1.3.1矩形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质与判定，通过复习平行四边形引入特殊图形，结合折纸、测量课本等实物操作引导探究，构建从已知到未知的学习支架，帮助学生系统掌握矩形定义、性质及直角三角形斜边上中线性质。 其亮点在于融合动手实践与逻辑推理，通过测量实物培养数学眼光，猜想证明发展数学思维，几何语言表达强化数学语言。如测量橡皮擦等实物提出对角线相等猜想，证明过程培养推理能力，助力学生提升探究能力，教师可高效开展教学。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第一章内容概要 学习目标： 1. 加深理解矩形定义与轴对称特征，探究并掌握矩形独有的角、对角线特殊性质。 2. 能够熟练运用矩形性质，求解基础几何问题。 3. 通过类比平行四边形开展猜想、验证与证明，熟悉几何图形的探究思路。 复习回顾 回顾思考以下问题： 1.什样的图形叫矩形？ 2.平行四边形的有哪些性质？ 3.根据前两个小问猜测矩形具有哪些性质？尝试证明你的想法。 矩形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也就是长方形. 矩形的定义： 矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形形象的例子？ 两组对边分别平行 有个角是直角 四边形 平行四边形 矩形 知识小结 韦恩图： 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ （2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 探究新知 1 矩形的性质 活动1：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 轴对称 2 动手操作 活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. 1.请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果. （3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） 2.根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 新知学习 例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD（矩形的对角线相等） OA = OC = AC，OB = OD = BD， ∴OA = OD. ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°. ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5. A B C D O 典例精析 例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD， DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC. A B C D E F 证明：连接 DE. ∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥BC，∠C = 90°. ∴∠ADE =∠CED. ∴∠CED =∠AED. 又∵ DF⊥AE， ∴ DF = DC. 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 练一练 直角三角形斜边上的中线的性质 A 　 B 　 C 　 D 　 E 　 活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E. B C E A 问题 BE 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 由此你能得到怎样的结论? 2 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点． (1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长； 解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点， ∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5， DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4. ∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18. (2)求证：EF 垂直平分 AD. 证明：∵ DE＝AE，DF＝AF， ∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD. 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 总结 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 知识小结 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C C 随堂练习 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm． 2.5 5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______． 6 第4题图 第5题图 6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：BD = BE； （2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，AB∥CD. 又∵ BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴ AC = BE. ∴ BD = BE. (2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4， ∴ BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4， ∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在 Rt△BCD 中， BC = ∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = . A B C D O E $