， 由，可得或，由，可得， 所以的增区间为和，减区间为， 所以在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则，解得，故正确； 对于：当，，，同时，结合中函数的单调性得，故错误； 对于，故正确； 对于：若，， 由，得， 则，因为存在极值点，则， 代入得：， 整理得，即， 即，因为，所以， 又因为本题中，所以，故正确．故选：． 12.已知等比数列的公比为，若，则 　 　． 13. 为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是 　120　． 解：根据题意，由于活动“法律援助”必须排在前三位，分3种情况讨论： ①“法律援助”排在第一位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案； ②“法律援助”排在第二位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案； ③“法律援助”排在第三位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起， 则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种安排方案； 故符合题意的安排方案有种．故答案为：120． 14．设，已知函数，若恒成立，则的最大值为 　　． 解：， 设，由于，易知在上递增，且， 故，设，， 当时，，当时，， 所以，即有，所以， 设（a），，， 当时，（a），当时，（a），所以，所以的最大值为．故答案为：． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B；(2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1)(2) 【解】（1）因为，所以， 又因为所以，，得， 所以，由余弦定理得，又B为三角形内角，所以， （2）因为的面积为，，，所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，，所以，，所以 16．已知抛物线的焦点为，准线为，是上的动点． （Ⅰ）当时，求直线的方程； （Ⅱ）过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，直线与的另一个交点为，证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标． 解：（Ⅰ）由抛物线的方程可得焦点，准线方程为， 设，由抛物线的性质可得，可得， 将代入抛物线的方程可得，可得，即，所以， 所以直线的方程为； （Ⅱ）证明：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，由题意可得，联立，整理可得：， △，即，且，，因为直线的方程为：， 由题意可得在直线上，所以，因为，所以，即，可得，符合△，即直线的方程为，可得直线恒过定点， 即证得直线恒过定点，且定点为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/28 7:58:52；用户：高春娟；邮箱：cqtzxgz20@xyh.com；学号：25476338 17．在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个白球和红球，有放回地随机摸球次，白球出现次.假设每次摸出白球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出白球的概率的估计值为. (1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取个球，设摸出的球为白球的次数为，则. （注： 表示当每次摸出白球的概率为时，摸出白球次数为的概率） （ⅰ）完成下表，并写出计算过程； （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值. (2)把（1）中“使得取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性. 【答案】(1)（ⅰ）表格见解析，答案见解析；（ⅱ）(2)，答案见解析 【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值； （2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论. 【解】（1）因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或， （ⅰ）当时，， ，， 当时，， ，， 表格如下 （ⅱ）由上表可知． 当或时，参数的概率最大；当或时，参数的概率最大． 所以 ； （2）由，则， 令，即，故， 即当时，，    当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取最大值，故， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的. 18．如图，为圆的直径，点，在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为． 解：（1）证明：平面平面，且，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，所以平面， 又由平面，所以平面平面． （2）设，的中点分别为，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则点，0，，，，0，，，0，，． 则，．设平面的法向量为，，，则，即，取，可得，，则，，， 由（1）可知平面，平面的一个法向量为， 则， 因为二面角的大小为，可得，解得，所以线段的长为． 19．已知函数，记，若满足，则称是上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数是上的“可控函数”，则函数也是上的“可控函数”，其中，例如． (1)判断函数是否为上的“可控函数”，并说明理由； (2)已知函数是上的“可控函数”，且的最大值为． （i）求函数的解析式； （ii）若数列满足，是数列的前项和．求证：． 【解】（1）是上的“可控函数”．因为，由得，所以，因为，故函数是上的“可控函数”． （2）（i）由函数的定义域为，可得， 由于，又因为，当时，，则在区间上单调递减，当时，，则在区间上单调递增， 而，所以当时，的取值范围为，因为， 所以由“可控函数”的定义可得函数是上的“可控函数”． 所以的最大值不小于．若，由“可控函数”定义可知满足的条件为 可得，所以． 又因为，由的单调性可得， 当时，的取值范围为，显然， 所以函数是上的“可控函数”， 所以的最大值为，得，则，所以函数的解析式为． （ii）先证明．由（i）可知函数是上的“可控函数”， 由“可控函数”性质可知函数也是上的“可控函数”， 所以． 因为， 且，所以， 所以．再证． 由（i）可得在区间上单调递减，且， 所以若，则， 若，则． 又因为，所以时， 均大于均小于． 因为， 所以当为奇数时，． 若，可得． 若，可得 ， 所以对任意的．综上所述． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $