1.3 矩形的性质与判定 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

这是一份初中数学北师大版九年级上册“矩形的性质”同步教学课件，共38页，含动态演示视频和几何画板资源。通过活动平行四边形教具导入矩形定义，引导学生测量猜想性质，经证明得出矩形边、角、对角线及对称性特征，结合例题与变式练习巩固，还推导直角三角形斜边中线性质。 资料突出核心素养培养，以生活实例（书本、课桌）引导用数学眼光观察，通过小组测量、几何画板验证发展数学思维，用规范几何语言表述定理强化数学语言。创新采用“探究-证明-应用”模式，如测量身边矩形猜想性质再严格证明，帮助学生提升探究与推理能力，为教师提供分层练习和动态资源，助力高效教学。九年级学生面临升学考试，需重点掌握矩形性质及直角三角形斜边中线性质等中考高频考点，本资料通过例题和变式练习针对性强化，帮助学生夯实基础应对考试。

1.3 矩形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 矩形的性质 1 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察： 点击播放 复习导入 不变： 变： 对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形。 角的大小。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。 矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 探究新知，经历过程 矩形 邻边相等 有一个直角 菱形 类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。 你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？ 性质 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行 且相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 尝试·思考 （1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果； （2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？ 探索活动 点击播放 几何画板.GSP 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。 你能证明这两个定理吗？ 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°； 证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=∠CDA， ∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）。 ∴∠ABC +∠BCD = 180°。 又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°。 已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。 求证：（2）AC = DB。 （2）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， 在△ABC 和 △DCB 中， ∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB。 ∴△ABC ≌∠DCB。 ∴AC = DB。 定理 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角线相等。 ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠DAB = ∠DCB =∠ADC =∠ABC = 90° ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ AC = DB 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。   （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 点击播放 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。   （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 点击播放 矩形的性质 矩形的对边平行且相等。 角 对角线 边 矩形的对角线相等。 矩形的对角线互相平分。 矩形的四个角都是直角。 矩形的对角相等。 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。 如图，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E。将矩形纸片沿 AC剪开，得到如图所示的图形， 观察·思考 BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能得到什么结论？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB = DC（矩形的对边相等）， ∴BE = DE = AE = CE, 在Rt△ABC 中， AC为斜边，BE 为斜边上中线， ∴BE = AC。 定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点。 可得： 几何语言： 例1 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长。 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°（矩形的四个角都是直角）， AC = BD（矩形的对角线相等）， OA = OC = AC， OB = OD = BD（矩形的对角线互相平分）。 ∴OA = OD。 ∵∠AOD = 120°， ∴∠ODA =∠OAD = (180°－ 120°) = 30°。 ∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5。 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形. 矩形的性质： 具有平行四边形的一切特征. 四个角都是直角. 对角线相等且平分. 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1. 两个矩形的位置如图所示,若∠1＝130°,则∠2的度数为(　D　) A. 60° B. 45° C. 40° D. 50° D —— 课堂练习 —— 2. [2025内江]如图,在矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值是 　5　. 5　 3. 已知矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论中,一定正确的是(　C　) A. AC平分∠BAD B. AB＝BC C. AC＝BD D. AC⊥BD C 4. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形.若点B的坐标为(1,3),则AC的长是(　C　) A. 3 B. 2 C. D. 4 C 5. 教材变式题 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 若∠AOB＝60°,则 ＝ 　 　. 　 6. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E. (1) 求证:AC＝CE; 解:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AB∥CD,AC＝BD. ∵ 点E在AB的延长线上, ∴ BE∥CD. ∵ BD∥CE, ∴ 四边形BDCE是平行四边形. ∴ BD＝CE. ∴ AC＝CE (第6题) (2) 若∠BOC＝120°,CE＝4,求AB的长. 解:(2) ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AC＝BD,OA＝OC＝ AC,OB＝OD＝ BD,∠ABC＝90°. ∴ OA＝OB＝OC＝OD. ∵ ∠BOC＝120°,∴ ∠AOB＝60°. ∴ △AOB为等边三角形.∴ ∠OAB＝60°. ∵ ∠ABC＝90°,∴ ∠ACB＝30°. ∵ CE＝4,∴ AC＝4.∴ AB＝2 (第6题) 7. [2025德阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD＝1,则GE的长为(　B　) A. 3 B. 2 C. 1 D. B 解:△PAE是等腰三角形　理由: ∵ DE⊥BC,∴ ∠CED＝∠CAD＝90°. ∵ P是线段CD的中点, ∴ PA＝ CD,PE＝ CD. ∴ PA＝PE. ∴ △PAE是等腰三角形. 8. 如图,在Rt△ABC中,∠CAB＝90°,D是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),DE⊥BC于点E,P是线段CD的中点.请判断△PAE的形状,并说明理由. (第8题) 9. [2025兰州]如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P. 若P为EF的中点,∠ADB＝35°,则∠DPE的度数为(　C　) A. 95° B. 100° C. 110° D. 145° C 10. 如图,以△ABC的边AB为对角线构造矩形ADBE,连接DE分别交AB,AC于点O,F,若F为AC的中点,BD＝5,AD＝BC＝12,则EF的长为 　 　. 　 解:(1) ∵ CF∥BD,∴ ∠ODE＝∠FCE. ∵ E是CD的中点,∴ CE＝DE. 在△ODE和△FCE中, ∴ △ODE≌△FCE (第11题) 11. 教材变式题 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD,交线段OE的延长线于点F,连接DF. (1) 求证:△ODE≌△FCE; (2) 猜想四边形△ODFC是什么特殊四边形,并说明理由. 解:(2) 四边形ODFC是菱形　理由: ∵ △ODE≌△FCE, ∴ OD＝FC. ∵ CF∥BD, ∴ 四边形ODFC是平行四边形. ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ OC＝OD. ∴ 四边形ODFC是菱形. (第11题) 12. [2025长沙期末]如图,在矩形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG＝BO,连接BG,OF. 求证: (1) BO＝OF; 解:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ OA＝OC＝OB＝OD. ∵CE⊥BD,AG∥BD交CE的延长线于点F,∴ CF⊥AG. ∴ △ACF是直角三角形. ∴ OF是Rt△AFC的斜边AC上的中线. ∴ OF＝OC. ∴ BO＝OF (第12题) (2) 四边形BOFG为菱形. 解:(2) ∵ CE⊥BD,CF⊥AG, ∴ FG∥BO. 又∵ FG＝BO, ∴ 四边形BOFG为平行四边形. 由(1)可知,BO＝OF, ∴ 四边形BOFG为菱形 (第12题) 13. 如图,四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,∠AED＝2∠CED,G是DF的中点,连接AG. (1) 若BE＝2,AG＝4,求AB的长; 解:(1) ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD＝∠ABC＝90°,AD∥BC,AD＝BC. ∴ ∠ABE＝180°－∠ABC＝90°, ∠ADE＝∠CED. ∵ G是DF的中点,∴ AG＝DG＝GF. ∴ ∠ADE＝∠GAD. ∴ ∠AGE＝∠GAD＋∠ADG＝2∠ADG. ∵ ∠AED＝2∠CED,∴ ∠AED＝∠AGE. ∴ AE＝AG＝4.∵ 在Rt△ABE中,BE＝2,AE＝4, ∴ 由勾股定理,得AB＝ ＝2 (第13题) (2) 若BC＝2AB,求∠AED的度数. 解:(2) 过点G作GH⊥AB于点H,则∠GHB＝90°. ∵ ∠DAB＝90°, ∴ ∠DAB＝∠GHB. ∴ GH∥AD. ∵ AG＝GF,GH⊥AF,∴ AH＝HF, 即H是AF的中点.又∵ G是DF的中点, ∴ GH＝ AD＝ BC. ∵ BC＝2AB,∴ GH＝AB. ∵ AG＝AE,∴ GF＝AE. 在Rt△GHF和Rt△ABE中, ∵ GF＝AE,GH＝AB,∴ Rt△GHF≌Rt△ABE. ∴ ∠GFH＝∠AEB. ∵ ∠AED＝2∠CED,∠GFH＝∠EFB, ∴ 易得∠EFB＝∠AEB＝3∠CED. ∵ ∠ABE＝90°, ∴ ∠EFB＋∠BEF＝4∠CED＝90°.∴ ∠CED＝22.5°. ∴ ∠AED＝2∠CED＝45° (第13题) EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $