专题14 圆的最值与定值问题（7大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以隐圆模型为核心，通过“轨迹转化-性质应用-最值/定值求解”三阶方法体系，整合7类典型题型，培养几何直观与推理能力，实现从基础到压轴的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法+7题型+压轴挑战|1通法+7典例+多变式+15压轴题|隐圆构造、数形结合、分类讨论；特殊位置猜想+代数/几何证明|从轨迹判定（折叠/旋转/直径圆周角）到应用（距离/面积/覆盖/轨迹/定值），形成完整逻辑链|

专题14 圆的最值与定值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 题型4、面积最值问题 题型5、圆的覆盖问题 题型6、轨迹最值问题 题型7、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的最值与定值问题，核心在于通过“隐圆”把动点轨迹转化为圆或圆弧，再利用圆的性质求最值；常见模型有：圆上动点到定点距离最值、折叠旋转中的定长轨迹、直径所对直角、面积最值、覆盖问题、轨迹最值等；定值问题则要从特殊位置猜想定值，再用几何关系或代数运算证明其不变；解题时善于构造辅助圆、利用数形结合与分类讨论，注意临界状态分析． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 典例1 （2025·安徽安庆·一模）如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则 D．若，，则最小为 【答案】C 【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质，可得，证得，即可判断选项A正确；若，根据等腰三角形的性质可得，利用直角三角形的性质得，得证，即可判断选项B正确；过点作于点，根据矩形的性质得是等腰直角三角形，推出，即、、、四点共圆，通过圆周角定理得出，利用勾股定理求出、的值，通过即可判断C选项错误；通过题意可得点在以中点为圆心，为直径的圆上，当、、三点共线时，最小，利用勾股定理求出，再通过即可判断D选项正确． 【详解】解：A、四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，， ，故A选项正确； B、如图， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形，故B选项正确； C、如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故C选项错误； D、如图， ， ， 点在以中点为圆心，为直径的圆上， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，故D选项正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型模版 1.特征：动点在给定圆上运动，求该动点到某定点距离的最大值或最小值． 2.方法：连结定点与圆心，最近点在最近交点、最远点在最远交点；最值分别为 |d-R| 和 d+R，注意点的位置． 变式1-1 如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】如图，延长CF交⊙O于T，连接DT．利用三角形的中位线定理证明EF＝DT，当DT是直径时，EF的值最大． 【详解】解：如图，延长CF交⊙O于T，连接DT． ∵AB是直径，AB⊥CT， ∴CF＝FT， ∵点E是CD中点， ∴EF＝DT， ∴当DT是直径时，EF的值最大，最大值＝×8＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，垂径定理．正确作出辅助线并理解当DT是直径时，EF的值最大是解答本题的关键． 变式1-2 如图，量角器的0°刻度线的两端A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点C位于该量角器上刻度处． （1）若点C在靠近点A处，连接，则=___________°； （2）当点C与原点O的距离最大时，=___________°． 【答案】 25 或65 【分析】（1）取的中点D，如图，利用量角器的读数得到，再根据圆周角定理的推论判断点O在以为直径的圆上，即点O和量角器在同一个圆上，则根据圆周角定理得到； （2）当点C、D、O共线时，点C与原点O的距离最大，分两种情况利用邻补角计算出或，然后根据圆周角定理得到，进而即可求解． 【详解】（1）取的中点D，如图， 根据题意得， ∴ ∵， ∴点O在以为直径的圆上，即点O和量角器在同一个圆上， ∴； 故答案为：25； （2）①当点C靠近B点时，且点C、D、O共线时，点C与原点O的距离最大， ∵， ∴， ∴． ②当点C靠近A点时，且点C、D、O共线时，点C与原点O的距离最大， 此时， ∴， ∴． 故答案为：或65． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 变式1-3 如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 典例2 （2025·青海西宁·一模）综合与实践 如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，． (1)如图1，当时，求证：； (2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数； (3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小； (4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 当时，则重合，重合， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴， ∴重合， ∵垂直平分， ∴； (2) 如图： (3)， (4)当或时，，当时，，当时， 【分析】（1）连接，根据题意，当时，重合，重合，由正方形的性质可得，则重合，根据正方形的性质可得垂直平分，即可得到； （2）由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，可得除图1外，当点F在延长线上时，满足，根据正方形的性质即可求出； （3）根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，结合图形可得当三点共线时，由最大值，同理可得当三点共线时，有最小值；由此即可解答； （4）由（1）（2）知，或时，；画出示意图，结合图形根据三角形大角对大边，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则， ∴当点F在延长线上时，满足， 如图： 则，即三点共线，点在延长线上， ∴； （3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动， 如图，当三点共线时，由最大值， 此时，； 同理，如图，当三点共线时，有最小值， 此时，； （4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接， ∵， ∴， ∴， 当点在下方时，即时， ∴， ∴， 如图：在中，， ∴， ∴， 同理得：； 当点在上方时，即时， 同理得：， ∴， 综上：当或时，，当时，，当时，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，点与圆的位置关系，三角形三边关系，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用正方形的性质． 题型模版 1.特征：折叠、旋转后某点到定点的距离不变，从而形成隐圆轨迹． 2.方法：根据折叠或旋转的不变性确定定长；以定点为圆心、定长为半径作隐圆；把问题转化为圆上动点到相关点的距离最值． 变式2-1 问题探究 (1)如图①，已知中，，点是的中点，连接，则的长为______； (2)如图②，已知中，为内一点，且，，请求出的长度； (3)如图③，四边形中，，，，，点为四边形内一点，且始终有，连接、，请问是否存在一点，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解； （2）将绕点顺时针旋转，连接，得到是等腰直角三角形，从而知道是直角三角形，利用勾股定理求解； （3）连接，利用勾股定理求出的长，利用直角三角形边之间的关系得到，根据题意找到点的运动轨迹，将绕点逆时针旋转，找到点的运动轨迹，将求的最小值转化为求的最小值，最后利用点到圆上的最短距离进行求解． 【详解】（1）解：已知中，， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）解：将绕点顺时针旋转与重合，连接， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ， 在中，， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵，，，， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵点为四边形内一点，且始终有， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，2为半径在四边形内的圆弧， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，， ∴是等边三角形，点是以点为圆心，2为半径的圆弧， ∴，， 当四点共线时，取的最小值，最小值是， ， 在中，， ， ∴， 即的最小值为． 变式2-2 （25-26九年级下·吉林长春·期中）综合探究 【直接运用】 (1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ； 【构造运用】 (2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值； 【灵活运用】 (3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 如图，取的中点O，连接、、， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴点P到点C的最短距离为． 【分析】（1）根据点圆最值问题的解题思路，圆外一点与圆上一点所成线段的最小值时，圆上的点为圆外点与圆心所在直线与圆的交点（靠近圆外点的交点）处，作答即可； （2）连接，由题意可知为的中位线，故，根据折叠的性质，由定点定长，可以判断出点的运动轨迹为以F为圆心，为半径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出的最小值，即可得到的最小值； （3）由题意，可知，借助正方形的性质，利用可以证明，从而得到，利用定长直角，可以判断出点P的运动轨迹为以为直径的圆，根据点圆最值问题的解题思路，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点O，连接， 则当点A、P、O在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的最小值； （2）解：如图，连接，， ∵点N为的中点，点M为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵F为的中点，四边形为平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴点在以F为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部， ∵， ∴当A、、F共线时，最小，即为的值， 作于H， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∴的最小值； （3）略 变式2-3 （25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 典例3 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 【详解】解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 题型模版 1.特征：利用“直径所对圆周角为直角”构造隐圆，解决直角顶点轨迹或相关最值． 2.方法：若直角顶点对定线段，则该点在以定线段为直径的圆上；结合圆的性质求距离、角度或面积最值． 变式3-1 （2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】 已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】 （3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 【答案】 （1）①证明：连接，取的中点O，连接， ， ， 又， ， ， 为的中点， ， 点A，B，C，D在同一个圆上； ②234； （2）证明：，， ， 在中，，在中，， ， 即； （3） 【分析】本题考查了四点共圆、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握四点共圆的判定、圆内接四边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． （1）①连接，取的中点O，连接，证出，由直角三角形的性质及圆的定义可得出结论；②由三角形面积公式可得出答案； （2）由三角形面积公式可得出答案； （3）设，，，，连接，过点C分别作于点E，于点F，证明，，得出，，求出，则可得出答案． 【详解】解：（1）①略 ②解：， 故答案为：234； （2）略 （3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大， 连接，过点C分别作于点E，于点F， ， ， ， ，， ， ， ， 同理可证， ，， ， ∵， ， ， ， ， ， 即四边形面积S的最大值为 变式3-2 【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】(1)①可知、、三点在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理求解即可； ②利用圆内接四边形对角互补求解即可； (2)由，取斜边的中点，可得，于是、、、四点共圆，且为直径，再利用圆周角定理推论求解即可； (3)通过两次全等证明，确定动点在以为直径的圆上，最后将“最小值”转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题即可． 【详解】（1）解：①如图1， ，， ，，都在以为圆心，为半径的上， ； ②在圆内接四边形中，， ． （2）解：如图2，取的中点，连接，， ，， ， ，，，在以为直径的上， ． （3）解：如图3： ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接， ， 在以为直径的圆上，，，三点共线时最小， 在中，， 的最小值是． 变式3-3 （2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4、面积最值问题 典例4 （25-26八年级下·重庆綦江·期末）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． (2)证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：见答案 （2）证明：见答案 （3）解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：与圆相关的图形面积随动点变化，求面积的最大或最小值． 2.方法：建立面积关于关键变量的函数；用圆心角、半径、弦心距等表示面积；利用函数性质或几何不等式求最值． 变式4-1 如图，半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是__________． 【答案】 【分析】连接，先根据等边三角形的判定与性质可得，根据圆周角定理可得，则可得，再作的外角圆，过圆心作于点，连接，，求出，然后可得当点共线时，，此时的值最大，最大值为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图1，连接， ∵半径为6， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的面积最大，则需点到的距离最大， 如图2，作的外角圆，过圆心作于点，连接，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴当点共线时，，此时的值最大，最大值为， ∴的最大面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、圆中的最值问题等知识，找出的面积最大时，点的位置是解题关键． 变式4-2 （24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．证明，判断出点C在以为圆心，为半径的圆上运动可得结论． 【详解】解：如图，选取圆心，连接，，过点O作于点D．    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在的垂直平分线上时，的面积最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴面积的最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点C的运动轨迹． 变式4-3 四边形是正方形，是过点A的直线．作，垂足为E，将射线绕点D逆时针旋转，得到的射线与直线交于点F，连接． (1)如图1，当时，点F与点A恰好重合，则的值为________； (2)如图2，在时． ①依题意补全图形； ②探究线段，与之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若，当的面积最大时，求的面积． 【答案】(1) (2)解：①补全图形如下： ②； 证明：延长到点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点在正方形的外接圆上． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由题意可得，根据正方形的性质得到，进而得到，即可解答； （2）①依题意作图即可；②延长到点，使得，证明点在正方形的外接圆上，进而证明，即可得出结论； （3）设交于点，连接并延长交于点，根据点在正方形的外接圆上，且点为正方形的外接圆的圆心，得到当面积最大时，，利用垂径定理求出，从而求出，，，，由（2）知，，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：①略； ②略 （3）解：设交于点，连接并延长交于点， ∵点在正方形的外接圆上，且点为正方形的外接圆的圆心， ∴当面积最大时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴． 题型5、圆的覆盖问题 典例5 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 【答案】D 【分析】依题意，画出圆形硬纸板最小时的图形，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、，则，证明点O在上，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设圆形硬纸板的圆心为O，延长交于P，连接、、， 则，， ∵垂直平分，， ∴点O在上，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， 故圆形硬纸板的最小直径为． 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形与圆的有关计算，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和垂径定理是解答的关键． 题型模版 1.特征：判断一个图形能否被圆覆盖，或求覆盖所需最小半径、圆心位置． 2.方法：覆盖问题的关键是找到离圆心最远的点；常用“最小覆盖圆”思想，圆心到各顶点距离不超过半径． 变式5-1 三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图： （1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm； （2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm； （3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm． 【答案】 【分析】（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径，易知AC为圆的直径，应用勾股定理结论可得； （2）从图中可以看出小正方形的对角线为圆的半径，直径易得； （3）依据图形为轴对称图形，可知圆心在PG上，找出圆心，设OG＝xcm，依据勾股定理列出方程可求半径，直径可得． 【详解】解：（1）如下图， ∵小正方形的顶点A，B，C在圆上，∠ABC＝90°， ∴AC为圆的直径． ∵AC＝（cm）． 故答案为：； （2）如下图，小正方形的顶点O为圆心，小正方形的对角线为圆的半径， ∴圆的半径为cm． ∴圆的直径为cm． 故答案为：． （3）如下图，设圆心为O，GH与AB交于点P． 连接OA，OB，ON． 由题意，PG垂直平分NF，OA＝OB＝ON． ∴O在PG上，AP＝PB＝AB＝2cm． 设OG＝xcm，则OP＝PG﹣OG＝4×2﹣x＝（8﹣x）cm． 在Rt△APO中，OA2＝AP2+OP2． 在Rt△NGO中，ON2＝NG2+OG2． ∴OA2＝AP2+OP2＝ON2＝NG2+OG2． ∴22+（8﹣x）2＝42+x2． 解得：x＝． ∴ON＝（cm）． ∴直径为（cm）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，依据图形特点，正确找出圆心的位置是解题的关键． 变式5-2 如图，由6个边长为1的小正方形组成的图形，若用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个圆形纸片的最小半径为________．    【答案】 【分析】由6个边长为1的小正方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个最小的圆形是以线段为直径，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，由6个边长为1的小正方形组成的图形，当用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个最小的圆形是以线段为直径， ，， 则由勾股定理可得, ∴这个圆形纸片的最小半径为． 故答案为：    【点睛】此题考查了圆的基础知识和勾股定理，读懂题意，正确计算是解题的关键． 变式5-3 要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．    （1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案． 方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为________________； 方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为____________________； （2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为______________． 【答案】 【分析】（1）由图形可知，方案Ⅰ中纸盒底面半径应为正六边形的对角线长加边长，方案Ⅱ中纸盒底面半径应为正六边形对角线长加边长，再上边长的一半，由此计算即可； （2）考虑将12个正六边形对称放置，然后确定其外接圆，利用正六边形的边长以及勾股定理求解最小半径即可． 【详解】（1）如图1所示，方案Ⅰ中纸盒底面半径最小值即为的长度， ∵正六边形的边长为， ∴； 如图2所示，方案Ⅱ中纸盒底面半径最小值即为的长度， ∴；    故答案为：；； （2）如图所示方式，装12支铅笔的底面圆半径最小，此时最小半径为，连接、、， ∵正六边形的边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴，    故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，以及镶嵌问题，掌握正多边形与圆的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解题关键． 题型6、轨迹最值问题 典例6 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． (2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） (3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)滴灌水管总长度的最小值为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用． （1）将绕A点逆时针旋转得到，其中点P的对应点为，点C的对应点为，根据旋转的性质，旋转角，且对应边相等，即； （2）利用等边三角形的性质得出，，，进而得到，利用“”证明，设，利用三角形内角和定理得出结果； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股定理求出三个距离之和的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知， 则，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， 由三角形内角和定理可得，， 即． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即滴灌水管总长度的最小值为米． 题型模版 1.特征：动点轨迹为圆弧或圆的一部分，求路径长或相关最值． 2.方法：确定轨迹圆的圆心、半径及圆心角范围；用弧长公式或圆上点到定点距离公式分段讨论． 变式6-1 古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）； （2）； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 变式6-2 （2025·广东广州·二模）在中，，点E在直线上运动，作正方形． (1)如图1，点E在线段上，求证：； (2)如图2，点E在线段的延长线上，求证：； (3)若，过点B作的垂线，垂足为G，当最大时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 作于点，作交的延长线于点，作于点，设交于点，则四边形为矩形，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) 【分析】（1）正方形的性质，得到，证明，即可得证； （2）作于点，作交的延长线于点，作于点，设交于点，证明，得到，，进而得到四边形为正方形，得到，证明为等腰直角三角形，得到推出，进而得到，进而得到垂直平分，即可得出结论； （3）易得点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为半径画圆，连接，，，得到当三点共线时，取得最大值，勾股定理求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，作，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点B作的垂线，垂足为G，如图， 则：点在以为直径的圆上运动， 取的中点，以为半径画圆，连接，，， 则：， ∴当三点共线时，取得最大值，如图： ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 作于点， 则：，即：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，求一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的轨迹，是解题的关键． 变式6-3 （2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 【答案】(1)； (2) 如图，取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点． 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求得； （2）取格点，连接，交于点，连接与网格线相交于点，连接与圆交于点；连接分别交网格线于点，点；取格点，连接交网格线于点，连接交网格线于点，分别连接并延长，交于点．即可推得． 本题考查了勾股定理，圆的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质．勾股定理的应用． 【详解】（1）解：在方格中找到以为斜边的直角三角形， 用勾股定理求解为：， （2）略 题型7、定值问题 典例7 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（    ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅲ D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质和平角的定义可得，则可推出的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长，据此可判断Ⅰ；连接，可证明，，则由圆周角定理可证明，得到，则，解直角三角形求出的长即可判断Ⅱ；由圆周角定理可证明，则由三角形内角和定理可得，据此可判断Ⅲ． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ∴的长与的长之和等于圆心角是，半径为的扇形弧长， ∴的长与的长之和为定值，故结论Ⅰ正确； 当时，连接，如图所示， 则， 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴点到的距离是，故结论Ⅱ正确； 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴使得的值有无数个，故结论Ⅲ错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，求弧长，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型模版 1.特征：在变化条件下某线段长、角度、面积等保持为定值，需证明或求该定值． 2.方法：先取特殊位置猜想定值；再通过相似、全等、圆的性质或代数运算证明该量与变量无关． 变式7-1 （24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 【答案】(1) (2)7 (3)①；②的值是定值96． 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）延长到点F使，首先证明出是等边三角形，求出，然后证明出，即可得到； （3）①首先由（2）可得，，然后得到当点P和点A或点B重合时，的最小值为；当点P，O，C三点共线时，有最大值，然后画出图形，根据勾股定理求解即可； ②延长到点F使，过点A作，由（2）得，是等边三角形，得到，然后根据勾股定理求出，进一步得到，然后结合，代入得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形 ∴ ∵四边形内接于 ∴； （2）如图所示，延长到点F使， ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在和中 ∴ ∴； （3）①由（2）可得， ∵点P在劣弧上运动 ∴当点P和点A或点B重合时，的长度最小，即或的长度 ∵是等边三角形 ∴ ∴的最小值为 ∴的最小值为； 当点P，O，C三点共线时，的长度最大，如图所示， ∴此时是的直径 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，负值舍去 ∴的最大值为8 ∴的最大值为8； ∴的值的取值范围是； ②如图所示，延长到点F使，过点A作 由（2）得，是等边三角形 ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ． ∴的值是定值96． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理和全等三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造等边三角形． 变式7-2 摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 变式7-3 问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程． 证明：在AD上截取点E，使，连接CE． 运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、． (1)OB的长为___________． (2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么?如果不变，请求出的值． 【答案】(1)1 (2)不变，理由见解析 【分析】问题：在AD上截取AE=BD，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠CBD，然后证明△ACE≌△BCD，然后根据角的等量代换得出∠ECD=90°，进而得出△ECD为等腰直角三角形，用ED表示CD，因为ED=AD-BD最后即可得出结论； （1）连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H，根据垂径定理和勾股定理求出O1B的长度，根据切线的性质得出O1A⊥x轴，得到OH=5，进而即可得出结果； （2）在图2中先根据平行和O1A=O1B得出∠ABO1=∠ABO，然后在MB上取一点G，使MG=BN构造全等，证明△AMG≌△ANB，得到AG=AB，然后根据等腰三角形三线合一得出BG=2，再根据等量代换即可得到结论． 【问题详解】证明：如图1，在AD上截AE=BD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ECD=90°， ∴△ECD是等腰直角三角形， ∴CD=ED， ∵ED=AD-AE=AD-BD， ∴=，即为定值； 【详解】（1）解：如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H， ∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x轴， ∴O1B==5， ∴O1A=O1B=5， ∴HO=5， ∴OB=HO-HB=5-4=1， 故答案为：1； （2）解：BM-BN的值不变， 如图2， 由（1）得，O1A⊥OA， ∵OB⊥AO， ∴O1A∥OB， ∴∠O1BA=∠OBA， ∵O1A=O1B， ∴∠O1BA=∠O1AB， ∴∠ABO1=∠ABO， 如图3，在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG， ∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN， ∴∠ABO=∠AMN， ∵∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN， 在△AMG和△ANB中， ， ∴△AMG≌△ANB（SAS）， ∴AG=AB， ∵AO⊥BG， ∴BG=2BO=2， ∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不变． 【点睛】本题考查圆的综合题，同弧所对的圆周角相等，两条半径所形成的三角形是等腰三角形，等腰三角形三线合一，垂径定理是解本题的必备知识，利用“截长补短”法证明全等是解本题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 2．矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接， 由旋转的性质知：， ∴点在上运动， ∴当共线时，有最小值， 由旋转的性质知：，， ∴,， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 3．如图，已知的半径为1，弦的长为，Q为优弧上的动点，过A点作的垂线交直线于点C，当的面积达到最大时，其边上的高为 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 首先证明，推出当时，的面积达到最大，作于点T，在上截取，使得，连接．求出可得结论． 【详解】解：连接． ， ， ， ， ， ， ∴当时，的面积达到最大， 作于点T，中上截取，使得，连接． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ___________________ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，将半径为的圆形纸片折叠使弧经过圆心，过点作直径于点，点是半径上一动点，连接，则的长度的最大整数值为______． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，，，由折叠的性质得到：垂直平分，推出，又，因此是等边三角形，得到，由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质求出的长，从而得到，即可得到的长度的最大整数值为 【详解】解；连接，，， 由折叠的性质得到：垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是圆的直径， ， 圆的半径是， ， ， 点是半径上一动点， ， 的长度的最大整数值为． 故答案为：． 6．如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】假设为定长，延长到点，使，利用平行四边形的判定和性质，得出为定角，定角对定长，运动轨迹为圆，再利用圆的知识进行求解． 【详解】解：如图所示，假设为定值，延长到点，使，连接， ∵四边形为正方形，， ∴四边形是平行四边形，, ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 则，， ∵所对的边为定值， ∴点在以为弦， 的上， 连接，交于点，过点作交于点， 设，则， ∵， ∴，则， 在中，，则，即的半径为， ∵， ∴当时取的最小值， 在中，， ， 则的最小值为． 【点睛】本题难度大，考查了双动线段的比值问题，解决问题的关键点是动静转换，即将其中一个线段固定，再看另一个线段的运动情况，从而解出答案． 7．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷从出发顺时针扫过时，，则的半径为__________，毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为__________． 【答案】 16 【分析】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先根据平行线的性质得出，证明为等边三角形，得出，根据题意得出点是的中点，再根据垂径定理的推论得出，结合已知条件求得，进而得出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 三点在同一直线上， 经过点， ∴， 根据旋转可知：， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径为； 连接并延长交于点D，交于点E，如图所示： ∵， ， 在中，， ∴， 当共线时，即点C在点E处时，取的最大值， ∴的最大长度为：． 故答案为：16；． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴. (2)①，②的最小值为． 【分析】（1）根据垂径定理可得，进一步可得答案. （2）①证明，设的半径为，由勾股定理可得，求解，可得，再进一步求解即可； ②如图，由，取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上，连接，当三点共线时，最小，连接，，设交于点，证明，得出,，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①∵是的直径，弦，， ∴， 设的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴， 取的中点，则在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，最小， 连接，，设交于点， ∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴, 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理的应用，点与圆上各点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．在等腰中，，，点为底边上一点，连接，点为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．    (1)如图，若 ，且，，三点共线，求的度数； (2)如图，在上方作线段，连接交于点，已知 ，用等式表示，，之间的关系，并证明； (3)如图，若，点与点重合，，连接，以为直角边在上方作，，且满足．当最大时，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，当最小时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) ． 证明：延长至点，使得 即 在和中    则， 又 ， 又由（1）知 且 则 在和中 则 ， 即 则 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得出，等腰中，，进而在中，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）延长至点，使得，证明得出，，进而证明，得出，进而结合图形可得； （3）根据等弦对等角得出、、、四点共圆，得出的轨迹，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大．过点作直线，过点作交直线于点，此时最小，接下来根据等腰三角形的性质，勾股定理求得的长，根据即可求解． 【详解】（1）解：等腰中，， ， 等腰中，， 中， ； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴、、、四点共圆， 如图，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大． ∵点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，      ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，过点作直线，过点作交直线于点，此时最小．    ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知半径长度为，两条直径，互相垂直，点为直径上一动点，设．点为点关于点的对称点，作于点，． (1)如图1，当点在半径上时，连接，若，求的值； (2)如图2，在上取一点，，在上取一点，，连接，，，，，． ①当为多少时，的值最小（无需求最小值）； ②当为多少时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)①，②，最小值为 【分析】本题考查了勾股定理，圆的对称性，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求得，进而求得的长，即可得出的值； （2）①根据勾股定理表示出表达式，进而根据二次函数的性质求得的值； ②作点关于的对称点，则，则，过点作，得出点在上运动，作关于的对称点，得出，且，根据四边形是平行四边形时，为的中点时，取得最小值，得出，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∴ ∴； （2）解：①依题意，，，， ∴，， ∵两条直径，互相垂直， ∴ ∵ ∴时，的值最小； ②解：如图，作点关于的对称点，则，则，过点作， ∵， ∴点在上运动， 作关于的对称点，则到的距离为 ∴，且 ∴ ∴当为的交点时取得最小值， 当四边形是平行四边形时，为的中点 此时如图 ∴ 即时，取得最小值， ∴的最小值为 12．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：∵为直径 ，． 四边形是平行四边形 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是菱形 (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形性质和判定，圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． （1）先根据圆周角定理得，再由勾股定理即可解答； （2）先根据垂径定理得：，再证明，得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； （3）如图3，连接，先根据圆周角定理可知：点在以为直径的圆上，且，由旋转可得：点在以为圆心，2为半径的圆上，则当为相切时，的值最大，即可解答． 【详解】（1）∵为直径， ∴在中． ∵在中， （2）略 （3）如图，，， ∴点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点C旋转， ∴点是在以为圆心，以为半径的圆上运动， ， ∵当最小时，最大，此时与圆C相切于点D， ， ， 连接 ， ， ， 此时，即AE的最大值为． 13．【问题情境】如图，内接于，过点O作于点H，延长交于点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，则 ；（填“”“”或“”） （2）如图1，若，求的度数和的半径； 【问题拓展】 （3）如图2，过点B作于点K，连接，若，试说明线段与的差为定值． 【答案】（1）； （2）；的半径为4； （3）证明：如图，分别延长、，交于点； ∵， ∴， 在与中， ， ， ，， ， ， 为的中位线， ， ． 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质，解直角三角形、三角形中位线定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据垂径定理得到即可得到，据此可得结论； （2）连接、，先证明，解直角三角形得到则，由圆周角定理可得的度数，进而可得的度数；由垂径定理可得，解直角三角形可得，即的半径为4； ； （3）分别延长、，交于点，首先证明，得到，，进而判断为的中位线，即可解决问题． 【详解】解：（1）于点， ， ； （2）如图所示，连接、， ，， ， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ； ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4； （3）略 14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1) 证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 15．【问题提出】 (1)如图①，四边形 是平行四边形，M是边 上一定点，过点M作一条直线，使其将平行四边形 分成面积相等的两部分； (2)如图②，在 中， ， ， ，D为 上一动点，连接 ，以 为直径的 交 于点E，求 的最小值； (3)【问题解决】 如图③，某市政部门规划一块休闲绿地四边形 ，经实地勘测， ， ， ， ， ．现计划在绿地的边 ， 上分别选取点E，F，沿线段 铺设一条步道，并在步道旁安装景观照明灯，要求步道 恰好把整块绿地划分为面积相等的两部分．从点A向步道 作垂线，垂足为G，从点D预埋电缆接引电源至点G．受施工造价管控，需使电缆用料成本尽可能低，求电缆 长度的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在上截取，作直线即可． （2）连接 ，由为直径得，故在以为直径的圆上，取中点 ，则 在该圆上运动，当 三点共线时取最小值，代入数值计算即可． （3）先作高求梯形高和底边，由面积平分得，构造等边三角形，通过全等证得过定点，且，故在以为直径的圆上，取圆心，当三点共线时最小，利用勾股定理求，减去半径即可得最小值． 【详解】（1）解：在上截取， ∵四边形是平行四边形， ，且之间的距离相等， ， ， ， 即把平行四边形面积平分． （2）解：如图，连接 ， 为 的直径， 在 上， ， 点 在以 为直径的圆上， 如图，以为直径作圆，圆心为 的中点 ，连接 ， 当三点共线时，最小，此时点在图中的位置， ，， ，即的最小值为． （3）解：如图，过作垂足为； ， ， ， ， ， 四边形为矩形，， ， ，， 把分为面积相等的两部分， ，即， ， ． 如图，取，连接与作交于点； ，为等边三角形， ， ， ， 在和中 ， ， 点为的中点， 恒过定点． ， ， 点在以 为直径的圆上， 如图，取中点为圆心，为半径作圆；过作垂直垂足为，连接， 当三点共线时，最小，此时点在图中的位置， ，， ， ， ， ， 电缆 长度的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 圆的最值与定值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 题型4、面积最值问题 题型5、圆的覆盖问题 题型6、轨迹最值问题 题型7、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的最值与定值问题，核心在于通过“隐圆”把动点轨迹转化为圆或圆弧，再利用圆的性质求最值；常见模型有：圆上动点到定点距离最值、折叠旋转中的定长轨迹、直径所对直角、面积最值、覆盖问题、轨迹最值等；定值问题则要从特殊位置猜想定值，再用几何关系或代数运算证明其不变；解题时善于构造辅助圆、利用数形结合与分类讨论，注意临界状态分析． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、隐圆模型-圆上动点到定点距离最值 典例1 （2025·安徽安庆·一模）如图，矩形中，P为边上一点（不与A，D重合），连接，，过点作，垂足为，连接，，与相交于点．则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则 D．若，，则最小为 题型模版 1.特征：动点在给定圆上运动，求该动点到某定点距离的最大值或最小值． 2.方法：连结定点与圆心，最近点在最近交点、最远点在最远交点；最值分别为 |d-R| 和 d+R，注意点的位置． 变式1-1 如图，长为定值的弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），点E是CD的中点，过点C作CF⊥AB于F，若CD＝3，AB＝8，则EF的最大值是（　　） A． B．4 C． D．6 变式1-2 如图，量角器的0°刻度线的两端A，B分别在y轴正半轴与x轴负半轴上滑动，点C位于该量角器上刻度处． （1）若点C在靠近点A处，连接，则=___________°； （2）当点C与原点O的距离最大时，=___________°． 变式1-3 如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为______． 题型2、隐圆模型--折叠、旋转距离不变 典例2 （2025·青海西宁·一模）综合与实践 如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，． (1)如图1，当时，求证：； (2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数； (3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小； (4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围． 题型模版 1.特征：折叠、旋转后某点到定点的距离不变，从而形成隐圆轨迹． 2.方法：根据折叠或旋转的不变性确定定长；以定点为圆心、定长为半径作隐圆；把问题转化为圆上动点到相关点的距离最值． 变式2-1 问题探究 (1)如图①，已知中，，点是的中点，连接，则的长为______； (2)如图②，已知中，为内一点，且，，请求出的长度； (3)如图③，四边形中，，，，，点为四边形内一点，且始终有，连接、，请问是否存在一点，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 变式2-2 （25-26九年级下·吉林长春·期中）综合探究 【直接运用】 (1)如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ； 【构造运用】 (2)如图2，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，求的最小值； 【灵活运用】 (3)如图3，已知正方形的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点C和D运动，连接和交于点P，求点P到点C的最短距离，并说明理由． 变式2-3 （25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 题型3、隐圆模型-直径所对圆周角 典例3 如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 题型模版 1.特征：利用“直径所对圆周角为直角”构造隐圆，解决直角顶点轨迹或相关最值． 2.方法：若直角顶点对定线段，则该点在以定线段为直径的圆上；结合圆的性质求距离、角度或面积最值． 变式3-1 （2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 【从特殊验证】 已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？ 小敏的演算纸 综上所述，s的最大值为…… （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ②S的值为______． （2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值． 【向一般进发】 （3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值． 变式3-2 【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 变式3-3 （2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为___________． 题型4、面积最值问题 典例4 （25-26八年级下·重庆綦江·期末）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 题型模版 1.特征：与圆相关的图形面积随动点变化，求面积的最大或最小值． 2.方法：建立面积关于关键变量的函数；用圆心角、半径、弦心距等表示面积；利用函数性质或几何不等式求最值． 变式4-1 如图，半径为6，弦，点为优弧上一动点，交直线于点，则的最大面积是__________． 变式4-2 （24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的半径为4，弦的长为，点P为优弧上一动点，交直线于点C，则的面积的最大值是（   ）    A． B． C． D． 变式4-3 四边形是正方形，是过点A的直线．作，垂足为E，将射线绕点D逆时针旋转，得到的射线与直线交于点F，连接． (1)如图1，当时，点F与点A恰好重合，则的值为________； (2)如图2，在时． ①依题意补全图形； ②探究线段，与之间的数量关系并证明． (3)在（2）的条件下，若，当的面积最大时，求的面积． 题型5、圆的覆盖问题 典例5 在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：）（    ） A． B．100 C． D． 题型模版 1.特征：判断一个图形能否被圆覆盖，或求覆盖所需最小半径、圆心位置． 2.方法：覆盖问题的关键是找到离圆心最远的点；常用“最小覆盖圆”思想，圆心到各顶点距离不超过半径． 变式5-1 三个边长都为4cm的正方形硬纸板，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，下面两种不同摆放类型如图： （1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为_____cm； （2）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm； （3）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为_____cm． 变式5-2 如图，由6个边长为1的小正方形组成的图形，若用一个圆形纸片将其完全覆盖，则这个圆形纸片的最小半径为________． 变式5-3 要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来研究纸盒底面半径的最小值．    （1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案． 方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为________________； 方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为____________________； （2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为______________． 题型6、轨迹最值问题 典例6 （25-26八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． (2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） (3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 题型模版 1.特征：动点轨迹为圆弧或圆的一部分，求路径长或相关最值． 2.方法：确定轨迹圆的圆心、半径及圆心角范围；用弧长公式或圆上点到定点距离公式分段讨论． 变式6-1 古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 变式6-2 （2025·广东广州·二模）在中，，点E在直线上运动，作正方形． (1)如图1，点E在线段上，求证：； (2)如图2，点E在线段的延长线上，求证：； (3)若，过点B作的垂线，垂足为G，当最大时，求的值． 变式6-3 （2025·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上点，，，均是格点． (1)线段的长等于___________； (2)点在线段上，连接，点是点关于的对称点，射线与射线相交于点．当的面积最大时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点与点的位置是如何找到的（不要求证明）__________． 题型7、定值问题 典例7 （25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，半圆的直径为4，等边三角形，点和点在圆上，连接，相交于点，将等边三角形从与重合的位置开始，绕点顺时针旋转（）．下列结论正确的是（    ） 结论Ⅰ：的长与的长之和为定值； 结论Ⅱ：当时，点到的距离是； 结论Ⅲ：使得的值有两个． A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅰ和Ⅲ D．Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ 题型模版 1.特征：在变化条件下某线段长、角度、面积等保持为定值，需证明或求该定值． 2.方法：先取特殊位置猜想定值；再通过相似、全等、圆的性质或代数运算证明该量与变量无关． 变式7-1 （24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是等边的外接圆，P点是劣弧上的一个动点(不与点A，B 重合)． (1)求的度数； (2)若，，求的长； (3)若，点P在劣弧上运动的过程中， ①的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，求出其值的取值范围． ②试探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不 是，求出其的取值范围． 变式7-2 摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 变式7-3 问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程． 证明：在AD上截取点E，使，连接CE． 运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、． (1)OB的长为___________． (2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么?如果不变，请求出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知的半径为1，弦的长为，Q为优弧上的动点，过A点作的垂线交直线于点C，当的面积达到最大时，其边上的高为 ____________________． 4．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ___________________ ． 5．如图，将半径为的圆形纸片折叠使弧经过圆心，过点作直径于点，点是半径上一动点，连接，则的长度的最大整数值为______． 6．如图，正方形中，点E，F分别是边、上的动点，且，则的最小值为______． 7．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，毛刷的一端为固定点，另一端为点，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，B，且A，P，B三点在同一直线上．当毛刷从出发顺时针扫过时，，则的半径为__________，毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为__________． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，是的直径，弦，垂足为，为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)如图2，，， ①若恰好经过圆心，求线段的长； ②如图3，为上的一个动点，作，连接，求的最小值． 10．在等腰中，，，点为底边上一点，连接，点为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．    (1)如图，若 ，且，，三点共线，求的度数； (2)如图，在上方作线段，连接交于点，已知 ，用等式表示，，之间的关系，并证明； (3)如图，若，点与点重合，，连接，以为直角边在上方作，，且满足．当最大时，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，当最小时，求四边形的面积． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知半径长度为，两条直径，互相垂直，点为直径上一动点，设．点为点关于点的对称点，作于点，． (1)如图1，当点在半径上时，连接，若，求的值； (2)如图2，在上取一点，，在上取一点，，连接，，，，，． ①当为多少时，的值最小（无需求最小值）； ②当为多少时，的值最小？最小值是多少？ 12．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以直径，已知，点为⊙上一动点． (1)如图1所示，时，求的长． (2)如图2所示，移动点使它和边上的点满足且，四边形是什么四边形，请说明理由； (3)如图3，在中，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，求的最大值． 13．【问题情境】如图，内接于，过点O作于点H，延长交于点，连接． 【问题探究】 （1）如图1，则 ；（填“”“”或“”） （2）如图1，若，求的度数和的半径； 【问题拓展】 （3）如图2，过点B作于点K，连接，若，试说明线段与的差为定值． 14．（2025·河北·模拟预测）如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 15．【问题提出】 (1)如图①，四边形 是平行四边形，M是边 上一定点，过点M作一条直线，使其将平行四边形 分成面积相等的两部分； (2)如图②，在 中， ， ， ，D为 上一动点，连接 ，以 为直径的 交 于点E，求 的最小值； (3)【问题解决】 如图③，某市政部门规划一块休闲绿地四边形 ，经实地勘测， ， ， ， ， ．现计划在绿地的边 ， 上分别选取点E，F，沿线段 铺设一条步道，并在步道旁安装景观照明灯，要求步道 恰好把整块绿地划分为面积相等的两部分．从点A向步道 作垂线，垂足为G，从点D预埋电缆接引电源至点G．受施工造价管控，需使电缆用料成本尽可能低，求电缆 长度的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $