高中数学单元测试——第三章函数（较难版02）

**基本信息** 高中数学第三章函数单元复习较难版测试卷，全面覆盖函数定义域、奇偶性、单调性等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习中对数学思维与应用能力的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、函数相等、单调性|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|函数图像、分段函数性质|多选项设计，培养批判性思维| |填空题|3/15|值域、二分法、函数不等式|简洁设问，强化运算能力| |解答题|5/87|奇偶性证明、阶梯水价模型、新定义“友谊函数对”|阶梯水价体现模型意识，新定义问题发展创新意识，综合考查推理与表达能力|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知 为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-1 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 14．（本题5分）已知函数满足，则的解集为_____. 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为，令，解得， 所以. 故选：B 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数及反比例函数的性质求解即可. 【详解】∵函数在上单调递减, 当时，单调递减， ，解得； 当时，单调递减， ； 又函数在上单调递减， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 5．（本题5分）已知 为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】由奇函数定义计算即可得的值. 【详解】由奇函数定义可得， 即， 整理得. 由对任意恒成立，故. 故选：A 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列四个图形中，是函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义进行判断即可. 【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值， 对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象； 对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象； 故选：BD． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，无最小值 C．若是上的减函数，则实数的取值范围为 D．若且方程恰有3个不等实根，则 【答案】ACD 【分析】代入得到函数解析式，先求再求即可判断A选项；当时根据函数的单调性求出函数的端点的值，并验证这个点是否是最小值判断B选项；根据分段函数单调性的定义列出不等式组，然后解得的范围，判断C选项；当得出函数解析式，然后作出函数大致图象，即可知道方程恰有3个不等实根时的取值范围，判断D选项. 【详解】当时，，， 则，A选项正确； 当时，，由二次函数可知，函数在上单调递减， ∴当时，当时，，即函数存在最小值0，B选项错误； 要想函数是上的减函数，则，即， ∴，C选项正确； 当时，，函数大致图像如下 若方程恰有3个不等实根，则，D选项正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是定义域为的奇函数 C．不等式的解集为 D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇函数概念可判断A，利用定义域可判断B，利用奇偶性求出，可判断C和D. 【详解】因为是奇函数，所以，故A正确； 因为，所以的定义域中肯定没有元素，故B错误； 由是奇函数，是偶函数， 可得：， ， 两式相减得：， 所以，解集为，故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确； 故选：AD 三、填空题 12．（本题5分）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】分别求出分段函数和时的函数值的取值范围，取并集可得答案. 【详解】由于函数，当时，,当时，， 所以函数的值域为 故答案为： 13．（本题5分）在用二分法求方程的近似解的过程中，已确定方程的一根，则再经过两次计算后，所在的开区间为__________． 【答案】． 【分析】利用二分法求方程的近似解，只需计算和，判断出正负号即可. 【详解】令，可知， 且， 故函数零点位于， 又， 所在的开区间为． 故答案为：． 14．（本题5分）已知函数满足，则的解集为_____. 【答案】 【分析】根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可； （2）利用结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）若函数是偶函数，则，即， 所以或，所以， 此时，，满足为偶函数， 所以. （2）因为, 所以，， 因为，所以，， 所以，， 所以当时，恒成立， 故函数在上有零点. 16．（本题15分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 在区间上单调递增. 设任意，，且， 则， ∵，，且，∴，，， 若，则；若，则； 若，显然有. 所以，，时，，， ∴，即，即， 故在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）将已知条件代入，结合函数的奇偶性求解即可，若用特殊值，则需要检验； （2）定义法证明函数单调性的步骤为：设值，作差，变形，定号，写结论；要注意变形要变为可以判断正负的几个因式乘积的形式； （3）移项，根据奇偶性和单调性得出不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意可知，即，解得， ∴，是奇函数，符合题意， 所以，. （2）略 （3）∵是定义域为的奇函数， 则，不等式可化为， 由（2）可得， ，解得， ∴不等式的解集为. 19．（本题17分）若函数和函数定义域均为，且对任意的，都有成立，则称与为“友谊函数对”． (1)已知，判断函数与是否互为“友谊函数对”，并说明理由； (2)已知与为“友谊函数对”，函数是上的严格减函数，求证：存在，使得； (3)是否存在一次函数和二次函数，其中，，使得与为“友谊函数对”？若存在，请给出所有这样的和的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)互为“友谊函数对”，理由见如下： 因为， 所以， 所以与为“友谊函数对”. (2) 若结论不成立，则对任意， 于是，又由函数严格减得， 于是，矛盾． 综上所述，命题得证． (3)存在， 【分析】（1）根据“友谊函数对”的定义进行计算判断即可. （2）根据反证法证明结论. （3）设，然后根据“友谊函数对”的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，其中 则， 若恒成立， 则 由得，再由得 此时对任意的实数恒成立． 因此存在这样的一次函数和二次函数， 所有满足条件的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $