4.4.1 对数函数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数概念、定义域及应用，以“碳14测年”实际问题导入，通过指数函数无法解决“已知底数和幂求指数”的矛盾，引导学生从指数与对数关系抽象出对数函数雏形，结合函数概念认证构建学习支架。 其亮点在于以碳14测年、物价增长等情境驱动数学建模，通过定义辨析题发展数学抽象，借助函数认证和定义域求解培养逻辑推理。采用问题链引导与典例分层设计，小结明确三要素及易错点，助力学生系统掌握知识，也为教师提供清晰教学路径。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念 4.4 对数函数 学 习 目 标 1 2 3 了解对数函数的实际背景,体会对数函数的概念形成过程 理解对数函数的定义,能准确判断一个函数是否为对数函数。 会求对数函数的定义域,并能运用对数函数模型解决简单实际问题 发展数学抽象、逻辑推理与数学建模核心素养 问题情境：考古学中的"碳14测年" 知识讲解 互动探究 新课引入 考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的？ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y 由死亡生物体内碳14含量，如何求出它的死亡年数呢？ 3 从指数到对数 知识讲解 互动探究 新课引入 这是一个”已知底数和幂，求指数”的问题。指数函数 y= 解决不了，需要一种新的函数！ 指数式 对数式 先回顾下指数转对数 类比可知 4 对数函数的雏形 知识讲解 互动探究 新课引入 疑问：这是个函数吗？ 探究表明: 得 。当 为常数时，x 随 N 变化而变化，这就是对数函数的雏形！ 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x), x∈A. 回顾：函数的概念 5 目标一：碳14对数式是函数 函数认证 知识讲解 互动探究 新课引入 借助图象，揭示存在性和唯一性 根据指数与对数的关系，由得到 ．如图，过轴正半轴上任意一点作轴的 平行线，与的图象有且只 有一个交点． 7 函数认证 知识讲解 互动探究 新课引入 用函数的对应关系描述 这就说明，对于任意一个 ，通过对应关系 ， 在上都有唯一确定的数 和它对应, 所以 也是 的函数. 也就是说, 函数 刻画了时间 随碳 14 含量 的衰减而变化的规律. 结论：这个对数式确实是一个函数，以y为自变量，x为因变量，给我们的习惯不一样。 8 推广 知识讲解 互动探究 新课引入 自变量 因变量 根据习惯将x,y对调 自变量 因变量 自变量 对数函数雏形 对数函数标形 9 目标二：对数函数的概念 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 同样地, 根据指数与对数的关系, 由 （，且）可以得到 （，且）， 也是 的函数. 通常, 我们用 表示自变量, 表示函数. 为此, 将 （，且）中的字母 和 对调, 写成 （，且）. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 说明: 以10为底的对数函数𝑦=lg𝑥叫做常用对数函数，以"e"为底的对数函数𝑦=ln𝑥叫做自然对数函数. 11 强调 知识讲解 互动探究 新课引入 项目 内容 注解提醒 定义 函数 （，且）叫做对数函数，是自变量 形式定义：必须严格写成，前面系数为；如、不是对数函数 底数条件 且 或，对数无意义 定义域 ，自变量 真数必须大于 0；负数、零没有对数 值域 （全体实数） 时，可以取任意实数 辨析举例 ✔是对数函数 ✘不是 ✘不是（系数不为 1） 只看解析式原始形式，不做变形化简之后的形式 12 判断是否是对数函数 给出下列函数: ① ; ② ; ③ ; ④ . 其中对数函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 典例分析 牛刀小试 判断一个函数是否为对数函数，要关注以下三点： 1. 对数符号前面的系数为1； 2. 对数的底数：a > 0, 且a 1； 3. 对数的真数是x. 对数函数形式定义: (且，自变量单独在真数位置，系数为1) ① : 真数是，不是自变量，不是对数函数 ② : 真数是，不是自变量，不是对数函数 ③ : 底数含有自变量，不是对数函数 ④ : 底数，真数为，完全符合定义，是对数函数 综上，只有1个对数函数，答案： 已知对数函数求参 若函数是对数函数，则______. 典例分析 牛刀小试 答案：4 解析：由题意可知 解得 . 若函数是对数函数，则的值是( ) A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 且 解析：C ∵函数是对数函数， ∴，且，解得或，∴，故选C. 目标三：对数函数的简单应用 求对数函数的值 例1 已知对数函数的图象过点M(9,-2),则此对数 函数的解析式为( ) A. y = log₂x C. y=log₃x B. y = log₃x D. y=log₂x 典例分析 牛刀小试 解析:C设对数函数为y=logₐx, M(9,-2)代入可得-2=logₐ9 = logₐa², 所以a²=9, =9, a=, 则对数函数的解析式为y=log₃x. 求对数函数的值 例2 已知函数, 若, 则 A. b B. –b C. D. 典例分析 牛刀小试 【答案】B C. D. 【解析】选B.因为f(a)=lg=b,所以f(-a)=lg=-b. (多选)已知f(x)=logx,则对任意的a, b∈(0,+∞),下列关系成立的是( ) A. f(ab) = f(a) + f(b) B. f(ab) = f(a)f(b) C. f() = f(a)+f(b) D. f() = f(a)-f(b) 【解析】选AD.因为f(x)=logx, a, b ∈ (0,+∞),所以 f(ab) = log(ab) = loga + logb = f(a)+f(b),故A正确,B错误; a f() = log = loga - logb = f(a)-f(b),故C错误,D正确. 求对数函数的值 例3 已知函数f(x) = ,则f(lg2)+f(lg) = ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 典例分析 牛刀小试 【答案】D 【解析】选D.因为f(x)=ln(-3x)+1,x∈R,所以 f(-x) = ln(+3x)+1,则 f(x)+f(-x) = ln(-3x)+ln(+3x)+2 = ln(1+9x²-9x²)+2 = 2,则 f(lg 2) + f(lg) = f(lg 2) + f(-lg 2) = 2. 求与对数函数有关的定义域 范围 例1 解不等式 函数的定义域是( ) B. C. D.   典例分析 牛刀小试 解析: 函数 解得， 所以的定义域为。故选:D. 求与对数函数有关的定义域 范围 例2 解不等式 函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析：C 由 解得 且 。  求与对数函数有关的定义域 1 例3 2 已知f(x) = log₂(x² - 2ax + a + 2). 若f(1) = 2, 求a的值. (2) 若f(x)的定义域为R, 求a的取值范围 典例分析 牛刀小试 【答案】(1) 解: 因为f(1) = log₂(3 - a) = 2, 所以3 - a = 2² = 4, 解得a = -1. (2) 因为f(x)的定义域为R, 所以x² - 2ax + a + 2 > 0 对∀x ∈ R 恒成立, 所以 Δ = (-2a)² - 4(a + 2) < 0, 即a² - a - 2 < 0, 解得-1 < a < 2. 对数函数的实际应用 例1 假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增,经过t年后的物价为w. (1)该地的物价经过几年后会翻一番? (2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律. 典例分析 牛刀小试 解:(1)由题意可知,经过1年后物价w为w=(1+5%)’, 即w=1.05′ (t∈ [0,+∞)). 由对数与指数间的关系,可得t=log1.05 W, we [1,+8). 由计算工具可得,当w=2时,t≈14. 所以,该地区的物价大约经过14年后会翻一番. 物价 w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 t 0                   根据函数 , , 利用计算工具, 可得下表: 物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现,该地区的物价随时间的增长而增长,但大 约每增加1倍所需要的年数在逐渐缩小. 对数函数的实际应用 例2 人们通常以分贝(符号是 dB)为单位来表示声音强度的等级,一般地,如果强 度为 x 的声音对应的等级为 f(x)dB, 则有 f(x)=10lg 。生活在深海的抹香鲸 是一种拥有高分贝声音的动物,其声音约为 200 dB,而人类说话时,声音约为 60 dB,则抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 解析:C 当声音约为 200 dB 时,则 ,解得 ,当声音 约为 60 dB 时,则 ,解得 ,所以抹香鲸的声音强度与人 类说话时的声音强度之比为 。 目标四：针对训练 举一反三 1.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万 元时,奖励y万元,若公司拟定的奖励方案为y= 2log4x-2,某业务员要得到 5万元奖励,则他的销售额应为 ______ 万元 解析:由题意得5=2log4x-2,即7=log2x,得x=128. 答案:128 2. 已知函数f(x) = loga (2 + x), g(x) = loga (2-x)(a>0,且a≠1), H(x) = f(x) - g(x). (1) 求函数H(x)的定义域A;(6分) (2)实数mA,且H(m)=2,求H(-m)的值.(7分) 【答案】(1)解:由题意,H(x) = f(x) - g(x) = loga(2+x)-loga(2-x),由 {2+x>0,解得-2<x<2,则函数H(x)的定义域为A = (-2,2). (2)由(1)知, H(x) = loga(2+x)-loga(2-x),又m∈(-2,2),则-m∈ (-2,2),则 H(m) = loga(2 + m) - loga(2m)=2,所以H(-m) = loga(2m) -loga(2+m)=-2. 举一反三 3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中 0dB是人们能听到的等级最低的声音一般地,如果强度为x的声音对应的等级为 f(x)dB,则有f(x) = alg(10-12) (a为常数).已知人正常说话时声音约为60dB, 嘈杂的马 路声音约为90dB,而90dB的声音强度是60dB的声音强度的1000倍. (1) 求函数f(x)的解析式;(6分) (2) 若某种喷气式飞机起飞时,声音约为150dB,计算该种喷气式飞机起飞时 的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍(7分) 【答案】 (1) 解:设90dB的声音强度是x1,60dB的声音强度是x2, 则, 因为, 所以, 解得, 所以. 举一反三 3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中 0dB是人们能听到的等级最低的声音一般地,如果强度为x的声音对应的等级为 f(x)dB,则有f(x) = alg(10-12) (a为常数).已知人正常说话时声音约为60dB, 嘈杂的马 路声音约为90dB,而90dB的声音强度是60dB的声音强度的1000倍. (1) 求函数f(x)的解析式;(6分) (2) 若某种喷气式飞机起飞时,声音约为150dB,计算该种喷气式飞机起飞时 的声音强度是人正常说话时声音强度的多少倍(7分) 设喷气式飞机起飞时的声音强度为, 所以 所以,所以, 故该种喷气式飞机起飞时的声音强度是人正常说话时声音强度的 倍. 举一反三 4. 已知函数f(x) = , 若f(x₁) = f(x₂) (其中x₁≠x₂), 则的最小值为 () A C. 4 D.8 选B. 因为f(x) = = (log₂x - 1)(log₂x - 3) = (log₂x)² - 4log₂x + 3, 由 f(x₁) = f(x₂), 所以log₂x₁ + log₂x₂ = 4, 即x₁x₂ = 16, 所以≥ 2 = 2, 当 且仅当, 即时等号成立, 所以的最小值为2 目标五：小结 学海拾贝 对数函数定义 一般地,函数 (, 且 ) 叫做对数函数, 其中 是自变量。 注意: 这是形式定义, 必须严格匹配该解析式。 定义三要素 底数:常数 a>0且a≠1,底数不能含自变量; 2. 定义域:x > 0,即定义域(0,+∞);自变量必须单独处于真数位置; 3. 系数:logax的系数必须为1。 学海拾贝 1、辨析举例 • y=logx ✔ 是对数函数 • y = logx²、y = log(x-1)、y = logx、y=2logx X都不是对数函数 值域 值域为R(全体实数)。 2、特殊对数函数 常用对数函数: , 底数为10; 自然对数函数: , 底数为 。 其他 学海拾贝 3、易错提醒 真数必须大于0,求解对数函数相关函数定义域时,优先保证真数>0; 判断对数函数只看原始解析式,不能化简后再判断; 底数是固定常数,不能含有变量。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $