4.4　4.4.1　对数函数的概念-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦对数函数概念，涵盖定义域、解析式等核心知识点。通过课前问题从指数函数反函数引入，结合思维导图梳理知识脉络，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学抽象素养为导向，通过问题驱动、典例辨析（如判断对数函数、求定义域）和类题通法培养数学思维，思维导图与定向训练帮助学生系统掌握，教师可直接用于教学提升效率。

4.4　对数函数 4.4.1　对数函数的概念 素养目标 思维导图 通过具体实例,了解对数函数的概念(数学抽象). 课前自主学习 问题1.已知函数y=2x,那么反过来,x是否为关于y的函数? 提示:由于y=2x是单调函数,所以对于任意y∈(0,+∞),都有唯一确定的x与之对应,故x也是关于y的函数,其函数解析式是x=log2y,此处y∈(0,+∞). 问题2.对数函数中两个变量的取值范围是什么? 提示:变量x的取值范围与指数函数中的y的取值范围相同.即(0,+∞).变量y的取值范围与指数函数中的x的取值范围相同,即为R. 【核心概念】 1.对数函数的概念 函数__________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是_______. 2.对数函数的形式是唯一的,自变量x的指数、系数均为___.对数函数的底数是大于 ___且不等于___的常数.对数式的系数也是___. y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 0 1 1 1 课堂合作探究 探究点一　对数函数的概念 【典例1】已知a为常数,判断下列函数是不是对数函数,并说明理由. (1)y=logax2(a>0,且a≠1). (2)y=log2x-1. (3)y=logxa(x>0,且x≠1). (4)y=log5x. 【思维导引】严格按照对数函数的定义进行判断. 【解析】因为(1)中真数不是自变量x,所以不是对数函数. (2)中对数式后减1,所以不是对数函数. (3)中底数是自变量x而非常数a,所以不是对数函数. (4)为对数函数. 【类题通法】判断一个函数是否为对数函数的方法 一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式,即必须满足以下条件:①系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③对数的真数仅有自变量x. 【定向训练】 下列函数中是对数函数的为(　　) A.y=x2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 【解析】选D.根据对数函数概念,形如y=logax(a>0且a≠1)的函数是对数函数.结合选项知y=logπx为对数函数. 探究点二　求函数值与解析式 【典例2】(1)已知函数f(x)同时满足①f(mn)=f(m)+f(n);②(m-n)[f(m)-f(n)]<0,其中m>0,n>0,m≠n,则符合条件的一个函数解析式f(x)=　　　　　.  (2)已知函数f(x)=b+logax(a>0且a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,-1). ①求f(x)的解析式; ②[f(x)]2=3f(x),求实数x的值. 【思维导引】(1)由已知函数性质,结合函数的单调性定义和对数函数的运算性质得f(x)=log ax且0<a<1. (2)①由已知得b+loga8=2,b+loga1=-1,从而求解析式即可; ②[f(x)]2=3f(x),即f(x)=0或3,即可求实数x的值; 【解析】(1)由②知:f(x)在(0,+∞)上单调递减;由①,结合对数的运算性质知: log a(mn)=log am+log an,则f(x)=log ax,综上,f(x)=log ax且0<a<1,故f(x)=x满足要求. 答案:x(答案不唯一) (2)①由已知得,b+loga8=2,b+loga1=-1(a>0且a≠1),解得a=2,b=-1,故f(x)=log2x-1(x>0); ②[f(x)]2=3f(x),即f(x)=0或3,所以log2x-1=0或3,所以x=2或16. 【类题通法】求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值:设出对数函数解析式,代入已知点先求解析式再求解. (2)求解析式:利用已知条件如函数经过的点或单调性求解. 【定向训练】 1.(2025·上海高一检测)设y=logax(a>0且a≠1),若图象经过(2,)和(,k),则k=　　　　　.  【解析】因为所以 答案:- 2.已知函数f(x)是对数函数,且f()=-,则f(2)=　　　　　.  【解析】设f(x)=logax(a>0,且a≠1),因为f()=-, 所以a=2,f(x)=log2x,所以f(2)=. 答案: 探究点三　求对数函数的定义域 【典例3】(一题多问) 已知函数f(x)=log a(2+x),g(x)=log a(2-x)(a>0且a≠1),回答下列问题. (1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的定义域. (2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的定义域. (3)求函数h(x)=log a的定义域. (4)求函数h(x)=log a(2+x)(2-x)的定义域. (5)求函数h(x)=log a的定义域. 【问题解读】根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组. 【解析】(1)依题意得⇒⇒-2<x<2,所以h(x)的定义域为(-2,2). (2)依题意得⇒⇒-2<x<2,所以h(x)的定义域为(-2,2). (3)由>0,即(x+2)(x-2)<0,解得-2<x<2,所以函数h(x)的定义域为(-2,2). (4)由(x+2)(2-x)>0,得(x+2)(x-2)<0解得-2<x<2,所以函数h(x)的定义域为(-2,2). (5)由>0,即(x+2)(x-2)>0,解得x<-2或x>2, 所以函数h(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞). 【题后反思】真数大于0是解决对数函数定义域的核心关键. 【类题通法】求含对数式的函数定义域关键是真数大于0,底数大于0且不为1.如需对函数式变形,需注意真数底数的取值范围是否改变. 【定向训练】 求下列函数的定义域: (1)f(x)=+lg(3x+1);(2)f(x)=;(3)f(x)=+(5x-4)0. 【解析】(1)要使函数有意义,则解得即-<x<1. 所以函数的定义域为(-,1). (2)若要使函数有意义,则,解得x≥3,所以该函数的定义域为[3,+∞); (3)若要使函数有意义,则, 解得x>-且x≠-,x≠,所以该函数的定义域为(-,-)∪(-,)∪(,+∞). 课堂练习 1.下列函数为对数函数的是 (　　) A.y=logax+1(a>0且a≠1) B.y=loga(7x)(a>0且a≠1) C.y=log(a-1)x(a>1且a≠2) D.y=2logax(a>0且a≠1) 【解析】选C.由对数函数的定义可知C正确. √ 2.设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 【解析】选D.由题意可知A={x|-2≤x≤2},B={x|x<1},故A∩B={x|-2≤x<1}. √ 3.若f(x)是对数函数,且f(2)=2,则f(x)=　　　　　　.  【解析】设f(x)=logax(a>0且a≠1),则f(2)=loga2=2,即a=,所以f(x)=lox. 答案:lox 4.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 (　　) A.300只　 B.400只　 C.500只 　 D.600只 【解析】选A.由题意,知100=alog2(1+1),得a=100, 则当x=7时,y=100log2(7+1)=100×3=300. √ 5.对数函数f(x)过点(9,2),则f()=　　　　　.  【解析】设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为loga9=2,所以a2=9, 所以a=3(a=-3舍去),所以f(x)=log3x,所以f()=log3=-1. 答案:-1 谢 谢 $