专题12 圆的基本性质应用（6大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“半径、弦、弧、圆心角、圆周角”五量为核心，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统整合垂径定理、圆周角定理等核心方法，培养几何直观与推理能力，实现从基础应用到综合迁移的能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|五量关联，作半径/弦心距构造直角三角形，结合方程/相似/三角函数|从核心量到定理应用，构建圆性质认知框架| |题型归纳|6题型（每题型1典例+3变式）|垂径定理求值（构造直角三角形）、实际应用（抽象几何模型）、圆周角定理（转化角关系）、作图（直径/圆心确定）、综合应用（多定理融合）、圆心角弧弦关系（等量转化）|从单一性质应用到多知识点综合，形成“性质-应用-拓展”递进逻辑| |压轴挑战|15题|复杂情境中的性质迁移与分类讨论|对接中考压轴趋势，提升空间观念与创新意识|

专题12 圆的基本性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 题型2、垂径定理的实际应用 题型3、圆周角定理及其推论的应用 题型4、应用圆周角定理作图 题型5、圆的有关性质的综合应用 题型6、圆心角、弧、弦的关系 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的有关计算要抓住“半径、弦、弧、圆心角、圆周角”五个基本量，熟练运用垂径定理、圆周角定理及其推论、圆心角弧弦关系等核心定理；计算时常作半径、弦心距，构造直角三角形或等腰三角形；实际应用问题要先把情境抽象为几何模型，再回归圆的性质求解；综合解答题注意结合方程、相似、三角函数等知识，分类讨论并验证结果． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 典例1 （25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键，根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中，运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得，在中，再次利用勾股定理得到，代入整理得：，利用因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的半径为6． 故答案为：． 题型模版 1.特征：已知圆中弦、半径、弦心距等量，利用垂径定理求线段长或角度． 2.方法：作弦心距构造直角三角形；用垂径定理得平分关系；结合勾股定理或方程求解． 变式1-1 如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是__________． 【答案】 【分析】连接，与相交于点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出，再计算出即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点， ，为直径， ， 在中，， 弦平分， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾股定理． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．若的半径为10，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，连接，先证明，进而得，从而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，于点E， ∴，， ∵C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故选：B． 变式1-3 已知：内接于，弦平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且． ①求证：； ②若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，进行证明即可； （2）①如图1，延长到，使，证明，则，进而可得，，，由，可得，，根据，，可得数量关系；②设，则，在和中，由勾股定理得，即，求得，则，，，如图2，过作于，连接，，由题意可得，，，证明，则，，在和中，根据勾股定理求，的值，如图2，连接交于，连接，由垂径定理可得，，在中，由勾股定理求的值，设半径为，则，在中，由勾股定理得，即，求值即可． 【详解】（1）证明：∵弦平分， ∴， ∴； （2）①证明：如图1，延长到，使， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴，，， 如图2，过作于，连接，， ∵， ∴ ∵弦平分， ∴，，， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 如图2，连接交于，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型2、垂径定理的实际应用 典例2 我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2)该混凝土管片的外圆弧半径为 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理的推论可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， ∵点L为的中点，为半径， ∴， 由题意得，与相切于点，则， 而 ∴四边形为矩形， ∴， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 题型模版 1.特征：将垂径定理应用于实际问题，如拱桥、车轮、管道截面等． 2.方法：把实际物体抽象为圆或圆弧；确定已知弦、半径、拱高等量；用垂径定理列方程并解释实际意义． 变式2-1 某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物）____． 【答案】 【分析】如图1所示，过点E作于T，则四边形是矩形，可得，利用勾股定理可得，则；如图2所示，设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形，可得，，则，设，则，，由勾股定理可得方程，解得，则，进而可得；如图3所示，构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接，由垂径定理得到，则，由图2可知，，证明四边形是矩形，得到，，则大货车的最大高度（包括货物）为． 【详解】解：如图1所示，过点E作于T， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， 设所在圆的圆心为O，过点作交于点，交于点，过点O作于K，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图3所示，    构造，且，过点作于点，于E，延长交于L，连接， ∴， ∴， 由图2可知，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴大货车的最大高度（包括货物）为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形，从而求出所在圆的半径以及线段的长是解题的关键． 变式2-2 （25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过作于，过作于，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可. 【详解】解：过作于，过作于，如下图所示： 则米，， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴，，， 设该圆的半径长为米， 根据题意得 解得 即门洞的半径长为米， 故答案为：． 变式2-3 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． (1)求圆弧型拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 【答案】(1) (2) (3)这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【分析】（1）设交于，圆心为，连接，，，过作于，根据垂径定理可得，，进而勾股定理建立方程，即可求解． （2）根据题意得出，勾股定理求得的长，进而可得； （3）当整个水面都被灯光照到时，分两种情况讨论；①与重合，与重合，当与重合，与重合时分别画出图形，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于， 点是拱桥的中点，， ，，共线，， 设半径为，则， 在中，， ， 解得， 圆弧型拱桥所在圆的半径为米 （2）如图所示，设交于，圆心为，连接，，，过作于，则四边形是矩形， ，且 ， ， 即照明灯距离水面的高度为米 （3）当整个水面都被灯光照到时， ①与重合，与重合，如图所示 由（2）可得 ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ，即 ， 同理可得，即 ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②当与重合，与重合时，如图： ， 根据对称性可得 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形，解直角三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型3、圆周角定理及其推论的应用 典例3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）已知，的半径为10，是的弦，． (1)如图1，作弦，若满足，则______； (2)若C，D是圆上两点，且满足． ①如图2，连接，求的长； ②在圆上截取（点A，F不重合），连接，，分别交线段于点M，N．当点N恰为的中点时，求的面积． 【答案】(1)90 (2)①；②或 【分析】（1）根据圆周角定理进行解答即可； （2）①连接并延长，交于点E，连接，根据，得出，求出，根据勾股定理求出结果即可； ②分两种情况：当点C与点F重合时，当点C与点F不重合时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）①解：连接并延长，交于点E，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵的半径为10，， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴． ②解：如图，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，当点C与点F重合时，点M与点F重合，即点M在上， ∴此时点C、F、M重合， ∵点N是的中点，，即 ∴，且为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 当点C与点F不重合时，连接、、、，如图3所示， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 把绕点B逆时针旋转得到，连接交于点G，如图3所示， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点B作于点P，如图3所示： ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，圆周角定理，垂径定理的推论，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 题型模版 1.特征：利用圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等及其推论进行计算或证明． 2.方法：找准同弧或等弧；将圆周角与圆心角相互转化；注意直径所对圆周角为90°的常用结论． 变式3-1 （25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、、，设与交于点，利用正方形内接于圆的性质得为直径，，由点是弧的中点推出垂直平分，再结合正方形性质、勾股定理建立边长关系，求解长度． 【详解】解：连接、、、，设与交于点， 由，，， 故对角线是的直径，对角线是的直径，， 已知点为弧的中点， ，垂直平分，， 又， 是等腰直角三角形， ， 设正方形边长，则， 在中，， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 根据勾股定理，． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 【答案】①②③ 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点为的中点， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵， ∴， 当时，，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点． 变式3-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由已知得到，根据圆周角定理证得是的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接，由圆周角定理可得弧弧，从而由垂径定理的推论得到，根据平行线的性质可证，然后根据三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴， ∴为的直径， 在中，，， ∴， ∴的半径为； （2）解：连接，    ∵， ∴弧弧． 又∵为半径， ∴． ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 题型4、应用圆周角定理作图 典例4 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，直角所对的弦是直径，网格与勾股定理； （1）根据直角所对的弦是直径，即可求解； （2）根据网格的特点作出，则为直径，与交于点    ，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴是圆的一条直径． （2）解：如图，，延长交圆于点，连接，则为直径，与交于点，则点即为所求． 理由如下， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴是直径， 由（1）可得是直径， ∴的交点即为圆心． 题型模版 1.特征：根据圆周角定理进行尺规作图或按要求构造圆中特殊点、线． 2.方法：明确作图目标；利用“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”等性质确定点的位置． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母． (1)找出过，，三点的圆的圆心，连接，． (2)在上找到点，使得． 【答案】(1) 解：如图所示即为所求， (2) 解：如图所示，点P即为所求， 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角，网格问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据圆周角所对的弦是直径可得为直径，利用格点，画出的垂直平分线，其与的交点即为圆心O， （2）由（1）可知，得为直径，利用网格取点，根据正方形性质可得，根据勾股定理得出，可得点在上，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 变式4-2 如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 【答案】(1) 即为所求． (2)如图： 【分析】（1）由勾股定理逆定理可得，根据圆周角定理得出为直径，取格点、，找出中点，连接并延长交于，即为所求； （2）延长交格点于，连接交于，由垂直平分线的性质可得，根据弧、弦、圆心角的关系可得点即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴为直径， 取格点、，连接交于，可得点为圆心，连接并延长交于， （2）解：延长交格点于，连接交于，由网格可知， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，主要知识点有：网格特征、圆周角定理、弧、弦、圆心角的关系、勾股定理逆定理、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质，熟练掌握圆周角定理及网格特征是解题关键． 变式4-3 如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接格点,得线段即为所求．由垂径定理推论知经过弧所在圆的圆心，而，于是是圆的直径． （2）如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求．由圆周角定理，得，，于是． 【详解】（1）解：连接格点,得线段即为所求． 由网格图知， ∴经过弧所在圆的圆心． 又， ∴是圆的直径． （2）解：如图，连接格点，线段交弧于点E，即为所求． 由图1，， ∴是圆的直径． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理及推论；理解圆周角定理及推论是解题的关键． 题型5、圆的有关计算的综合应用 典例5 如图，是的外接圆，的半径为，，，是上一点，连接，，，并延长，交于点，与交于点． (1)求的长； (2)当是的直径，求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，由，得垂直平分，在中用勾股定理求，进而得，再在中求． （2）由是直径得，利用圆内接四边形外角等于内对角和同弧所对圆周角相等，证明，得，再用勾股定理求代入计算． （3）作，证得；面积法求定长，过圆心作，利用圆半径求最大值，进而求最大值． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接、， ∵，， ∴垂直平分． ∴． 在中， ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵是的直径， ∴． ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 在中， ∵，， ∴． 由（）得， ∴． （3）解：连接，过作于，过作于，连接并延长交于，过作于，过作于点． 则四边形是矩形， ∴， 由（）得，，， ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． ∴， ∴当最大时，的值最大， ， ． 在中： ， ． ∴， 由垂线短最短可知即， ∴取最大值为，此时，点与点重合， ． 题型模版 1.特征：圆的有关计算综合解答题，涉及多知识点融合与多步骤推理． 2.方法：综合垂径定理、圆周角定理、圆心角弧弦关系及代数工具；理清条件与结论之间的联系，分步求解． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ． (2)5 (3) 证明：如图，连接，   为的直径， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ． 【分析】（1）如图：连接，利用圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可证明结论； （2）如图：连接，利用圆周角定理和勾股定理求得，设半径为r，则，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）如图，连接，，利用圆周角定理，等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理的推论得到，致力于平行线的判定与性质，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接，    由（1）知：， ， ， 为的直径， ， ， 设半径为r，则， ， ， ，解得：， 半径为5． （3）略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、直角三角形的性质，等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识点，连接直径所对的圆周角是直角成为解题的关键． 变式5-2 （25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；②5 【分析】本题考查了勾股定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形和圆周角定理的推论，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等腰三角形的性质，再根据圆内接四边形的性质解答即可； （2）①先得到是等腰直角三角形，即可得到，进而根据角的转换求证即可；②将绕着点B按顺时针方向旋转得到，即可得到，即可求出，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：将绕着点B按顺时针方向旋转得到， 则， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 变式5-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的直径， ， 即， ， 是线段的垂直平分线， ； (2) (3) 【分析】（1）证明是线段的垂直平分线，进而即可得出结论； （2）根据圆周角定理得，根据（1）的结论得，再根据四边形是的内接四边形得，然后根据三角形的外角性质可得出的度数； （3）过点作于，于，证明四边形是正方形，设，证明得，则，进而得，再根据三角形的面积求出，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵ ， 是的一个外角， ； （3）解：过点作于，于，如图所示： 则， ， ∴四边形是矩形， ∵点是半圆的中点， ∴， ， 是的平分线， 又， ， ∴矩形是正方形， 设， ， ， ∵， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，理解圆周角定理，圆内接四边形的性质，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 变式5-4 （25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，再结合得出为等边三角形，即可得解； （2）由垂径定理可得，由圆周角定理可得，由角平分线的定义可得，证明，得出，即可得解； （3）由题意可得垂直平分，连接，，则，由（1）可知，，将绕A点顺时针旋转至，则，，，，证明、、三点共线，过A作于，则，设，则，证明出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ， ， ， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； （3）解：由题可得，直径，， ∴垂直平分， 如图，连接，，则， 由（1）可知，， 将绕A点顺时针旋转至， ，，，， 四边形为圆内接四边形， ， ， ∴、、三点共线， ， 过A作于，则， ∵， 在中，， 设，则， ， ， ， ， 为定值． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 变式5-5 （25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：∵，且经过圆心O， ∴，即为的中垂线 ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此由直角三角形两锐角互余可得答案； （2）可证明为的中垂线，则可推出，由圆内接四边形对角互补可得，则，据此可证明； （3）如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N，可证明，则是等边三角形，同理是等边三角形，即可得到，进而得到；如图3-2所示，取的中点H，连接，由三角形中位线定理可得；求出，可推出，则可证明当为直径时，有最大值，即此时的值最大，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵点C为的中点，， ∴； 如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴ ∴， ∴； 如图3-2所示，取的中点H，连接， ∵点C为的中点， ∴为的中位线 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当为直径时，有最大值，即此时的值最大 ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 变式5-6 （2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) 证明：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， 是的角平分线 ； (2) (3)不变， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，推出，即可得到结论； （2）先证明，得到，再证明，得到，求出，根据勾股定理求出，得到； （3）的值不发生变化；过点作于，作于，延长交于点,连接，证明，推出为等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在和中， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ． （3）解：的值不发生变化， 如图：过点作于，作于，延长交于点,连接， 为的直径， , ,, , , 垂直平分, ， 为直角边的等腰， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ,,, , 四边形是矩形， ， ， ， , ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴． 题型6、圆心角、弧、弦的关系 典例6 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵直径于P， ∴， ∵A，Q两点关于点P对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证； （2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴． 题型模版 1.特征：利用圆心角、弧、弦三者之间的等量关系进行判断与计算． 2.方法：在同圆或等圆中，由圆心角相等推出弧相等、弦相等；反之亦然；注意“同圆或等圆”的前提条件． 变式6-1 图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 【答案】25 【分析】连接、、，先求出，设，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，，，结合，即可求解． 【详解】解：连接、、， ∵A，B，C，D，E，F是的六等分点， ∴， ∵P是的中点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 变式6-2 如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵D是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，连接， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 变式6-3 如图，在扇形中，点C、D在上，，点F、E分别在半径、上，，连接． (1)求证：； (2)设点P为的中点，连接，线段交于点M、交于点N．如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 连接，如图， 点P为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 【分析】（1）先证明得到，然后证明得； （2）连接，如图，利用垂径定理得到，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，则可判断所以，加上，于是可得到四边形为平行四边形，然后利用得到四边形为矩形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，矩形的判定．全等三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据“一线三垂直”易证，再根据垂径定理和圆周角定理，易得，，从而易证和为等腰直角三角形，易求，最后根据勾股定理，可求，计算面积即可． 【详解】解：， ，即， ，， ，即， ， ， ， ， 是的直径，， ，则， ， ， 为等腰直角三角形， 的面积为5， ，解得，则， 在中，， 则， ，即为等腰直角三角形， ． 故选：D． 2．如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 3．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ，， 三点共线 ． 在 中，． 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中，， 解得 ． 4．如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知：和，由垂径定理可得出，，，由不确定大小则无法判断． 【详解】解：根据作图可知：，， ∴，， ∴，， ∵不确定大小， ∴无法判断得出． 5．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为5， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 6．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为(   )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，由，得到，进而得到，，由此得到，即可得到是等边三角形，得到，求出，再由求出，即可求出的长的范围，解题的关键是判定是等边三角形，由锐角的正弦求出的长． 【详解】解：如图，作直径，    当点在(不与重合)上运动时，， ∵， ∴， ∵弦于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的长的范围是， 故选：． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】连接，，，根据题意和同弧或等弧所对的圆周角相等，可得，所对的圆心角为，，根据直径所对的圆周角为可得，即，再根据角的和差得出为等边三角形，过点作与夹角为的线段，交于点，可得，设，则，根据勾股定理可得，再根据等边对等角可得，进而得，． 【详解】解：连接，，，如图所示： 根据题意可得，，，所对的圆周角是， ∴， ∴， ∵点恰好是翻折后的上一个四等分点， ∴，即， ∴， ∵等于半圆， ∴所对的圆心角为， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作与夹角为的线段，交于点，，如图： ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，直径所对的圆周角为，勾股定理，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 【答案】 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 【详解】解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， 故答案为：； （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握圆内接矩形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 12．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 13．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 【答案】(1) 是的“幸运角”． 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ， 是的“幸运角” (2)①连接 的幸运角为， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， 即 ② 【分析】（1）根据垂径定理得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，根据“三线合一”的性质得出，利用对顶角相等，结合“幸运角”的定义即可得答案； （2）①如图，连接、，根据“幸运角”的定义得出，，即可得出，，根据圆周角定理可得，利用垂径定理结合等腰直角三角形的性质得出； ②过点作于点，根据已知可得,进而求得，由（1）可知，则；根据垂径定理可得，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②如图，过点作于点， 弦 是的直径， 平分 为的垂直平分线， ∴ ∴， ∵ 由①可得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，理解并熟练运用新定义解答是解题的关键． 14．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，过，，三点的交于点，的半径为． (1)如图，连接，当恰好是的直径时． 求证：； 若，求的度数（用的式子表示）； 求的长； (2)如图，求的最大值． 【答案】(1)见解析；；； (2)． 【分析】（）连接，由圆周角定理得，所以，则，又，从而得，然后通过等角对等边即可求证； 通过三角形外角性质得，再由直角三角形性质即可求解； 由勾股定理得：，即有，求得即可； （）过点作于点，连接，由勾股定理得，，所以，从而得，当为直径时，有最大值，即取到最大值． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 解：由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接，如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴当为直径时，有最大值，为， ∴取到最大值． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆的有关性质，三角形外角性质，直角三角形性质，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图，已知点为射线上的动点，作，使，过点，，作⊙与交于点，连接．点为上的一点，连接交于点，交⊙于点，且． (1)证明：． (2)若，，求的长． (3)若，求的值． 【答案】(1)证明：，， 又， ， ， (2)2 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合三角形外角的性质即可证明； （2）连结并延长交于点，先得到和均为等边三角形，进而可证，得到，再结合边的关系即可求解； （3）过点作交于点，连结，由平行线分线段比可得，设，则，在中，过点作于点，解三角形得 ，进而得出即可． 【详解】（1）略 （2）如图1，连结并延长交于点， ，， ， 和均为等边三角形， ， 又，， ， ， 又，，， ，， ； （3）如图2，过点作交于点，连结， ，， ，设，则， ， ， 又 ， ，即， ． 在中，过点作于点， ， ，， ， ， ， 由（2）知为等边三角形， ，又， 为等边三角形， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 圆的基本性质应用 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 题型2、垂径定理的实际应用 题型3、圆周角定理及其推论的应用 题型4、应用圆周角定理作图 题型5、圆的性质的综合应用 题型6、圆心角、弧、弦的关系 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆的有关计算要抓住“半径、弦、弧、圆心角、圆周角”五个基本量，熟练运用垂径定理、圆周角定理及其推论、圆心角弧弦关系等核心定理；计算时常作半径、弦心距，构造直角三角形或等腰三角形；实际应用问题要先把情境抽象为几何模型，再回归圆的性质求解；综合解答题注意结合方程、相似、三角函数等知识，分类讨论并验证结果． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、利用垂径定理求值 典例1 （25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点C，D；分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是__________． 题型模版 1.特征：已知圆中弦、半径、弦心距等量，利用垂径定理求线段长或角度． 2.方法：作弦心距构造直角三角形；用垂径定理得平分关系；结合勾股定理或方程求解． 变式1-1 如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是__________． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接．若的半径为10，且，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式1-3 已知：内接于，弦平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且． ①求证：； ②若，，求的半径． 题型2、垂径定理的实际应用 典例2 我国西南地区公路隧道众多，如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）如图2所示，是同心圆环的一部分，左右两边缘的延长线交于圆心，甲、乙两个小组分别采用两种不同的方法，测算两片不同大小的混凝土管片的外圆弧半径． (1)如图2，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长． (2)如图3，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为的中点，若乙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 题型模版 1.特征：将垂径定理应用于实际问题，如拱桥、车轮、管道截面等． 2.方法：把实际物体抽象为圆或圆弧；确定已知弦、半径、拱高等量；用垂径定理列方程并解释实际意义． 变式2-1 某一公路单向隧道由一弧形拱与矩形组成，为了确定大货车通过公路隧道的最大高度，道路交通学习小组展开了以下研究．如图1，经测量得，，为了确定与弧形拱半径的长度，学习小组找到一根长的笔直杆子，将杆子一端置于点C处，另一端置于上点E处，．如图2，调整杆子位置，直至一端在上的点G处，另一端在圆弧上点F处，，如图3，某一集装箱大货车宽为，则该大货车的最大高度（包括货物）____． 变式2-2 （25-26九年级上·江西宜春·期末）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图（1），其数学模型如图（2）所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径，D为圆上一点，于点C，且，则门洞的半径为________m． 变式2-3 如图，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． (1)求圆弧型拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答) 题型3、圆周角定理及其推论的应用 典例3 （25-26九年级上·浙江台州·期末）已知，的半径为10，是的弦，． (1)如图1，作弦，若满足，则______； (2)若C，D是圆上两点，且满足． ①如图2，连接，求的长； ②在圆上截取（点A，F不重合），连接，，分别交线段于点M，N．当点N恰为的中点时，求的面积． 题型模版 1.特征：利用圆周角与圆心角的关系、同弧所对圆周角相等及其推论进行计算或证明． 2.方法：找准同弧或等弧；将圆周角与圆心角相互转化；注意直径所对圆周角为90°的常用结论． 变式3-1 （25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形内接于，点为的中点，连接、，若，则的长是（  ）． A． B． C． D． 变式3-2 （25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________． 变式3-3 （25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知P是上一点，过点P作不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点A、B（不与P，Q重合），连接、，若． (1)如图1，当，，时，求的半径． (2)如图2，连接，交于点M，点N在线段上（不与P、M重合），连接、，，记，用含的代数式表示． 题型4、应用圆周角定理作图 典例4 （25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）在如图所示的网格中，的顶点，均在网格上，顶点在网格线上，请用无刻度直尺 按要求画图。要求保留画图痕迹，并简要说明支持你画法正确的理由． (1)画出图1中圆的一条直径． (2)画出图2中圆的圆心． 题型模版 1.特征：根据圆周角定理进行尺规作图或按要求构造圆中特殊点、线． 2.方法：明确作图目标；利用“同弧所对圆周角相等”“直径所对圆周角为直角”等性质确定点的位置． 变式4-1 （25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在方格中，，，均为格点，按下列要求作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角功能；②保留必要的作图痕迹；③标注相关字母． (1)找出过，，三点的圆的圆心，连接，． (2)在上找到点，使得． 变式4-2 如图，在一个的正方形网格中，格点A，B，C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能用直尺的直角），保留必要的作图痕迹． (1)在图1中作图：画出直径． (2)在图2中作图：在上找一点，使． 变式4-3 如图是一个的正方形网格，格点A，B，C均在上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母．（图1、图2在答题纸上） (1)在图1中画出所在圆直径． (2)在图2中作，且点E在上． 题型5、圆的性质的综合应用 典例5 如图，是的外接圆，的半径为，，，是上一点，连接，，，并延长，交于点，与交于点． (1)求的长； (2)当是的直径，求的值； (3)求的最大值． 题型模版 1.特征：圆的有关计算综合解答题，涉及多知识点融合与多步骤推理． 2.方法：综合垂径定理、圆周角定理、圆心角弧弦关系及代数工具；理清条件与结论之间的联系，分步求解． 变式5-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在中，，以为直径作分别交于点D，    (1)求证： (2)若，，求半径． (3)如图2，点F在上，，连接、．求证：． 变式5-2 （25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）四边形内接于圆O，为直径，连接，已知． (1)求的度数； (2)如图2，过点D作交延长线于点E，连接． ①求证：， ②若，，求的长． 变式5-3 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，D、E为上位于异侧的两点，连接并延长至点C，使得，连接交于点F，连接、、． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设E是半圆的中点，交于点G，若，，求的长． 变式5-4 （25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，已知是的直径，于点E，点P为劣弧上一个动点，且． (1)如图1，连接，则的度数为 ； (2)如图2，连接、、、．若平分交于点F，求的长； (3)如图3，连接、、，在点P的运动过程中（不与B、C两点重合），请问的值是否会发生变化，若发生变化，请说明理由，若不发生变化，请求出这个值． 变式5-5 （25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． (1)如图，若，为直径，求的度数． (2)如图，当经过圆心O，求证：． (3)如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 变式5-6 （2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 题型6、圆心角、弧、弦的关系 典例6 如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 题型模版 1.特征：利用圆心角、弧、弦三者之间的等量关系进行判断与计算． 2.方法：在同圆或等圆中，由圆心角相等推出弧相等、弦相等；反之亦然；注意“同圆或等圆”的前提条件． 变式6-1 图（1）中圆形台球桌面的俯视图如图（2）所示，记圆心为O，6个等分圆周的球洞为A，B，C，D，E，F．P是的中点，一个球从点P处开始，按图示方向撞到桌边上的点Q处，反弹一次后撞到桌边上的点M处，再反弹一次后落入球洞F中，在此过程中有，，则的度数是_______°． 变式6-2 如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式6-3 如图，在扇形中，点C、D在上，，点F、E分别在半径、上，，连接． (1)求证：； (2)设点P为的中点，连接，线段交于点M、交于点N．如果，求证：四边形是矩形． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的直径，，弦交于点，半径，点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5，则的面积为（   ） A．6 B． C．7 D． 2．如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 3．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 4．如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为(   )    A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 8．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知是的直径，点为圆上一点．将沿弦翻折，交于点，把沿直径翻折，交于点，点恰好是翻折后的上一个四等分点，且，则的值为______． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 12．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 13．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”． (1)如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由； (2)如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为． ①连结，求证： ． ②当直径，时，求的长． 14．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在中，，点是的中点，过，，三点的交于点，的半径为． (1)如图，连接，当恰好是的直径时． 求证：； 若，求的度数（用的式子表示）； 求的长； (2)如图，求的最大值． 15．如图，已知点为射线上的动点，作，使，过点，，作⊙与交于点，连接．点为上的一点，连接交于点，交⊙于点，且． (1)证明：． (2)若，，求的长． (3)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $