山西太原市山西大学附属中学校2026年高二数学暑假作业综合（八）

**基本信息** 本综合训练整合高二核心知识，以代数、几何、统计为主体，融入数学文化与实际应用，通过多样化题型考查数学眼光、思维与语言，强化知识间逻辑关联。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数与函数|单选1,4,5,8/填空12,13/解答16,18|集合运算、解三角形、向量、函数性质、数列与导数|概念生成（函数奇偶性与周期性）、原理推导（数列递推与等比证明）| |几何与空间|单选2,6,7/多选11/解答15,19|圆锥曲线、线圆关系、三棱锥与球、抛物线、立体几何与费马点|空间形式（线面垂直推导面面垂直）、数量关系（离心率计算）| |统计与概率|解答17|满意度调查、正态分布、抽奖概率|数据观念（样本估计总体）、模型应用（分布列与期望）| |数学文化与创新|单选3/填空14|《周髀算经》等差数列、数列扩充|数学史与数列结合，创新规则下的求和逻辑|

山西大学附中高二数学暑假作业 编号八 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】，，故选：B． 2．双曲线与椭圆有公共的焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点为且焦点在轴上，即， 因为的离心率是2，所以，即，所以，故双曲线的标准方程为.故选：A 3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解】令所给等差数列为，其前项和为，则，即，因此，解得，则数列的公差，所以谷雨日影长.故选：B 4．已知分别为的三个内角的对边，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知条件，得，，，,故选：C. 5．设向量，，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角B．若，则 C．若，则或D．与共线的单位向量有且只有 【答案】D 【解】对于A，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 又，，则，解得且，所以当时，与的夹角为钝角，故A正确；对于B，因为，所以，得，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确． 对于D，易得，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，故D错误；故选：D． 6．已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】由直线与圆交于A，B两点可得， 即弦心距，又因，解得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 7．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】由三棱锥为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形，则其各侧面均为等腰直角三角形，设，则，故该三棱锥的体积， 又该三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，故外接球的半径， 则球的表面积，则有， 解得，则点到平面的距离即为.故选：D. 8．已知对于，，，，且，则（   ） A．B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可. 【详解】因为，所以，所以.由，得，两式相加得，所，所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以， 所以.选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9． 已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（    ） A．复数的共轭复数B．若，则复平面内对应的点位于第四象限 C．已知复数z满足，则的最小值为2D．若，且，则 【答案】BC 【解】A.复数，则共轭复数，正确： B.，对应点为，在第三象限，B错： C.复数满足，则对应的点在是以对应点为端点的线段的中垂线上，即虚轴（加上原点）上，表示虚轴（加上原点）上的点到点的距离，最小值为1，C错误. D.若，则，又，则，故D正确：故选：BC 10．已知函数的最小正周期为，则（    ） A．的最小值为B．在上单调递增 C．直线是的图象的对称轴D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 解:因为，最小正周期为，所以， 即.对于A，由于，所以的最小值为，A正确； 对于B，当时，，所以在上单调递增，B正确； 对于C，因为时，，所以C不正确；对于D，由，所以D正确.故选：ABD. 11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（   ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 【答案】ACD 解：抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有，解得，A正确； 抛物线的方程为，焦点，准线，设，， 对于B，点，由抛物线的定义知，， 有，所以M到x轴距离，B不正确； 对于C，，，由得：，即， 又，即，则，解得，， 于是得，C不正确； 对于D，抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方，过点P作于，交抛物线于点Q，连接，过A作于，连AF，AP，，如图， 显然， 当且仅当点A与Q重合时取等号，所以，D正确．故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知定义在上的偶函数满足，则 . 【答案】 【解】∵函数为偶函数，∴. ∵时，，∴当时，，， ∴当时，，， ∵对数函数在上为增函数，∴，即， ∴.故答案为：. 13．已知，则 . 【答案】 【解】.故答案为：. 14．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1 次得到数列1，2，3；第2 次得到数列1， 2， 3；；依次构造，记第 次得到的数列的所有项之和为 Tn， 则 . 【答案】514 【解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，，显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以.故答案为：514. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）因为底面，底面， 所以.又底面为正方形，所以. 故两两垂直. 以点为坐标原点，所在直线依次为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.由条件可得下面各点的坐标：， ， 进一步得.设平面的法向量为，由得即 令，得，所以. 设平面的法向量为， 由得即令，得，所以.因为，所以，平面平面. （2）由（1）得，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则. 16．设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求． 【解】（1）当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式． （3）由（2）知，，， 两式相减得，，则． 17．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为(2)8186(3)分布列见解析， 【解】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为，则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为. （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为，顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，，， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，函数只有一个零点. 【解】（1）当时，，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）.若，即时，，则在上单调递减； 若，即时，令，得；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上所述：时，函数在上单调递减； 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （3） 证明：由题知函数， （4） 则.若，则，所以在上单调递增，此时，所以只有一个零点为0； 若，令，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时函数的极大值为，极小值为. 不妨令，则， 显然时，，此时单调递增，时，，此时单调递减， 易知， 所以，又， 所以只有一个零点，且零点在区间内； 若，令，得或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时极大值为，极小值为. 不妨令，则， 此时单调递减，又， 所以函数只有一个零点，且零点在区间内.综上所述，当时，函数只有一个零点. 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． (1)若，且面积为． （i）求角B；（ii）求； (2)若，，，的面积为，，，求的最小值． 【答案】(1)（i）；（ii）(2)． 【分析】（1）（i）利用两角和的正弦公式和即可求解； （ii）由（i）得P为内的费马点，即，利用面积为得，即可求解； （2）由利用二倍角的余弦公式有，即，利用正弦定理有，即，从而求出角，利用面积公式得，再由正弦定理即可得，，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）（i）∵，， ∴， ∴，在中，，∴，∴，又，∴． （ii）∵，∴不存在大于等于120°的角，∴P为内的费马点．所以，∵， ∴， ∴ ． （2）∵，∴，即， 在中有正弦定理得，， ∴，∴， 在中，，∴，又，∴． ∴， 设，，则在由正弦定理得，， 在由正弦定理得，∴， 当且仅当，，时等号成立．∴的最小值为． 试卷第6页，共21页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高二数学暑假作业 综合八 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．双曲线与椭圆共焦点，且的离心率是2，则C的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．已知分别为内角的对边，，则（   ） A． B． C． D． 5．设向量，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则与的夹角为钝角 B．若，则 C．若，则或 D．与共线的单位向量有且只有 6．已知直线与圆交于A，B两点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．对于任意的三个复数，下列结论错误的是（   ） A．复数的共轭复数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限 C．已知复数z满足，则的最小值为2 D．若，且，则 10．已知函数的最小正周期为，则（   ） A．的最小值为 B．在上单调递增 C．直线是的图象的对称轴 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 11．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（   ） A． B．若，则M到x轴距离为4 C．若，则 D．的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知定义在上的偶函数满足，则 . 13．已知，则 . 14．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1,3：进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1,2,3；；依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图是一个底面为正方形的阳马，其中底面，且,,. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求． 17．在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和中位数；（每组数据以该组区间中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，函数只有一个零点. 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设点P为的费马点． (1)若，且面积为． ①求角B；②求. (2)若，,,的面积为,,，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $