专题10 概率的计算（10大题型）（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”构建概率计算体系，通过分类题型与变式训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|事件类型判断→等可能用P=m/n，多步用列表/树状图，几何转测度比|从概念到方法，构建概率计算通用框架| |题型归纳|8题型（含典例+变式）|等可能事件强调完整列举，三步以上用多层树状图，放回/不放回分类处理|从基础到综合，覆盖单一事件到跨知识结合| |压轴挑战|15道题|复杂情境转化概率模型，结合几何、函数等知识综合应用|提升高阶思维，对接中考压轴题考查方向|

专题10 概率的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等可能事件 题型2、用概率公式计算概率 题型3、几何概率 题型4、用列表法求概率 题型5、用树状图求概率 题型6、三步及以上的树状图问题 题型7、概率与其它数学知识的综合 题型8、放回与不放回的对比问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决概率计算问题，首先要准确判断事件的类型与试验步骤；对于等可能事件，直接利用概率公式 P(A)=m/n，关键是完整列举所有基本事件；多步试验优先选用列表法或树状图，注意区分放回与不放回、有序与无序的差异；几何概率则需把问题转化为长度、面积或体积之比；综合题要先把其它数学知识转化为概率模型，再按上述方法求解，并解释实际意义． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等可能事件 典例1 （25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型模版 1.特征：每个结果发生机会相等，判断是否为等可能并计算相应概率． 2.方法：确认所有基本事件及等可能性；用 m/n 计算，列举要完整有序，避免重复或遗漏． 变式1-1 （25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 变式1-2 （24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 变式1-3 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 题型2、用概率公式计算概率 典例2 （2025九年级下·浙江·学业考试）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：直接利用 P(A)=m/n 的古典概型问题，涉及摸球、掷骰子、抽卡片等情境． 2.方法：求出总的基本事件数和事件 A 包含的基本事件数；注意“放回”“不放回”“有序”“无序”的区别． 变式2-1 （多选）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次，现依次计算小明投完前n次时的命中率，则，在下列数字中，一定会在中出现的是（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 变式2-2 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______． 变式2-3 某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 题型3、几何概率 典例3 （24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 题型模版 1.特征：试验结果对应区域（长度、面积、体积），求某事件发生的概率． 2.方法：计算事件对应区域测度与总区域测度之比；注意边界是否包含及图形的准确刻画． 变式3-1 （24-25九年级上·北京·期末）将一个表面涂满红色的正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 变式3-2 （25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)若与关于y轴对称，；；，并画出； (2)求的面积； (3)从内部格点（不含边界上的点）中随机抽取一个点记为点D，连接，求的面积等于3时点D的概率． 变式3-3 （24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 题型4、用列表法求概率 典例4 （2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 题型模版 1.特征：两步试验（如掷两枚骰子、摸球两次），适合用表格枚举所有结果． 2.方法：画行列表格，横纵分别表示两步的所有等可能结果；数出目标结果数，代入概率公式． 变式4-1 如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 变式4-2 （25-26九年级下·四川绵阳·期中）现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 变式4-3 有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 题型5、用树状图求概率 典例5 《生物多样性公约》第十五次缔约大会（）于2021年10月11日在云南昆明举行，为了提高吉祥物的协调性、艺术性和代表性，拟确定大会吉祥物由“孔雀、金丝猴、山茶花、大熊猫和民族女孩”5个吉祥物形成的组合图案． 小昆同学将以上五幅图分别做成五张小卡片（卡片大小和背面花纹一样），随机将五张小卡片背面向上放置在桌子上． (1)从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是__________； (2)小明同学先随机抽取一张卡片，放回洗匀，再抽取第二张卡片，请用树状图法或列表法求抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率． 题型模版 1.特征：多步试验，逐步分支列举，适合用树状图表示． 2.方法：按试验步骤画树状图，每个分支标明结果；沿路径统计满足条件的结果数并计算概率． 变式5-1 （25-26八年级上·湖南邵阳·期末）一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 变式5-2 某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 变式5-3 周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 题型6、三步及以上的树状图问题 典例6 （24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过1次传球后，球在乙手中的概率是______； (2)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (3)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果，不用说明理由）． 题型模版 1.特征：试验步骤超过两步，列表法不易表达，树状图更清晰． 2.方法：用多层树状图逐层展开，注意每一步条件变化（尤其不放回）；统计满足条件的路径数． 变式6-1 金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是________． 变式6-2 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． (1)小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； (2)小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 变式6-3 盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 题型7、概率与其它数学知识的综合 典例7 张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 题型模版 1.特征：概率与函数、方程、几何、统计等其它数学知识结合． 2.方法：先用相应数学知识求出基本量，再转化为概率模型；注意多条件的正确转化与分类讨论． 变式7-1 在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 变式7-2 武侯祠景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 15 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______；这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在_____组； (2)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用：50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由． (3)该景区计划从A（2男1女），B（1男2女）两组六位游客中，各随机抽取1人参加抽奖活动，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到1男1女的概率． 变式7-3 某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 变式7-4 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 8 8 7 (1)表格中的______，______．（填“>”“=”或“<”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求三家种植户选择同一快递公司的概率． 变式7-5 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； (3)求型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 题型8、放回与不放回的对比问题 典例8 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 题型模版 1.特征：同一情境分别按放回、不放回摸球，比较概率变化或分别求值． 2.方法：放回时每次总球数不变，各次独立；不放回时总球数减少且条件相关；用树状图或列表法分别计算并对比． 变式8-1 （2025九年级·全国·专题练习）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 变式8-2 （25-26七年级下·福建漳州·期末）在一个不透明的袋子里有除颜色外其它都相同的5个红球和2个白球． (1)先从袋子里取出（）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． ①如果事件是必然事件，则的值为__________； ②如果事件是随机事件，则的值为__________． (2)先从袋子中取出个红球，不放回，再放入除颜色外其它都相同的个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 变式8-3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 变式8-4 抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 变式8-5 抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在的正方形网格中有36个格点（小正方形的顶点），的顶点都在格点上，在余下的33个格点中任取1个格点，能画出和有一条公共边且全等的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 5．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式的整数解的个数为，关于的方程有整数解．若为整数，则点在坐标轴上的概率为____________． 7．西安是个好地方，这座被历史浸润的古都，以其深厚的文化底蕴、壮丽的古迹遗址和独特的西北风味，吸引着八方来客．某天甲、乙、丙三人来西安旅游，他们分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览． (1)甲选择A景点的概率为__________； (2)请利用树状图求出甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率． 8．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 9．随着移动支付的普及，人们的支付方式越来越多样化．某校在开展“生活中的数学”实践活动时，让小华和小丽模拟购物支付场景，两人需从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中各自随机选一种进行支付． (1)请用列表法或树状图法求小华和小丽恰好选择相同支付方式的概率； (2)若该校共有1500名学生，根据调查，全校约有的学生常用移动支付（微信、支付宝），估计该校不常用移动支付（银行卡、现金）的学生人数． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）在9张完全相同的卡片上分别写上这9个数字，小明和小刚用这9张卡片做抽卡游戏：小明从中任意抽出一张卡片（不放回），小刚从剩余的卡片中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜．然后两人把抽到的卡片都放回，重新开始做游戏． (1)现小明已经抽到的数字为4，然后小刚抽卡，那么小明获胜的概率和小刚获胜的概率分别是多少？ (2)小明抽出一张卡片后，立即对小刚说：“我获胜的概率肯定比你获胜的概率大．”那么，小明抽到的数字可能是哪些？ 12．近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 13．【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 14．小强与小伟都准备为某科技博览会做义务服务，博览会举办时间为5月1日至5日共5天，小强随机选择连续2天做服务，小伟随机选择连续3天做服务．请解答下列问题： (1)小强在2，3日这两天做服务的概率是________； (2)若小强、小伟能在同一天做服务，他俩就能一起合作，求他俩能一起合作2天的概率是多少？ 15．小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 16．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 17．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 18．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 19．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 20．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 概率的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等可能事件 题型2、用概率公式计算概率 题型3、几何概率 题型4、用列表法求概率 题型5、用树状图求概率 题型6、三步及以上的树状图问题 题型7、概率与其它数学知识的综合 题型8、放回与不放回的对比问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决概率计算问题，首先要准确判断事件的类型与试验步骤；对于等可能事件，直接利用概率公式 P(A)=m/n，关键是完整列举所有基本事件；多步试验优先选用列表法或树状图，注意区分放回与不放回、有序与无序的差异；几何概率则需把问题转化为长度、面积或体积之比；综合题要先把其它数学知识转化为概率模型，再按上述方法求解，并解释实际意义． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、等可能事件 典例1 （25-26九年级下·福建厦门·阶段检测）飞行棋是一种玩法简单的竞技游戏，玩家投掷一个骰子得到正面朝上的点数，确定前进的步数，刚好走到终点则胜利；若所得点数超过到达终点所需的步数则需要往回走所超点数的步数．如图所示，在一次飞行棋游戏的最后阶段，如果小明投掷骰子的次数不超过两次就能刚好到达终点，则到达终点的方式有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】根据题意列举即可． 【详解】解：根据题意，投掷一次6点， 投掷两次，， 综上共6种． 题型模版 1.特征：每个结果发生机会相等，判断是否为等可能并计算相应概率． 2.方法：确认所有基本事件及等可能性；用 m/n 计算，列举要完整有序，避免重复或遗漏． 变式1-1 （25-26七年级下·四川遂宁·期末）小王和小李玩象棋比赛（每局必分胜负），七局四胜，已知小李全程没有领先过小王，最终小王获胜，问一共有______种不同情况 【答案】 【分析】本题要求小王最终获胜且小李全程未领先，按比赛结束的不同局数分类，计算每类符合条件的情况数再求和即可得到结果． 【详解】解：由题意，小王最终胜4局，小李胜局不超过3局，且任意时刻小李胜场数不超过小王胜场数，分情况讨论： ①比赛4局结束：小王连胜4局，符合条件，共1种情况； ②比赛5局结束：第5局小王胜，前4局小王胜3局，小李胜1局，第一局必须为小王胜（否则小李开局领先），剩余3局选1局小李胜即可，共种，均满足条件，共种情况； ③比赛6局结束：第6局小王胜，前5局小王胜3局，小李胜2局，第一局必须为小王胜，若第二局小李胜，则第三局小王胜，第四、五局小李选1局胜即可，共2种情况；若第二局小王胜，则第三、四、五局小李选2局胜即可，共3种情况；因此，一共有5种情况； ④比赛7局结束：第7局小王胜，前6局小王胜3局，小李胜3局，第一局必须为小王胜，在剩余五局中，小李可以胜第二、四、六局，或第二、五、六局或第三、五、六局或第三、四、六局或第四、五、六局，共5种情况； 综上所述， 总情况数为：． 变式1-2 （24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 变式1-3 某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售，当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如表： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商___________分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将7台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么7台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为___________万元． 【答案】 B 181 【分析】根据表格得到每增加一台设备的利润增量，分类讨论所有分配情况，计算总利润后比较即可得到最大值． (1) 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此仅有一家分得2台，其余三家各分得1台，只需比较各经销商分得第二台时的利润增量即可得到结果； (2) 将7台设备按分配的经销商数量分类讨论，分别计算不同分配情况下的最大总利润，比较后得到最大值． 【详解】解： 5台设备分给四家经销商，每家至少1台，因此一家分得2台，其余三家各分得1台． 计算各经销商第二台设备的利润增量： 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， 的增量：（万元）， ， 应向经销商分配2台设备． 解：按分配经销商的数量分类讨论： ① 分配给1家经销商：最大利润为经销商7台的利润，即（万元）； ② 分配给2家经销商：最大总利润为1台加6台，即（万元）； ③ 分配给3家经销商：最大总利润为1台，2台，4台，即（万元）； ④ 分配给4家经销商：四家各分1台，剩余3台选择增量最大的3台，总利润为（万元）； 比较所有情况的总利润：， 因此总利润最大值为万元． 题型2、用概率公式计算概率 典例2 （2025九年级下·浙江·学业考试）现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．投掷这三个骰子，则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以选6个数字，故总可能结果有种可能 依题意，，，共有9种可能，每种有6种排列方式， 其中，，每种可能有3种不同排列 ；和， 共9种可能； 的排列有6种可能，同理....，6种可能 则符合题意的共有种， ∴其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键． 题型模版 1.特征：直接利用 P(A)=m/n 的古典概型问题，涉及摸球、掷骰子、抽卡片等情境． 2.方法：求出总的基本事件数和事件 A 包含的基本事件数；注意“放回”“不放回”“有序”“无序”的区别． 变式2-1 （多选）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次，现依次计算小明投完前n次时的命中率，则，在下列数字中，一定会在中出现的是（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】AD 【分析】本题考查概率问题，分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可． 【详解】解：因为第一个没进， 所以若第二个进了，则有． 若第二个没进，第三个没进，则有，，． 若第二个没进，第四个没进，则有，，，． 若第二个没进，第五个没进，则有，， 后续情况无需讨论， 由此可见0.5一定会在中出现； 因为， 如果前五次有三次没进，则，，，…… 由此可见这一种情况中0.6没有出现； 因为， 如果前10次有一次或二次没进，则或， 由此可见这种情况下0.7没有出现； 因为， 如果前五次只有第一次没进，则， 如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则， 如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则， 如果前五次有三次没进，则， 由此可见0.8一定会在中出现． 故选AD． 变式2-2 小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9．把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排列规则如下： ①从左至右按从小到大的顺序排列： ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 小亮每行翻开了两张卡片，如图所示： 其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行最后一张白色卡片上数字只能是______有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可． 【详解】解：黑卡8在左边， 白卡数字可能为8或9， 又白卡9排在第一行， 第四行最后一张白色卡片上数字只能是8； 每行能确定的数字为： 第一行：1 5 6 7 9 第二行： 3 4 5 第三行：0 6 7 9 第四行：0 2 8 8 不能确定的是黑色2，3和4，共有三种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为， 故答案为：8；． 变式2-3 某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元． (1)求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格； (2)班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件． ①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数； ②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率． 【答案】(1)每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； (2)①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为． 【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可； （2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案； ②根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元． 根据题意列方程组：， 解得， 答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元； （2）解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元， 可得：， ∴， 因为m，n都是正整数， 所以必须是正偶数， ∴时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）． 所以符合条件的方案有5个； ②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即， ∴，和，， ∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个， ∴概率为：． 题型3、几何概率 典例3 （24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 题型模版 1.特征：试验结果对应区域（长度、面积、体积），求某事件发生的概率． 2.方法：计算事件对应区域测度与总区域测度之比；注意边界是否包含及图形的准确刻画． 变式3-1 （24-25九年级上·北京·期末）将一个表面涂满红色的正方体的每条棱等分（，n为整数），分割成若干个小正方体，在这些小正方体中任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查了简单几何概率，熟练掌握正方体体积公式，面积公式，概率意义，几何概率计算，是解题的关键． 小正方体总个数为，只有一面涂红色的小正方体个数为，概率为两者之比． 【详解】解：将正方体每条棱等分后，小正方体总个数为． 只有一面涂红色的小正方体位于每个面的中心部分， 每个面有个，共6个面， ∴总数为． 故任取一个小正方体，只有一面为红色的概率为． 故答案为：． 变式3-2 （25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)若与关于y轴对称，；；，并画出； (2)求的面积； (3)从内部格点（不含边界上的点）中随机抽取一个点记为点D，连接，求的面积等于3时点D的概率． 【答案】(1)，，，，，， ，如图 (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，一次函数，网格求三角形的面积，简单的概率计算--几何概率，掌握知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）利用分割法求的面积即可； （3）先求出线段的解析式为，设，过点D作轴，交于点E，推导出，由的面积等于，得到，继而推导出内部格点共有7个点，每个点被抽到的机会是相等的，其中满足的只有两个点、，即可解答． 【详解】（1）解：点关于y轴对称的点分别为，，，顺次连接成 （2）解： （3）解：设线段的解析式， 将分别代入，得 ， 解得， ∴线段的解析式， 设，过点D作轴，交于点E，如图 当时，， ∴，即， ∵的面积等于， ∴， 解得， ∵内部格点共有7个点，每个点被抽到的机会是相等的，其中满足的只有两个点、， ∴． 变式3-3 （24-25七年级下·全国·课后作业）在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图①所示的方式折叠，然后打开，得到如图②所示的图形．同学们按照图②画线，然后沿实线将正方形分割成如图③所示的七块区域并进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． (1)如果区域⑥对应的周长为3，那么区域⑦的周长为____________． (2)下列说法正确的是____________． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关    B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏                  D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 【答案】(1)3 (2)D 【分析】（1）通过图2的折叠与分割，确定区域⑥的边长和区域⑦的边长关系，进而推出两者的周长关系； （2）根据概率与区域面积的关联，逐一判断各选项的正确性． 【详解】（1）解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长： ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3. 故答案为：． （2）解：A：找到宝藏的概率与区域面积有关，与形状无关，故错误，不符合题意； B：区域③是存在的区域，有找到宝藏的可能，故错误，不符合题意； C：宝藏藏在哪个区域是随机的，区域①不一定能找到，故错误，不符合题意； D：区域④⑥⑦的面积相等，因此找到宝藏的概率相同，故正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质、周长计算及概率的概念，掌握利用折叠的全等性分析线段长度，以及概率与区域面积相关的特点是解题的关键． 题型4、用列表法求概率 典例4 （2025·浙江宁波·模拟预测）一个人在直角坐标系上从走到，每次他可以往上走一个单位长度或往右走一个单位长度且它的横坐标和纵坐标的绝对值至少有一个大于等于二，则这个人有_______种走法． 【答案】74 【分析】本题考查了列表法求事件的种数， 问题核心：从走到，每次只能往右或往上走 格，且不能经过 “禁区”（横坐标，0，1且纵坐标，0，1的点，这些点横、纵坐标绝对值都小于 2）． 解题方法：用 “标数法”—— 每个点的走法数 = 从左边过来的走法数 + 从下边过来的走法数（因只能右 / 上走）． 【详解】点的坐标 解：基础标数： （1）起点标 “1”（只有 1 种到起点的方法）； （2）（）和（）只能单向走，全标 “”． 逐点计算（重点标关键位置）： x\y 0 1 2 3 3 1 7 13 19 25 37 2 1 6 6 6 6 12 37 1 1 5 （禁区） （禁区） （禁区） 6 25 0 1 4 （禁区） （禁区） （禁区） 6 19 1 3 （禁区） （禁区） （禁区） 6 13 1 2 3 4 5 6 7 起点 1 1 1 1 1 1 结果：终点的走法数为 74． 故填：74． 题型模版 1.特征：两步试验（如掷两枚骰子、摸球两次），适合用表格枚举所有结果． 2.方法：画行列表格，横纵分别表示两步的所有等可能结果；数出目标结果数，代入概率公式． 变式4-1 如图是一个电路图，电灯和的规格相同．现从电阻值分别为，，，的四个电阻中，随机选取两个放置在，的位置上，则电灯比更亮的概率为__________． 【答案】 【分析】当时，电灯比更亮，列出树状图，找到所有等可能情况和符合题意的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得，当时，电灯比更亮，画树状图如下： 根据列表可知，共有12种等可能情况，其中的情况共有4种， 故电灯比更亮的概率为． 变式4-2 （25-26九年级下·四川绵阳·期中）现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是：、、溶液、溶液，装在了4个不透明的化学试剂瓶中．某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表：   第一次 第二次 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为与、与、与，共6种有效反应组合。 根据概率公式可得： 因此抽到有效反应组合的概率为． 变式4-3 有4个球和写有1、2、3号的盒子，进行如下游戏：①从装有3张卡片（分别写着1、2、3）的盒子里随机抽取一张，记数字为k；②若，则在1号和3号盒子中各放入1个球；若，则在1号和2号盒子中各放入1个球；若，则在2号和3号盒子中各放入1个球；③将卡片放回，重复以上操作两次．则3号盒子恰好比2号盒子多1个球的概率为_________． 【答案】 【分析】先确定两次操作的所有等可能基本事件总数，再根据题意推导3号盒子恰好比2号盒子多1个球的条件，求出符合条件的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式计算概率． 【详解】解：由题意，每次抽取卡片有种等可能结果，重复操作两次， 1 2 3 1 2 3 ∴共有种等可能的结果， 对单次操作，设抽取数字为时，2号盒子球的增量为，3号盒子球的增量为， 当时，，；当时，，；当时，，. ∵两次操作后，3号盒子恰好比2号盒子多个球，即满足. ∴设两次抽取中，抽的次数为，抽的次数为，抽的次数为， ∴，且：，， 代入条件得：. 联立方程， 其中为非负整数， ∴，，， 即符合条件的事件结果为和， ∴所求概率为． 题型5、用树状图求概率 典例5 《生物多样性公约》第十五次缔约大会（）于2021年10月11日在云南昆明举行，为了提高吉祥物的协调性、艺术性和代表性，拟确定大会吉祥物由“孔雀、金丝猴、山茶花、大熊猫和民族女孩”5个吉祥物形成的组合图案． 小昆同学将以上五幅图分别做成五张小卡片（卡片大小和背面花纹一样），随机将五张小卡片背面向上放置在桌子上． (1)从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是__________； (2)小明同学先随机抽取一张卡片，放回洗匀，再抽取第二张卡片，请用树状图法或列表法求抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有25种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的结果有9种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有五张小卡片：孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩， ∴从这五张卡片中随机挑选一张，是“金丝猴”的概率是； （2）解：用字母A、B、C、D、E分别表示卡片孔雀；金丝猴；山茶花；大熊猫；民族女孩； 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的结果有9种， ∴抽到的两张卡片上的图形至少有一张是“民族女孩”卡片的概率为． 题型模版 1.特征：多步试验，逐步分支列举，适合用树状图表示． 2.方法：按试验步骤画树状图，每个分支标明结果；沿路径统计满足条件的结果数并计算概率． 变式5-1 （25-26八年级上·湖南邵阳·期末）一椭圆形地块，打算分、、、四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有种不同的植物可供选择，那么有（    ）种栽种方案． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画树状图，掌握分类讨论思想以及正确画出树状图是解题的关键． 根据，所种的种数相同和不同来分类，然后分别根据题意画出树状图，然后统计即可解答． 【详解】解：设4种不同的植物分别为甲、乙、丙、丁， 当，种同一种植物，根据题意画树状图如下： 共有36种栽种方案； 当，种不同的植物， 则有48种栽种方案． 综上，共有种． 故选：D． 变式5-2 某班开展“互助学习接力”活动，将班级学习小组划分为、、、四个小组，对应如图所示三棱锥的四个顶点，规则为：小球（代表学习任务）在三棱锥的顶点间传递，每传递一次，任务随机传给相邻的小组．若任务初始在组，连续传递两次后，任务回到组的概率为________． 【答案】 【分析】先画出树状图，统计出所有可能的结果总数，然后判定符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据如下树状图可得结果总数为9个，符合连续传递两次后，任务回到组的结果数为3个，所以概率为． 变式5-3 周末，小辰、小苏、小彦、小夏四人准备开车出去游玩，四人中只有小夏不会开车，车辆座位如图所示，则小夏和小彦坐在同一排的概率为______． 【答案】 【分析】利用树状图法求解即可． 找到同一排的所有情况，再除以总的情况数即可求解． 【详解】解：画出树状图，如图： 总的情况数为9，二人在同一排的情况数为3， 故小夏和小彦坐在同一排的概率为：． 题型6、三步及以上的树状图问题 典例6 （24-25九年级下·江苏盐城·阶段检测）甲、乙、丙3人间相互传球．假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲开始传球． (1)经过1次传球后，球在乙手中的概率是______； (2)经过3次传球后，球在乙手中的概率是多少？请画树状图解决问题． (3)猜想：经过次传球后，球传到甲、乙、丙3人手中的概率之间的大小关系（直接写出结果，不用说明理由）． 【答案】(1) (2) (3) 当为奇数时，；当为偶数时， 【分析】（1）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出球在乙手中的结果数，然后根据概率公式求解； （2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出球在乙手中的结果数，然后根据概率公式求解； （3）利用（1）、（2）的结论讨论推广：当n为奇数时，；当n为偶数时，． 【详解】（1）解：经过1次传球后，等可能结果数为2种（甲传乙或甲传丙），球在乙手的结果数为1， ∴球在乙手中的概率是． （2）画树状图， 共有8种等可能的结果数，其中球在乙手中的结果数为3， ∴球在乙手中的概率； （3）若经过2次传球，画出树状图， 共有4种等可能的结果数，其中球在甲手中的结果数为2，其中球在乙手中的结果数为1，其中球在丙手中的结果数为1， ∴球在甲手中的概率；球在乙手中的概率；球在丙手中的概率； 若经过4次传球，画出树状图， 共16种等可能结果，球在甲手中的结果有6种，在乙手中的结果有5种，在丙手中的结果有5种， ∴球在甲手中的概率为，在乙手中的概率为，在丙手中的概率为． ……， ∴经过1次传球，，，；； 经过2次传球，，，；； 经过3次传球，，，；； 经过4次传球，，，；； 经过5次传球，，，；； 经过6次传球，，，；； ……， 经过n次传球，当n为奇数时， ， ， ； ∴； 当n为偶数时， ， ， ； ∴． 题型模版 1.特征：试验步骤超过两步，列表法不易表达，树状图更清晰． 2.方法：用多层树状图逐层展开，注意每一步条件变化（尤其不放回）；统计满足条件的路径数． 变式6-1 金华创建文明城市，推行垃圾分类．小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱．一天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的三个垃圾袋投放错误的概率是________． 【答案】 【分析】画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图（用A、B、C、D表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用a、b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；    共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种， 所以把三个袋子都放错位置的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 变式6-2 小明每天骑自行车上学，都要通过安装有红、绿灯的3个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同． (1)小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率（请用“画树状图”或“列举”等方法给出分析过程）； (2)小明从家到学校，通过这3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为 ．（请直接写出答案） 【答案】(1)解：设红灯为红，绿灯为绿， 列举通过前2个十字路口的所有等可能结果如下： 红红，红绿，绿红，绿绿 ∵共有4种等可能的结果，其中两个路口都是绿灯的结果有1种 ∴通过前2个十字路口时都是绿灯的概率为． (2) 【详解】（1）略 （2）解：画树状图如图，表示红灯，表示绿灯， ∵至少有2个绿灯的结果共有4种，总共有8种等可能结果 ∴通过3个十字路口时至少有2个绿灯的概率为． 变式6-3 盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 题型7、概率与其它数学知识的综合 典例7 张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸： ①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平． ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段． ③可得到．老师请同学们讨论说明理由． 三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证． (1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率． (2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由． 【答案】(1) (2) 选择小彤的方法说明，理由如下： 连接，如下图， 由折叠的性质可得，，，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案； （2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论． 【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种， ∴小明和小峰选择同一种方法的概率为； （2）略 【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形． 题型模版 1.特征：概率与函数、方程、几何、统计等其它数学知识结合． 2.方法：先用相应数学知识求出基本量，再转化为概率模型；注意多条件的正确转化与分类讨论． 变式7-1 在某次选举中，每位同学将自己心中的候选人（仅选一人）写在小纸条上．选举结果如表： 候选人 小华 小丽 小明 票数 24 16 8 将这48张选票做成48支签，放在不透明的盒子中摇匀． (1)从盒子中任意抽出1支签，抽到候选人是小华的概率是_____； (2)从盒子中任意抽出1支签，记录候选人的名字后，放回摇匀，再从中任意抽出1支签． ①如何求两次抽到候选人都是小华的概率呢？ 【分析】 若直接用画树状图或列表的方法计算其概率，则树状图或表格将会极其复杂．为此，小聪设计了图1所示的转盘（将转盘二等分），将原问题转化成“任意转动转盘2次，求指针均落在标有“小华”区域的概率”，再用画树状图或列表的方法计算两次抽到候选人都是小华的概率是______． ②先在图2中设计恰当的转盘，再用画树状图或列表的方法，求两次抽到候选人都是小丽的概率． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意知，共有48种等可能的结果，其中抽到“小华”的结果有24种，利用概率公式可得答案． （2）①画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小华”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． ②画树状图可得出所有等可能的结果数以及其中两次都抽到“小丽”的情况有1种，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：总票数为，小华的票数为24； 所以，抽到“小华”的概率为； （2）解：①画树状图如下： 由树状图可得一共有4种等可能的结果，其中两次都抽到“小华”的情况有1种， 所以，两次都抽到“小华”的概率为； ②小丽的票数为16，总票数为48， 所以，抽到小丽的概率为， 可以把转盘三等分，分别标上“小丽”“小华”“小明”，如图， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽到“小丽”的结果只有1种， 所以，两次抽到“小丽”的概率为． 变式7-2 武侯祠景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区5月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 A B C D E 分组 人数 3 3 15 a 10 请根据以上信息，完成下列问题： (1)______；这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在_____组； (2)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用：50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，估计该景区5月份的服务质量是否良好，并说明理由． (3)该景区计划从A（2男1女），B（1男2女）两组六位游客中，各随机抽取1人参加抽奖活动，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到1男1女的概率． 【答案】(1)解：；D (2)解：该景区5月份的服务质量良好，理由是：， ， 该景区月份的服务质量良好． (3)解：恰好抽到1男1女的概率为． 【分析】（1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值；根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据A，B，C组的人数和D组的人数判断中位数在D组； （2）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． （3）用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：， 一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组； （2）略 （3）解：设A（2男1女）组的三为游客分别记为B（1男2女）组三位游客分别记为根据题意列表如下； 共有种等可能的结果，其中恰好抽到1男1女的情况为，，，，，共5种情况，故恰好抽到1男1女的概率为． 变式7-3 某水果生产基地为了解同一批柑橘装箱后每箱的重量情况，从全部装箱的柑橘中随机选出100箱，分A、B、C、D、E五组来测量每箱的重量（单位：），并分别测算出各组柑橘每箱重量的平均数，结果如下表， 小组编号 A B C D E 个数（单位：箱） 25 20 15 25 15 平均重量（单位：） 30 25 20 32 20 其中E组中15箱柑橘每箱的重量（单位：）分别是： 12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30 根据以上信息，解决下面的问题． (1)E组中15箱柑橘重量的中位数是_____，众数是______； (2)下面是晓强同学求这100箱柑橘平均重量的做法： 这100箱柑橘的平均重量为，请你判断他的做法是否正确，若正确请说明理由；若不正确，请你求出这100箱柑橘的平均重量． (3)现需要用载重量为5吨的卡车运送1000箱该批柑橘，请你估计至少需要几辆卡车，才能一次将这批柑橘运送完?并通过计算进行说明． (4)若该水果生产基地对这五组柑橘随机抽出两组，再次称重检测每组的平均重量，用画树状图或列表的方法，求同时抽到A组和E组的概率， 【答案】(1)，和 (2)不正确，这100箱柑橘的平均重量是 (3)6辆 (4) 【分析】（1）根据中位数和众数的概念解答即可； （2）晓强同学做法错误，运用加权平均数的方法解答即可； （3）运用除法计算，结果进一即可； （4）列表，得20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能得结果，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：E组中15个数据按从小到大的顺序排列为：12  14  16  17  17  17  18  18  20  21  24  24  24  28  30，最中间的一个数据为18， 所以，中位数是； 数据出现最多的是17和24，各出现3次， 故众数为和； （2）解：晓强的做法不正确． 这100箱柑橘的平均重量为： ． 答：这100箱柑橘的平均重量是． （3）解：估计这批柑橘的重量为（吨）． ∵， （辆）， ∴至少需要6辆载重量为5吨的卡车． （4）解：列表如下： A B C D E A B C D E ED ∵一共有20种等可能的结果，同时抽到A组和E组有2种等可能的结果， ∴P（同时抽到A组和E组）． 变式7-4 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 8 8 7 (1)表格中的______，______．（填“>”“=”或“<”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)8.5；； (2)； ； (3) 【分析】（1）一共有10家种植户的评分，中位数是从小到大排列，第五名，第六名的平均分，观察甲快递公司配送速度的直方图，可知第五名8分，第六名9分，求平均数即可得到；分别计算服务质量的方差、，即可比较大小； （2）算出甲快递公司评分为9的商家数量，即可补全直方图；先求出7分所占的比例，乘以这个比例，即可求出； （3）用树状图展示所有等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：观察甲快递公司配送速度的直方图，可知10家种植户中，给出评分6的两家，评分7的两家，评分8的一家，评分10的一家， 给出评分9的：（家）， 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 甲快递公司的中位数，是第五名，第六名的平均分，即， ， ， ． （2）①略； ②解：7分所占的比例为：， ． （3）解：画树状图，列出所有可能结果，如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， 三家种植户选择同一快递公司的概率． 变式7-5 中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进型号分拣机器人2台，型号分拣机器人3台．已知型机器人每分钟分拣快递的数量是型机器人每分钟分拣数量的1.5倍，且型机器人分拣900件快递所用时间比型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到型号分拣机器人的概率为________； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率； (3)求型机器人每分钟分拣快递多少件？ (4)已知每台型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购，两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1) (2) (3)150件 (4)采购A型号机器人30台时所需费用最低，最低费用为130万元 【分析】（1）由题意可直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果，再找出抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数，然后根据概率公式求解； （3）设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件，利用时间关系列方程，然后解分式方程即可； （4）设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元，总费用表示为，再确定的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：随机抽取一台机器人分拣快递，抽取到B型号分拣机器人的概率为； （2）解：画树状图： 共有20种等可能的结果，其中抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的结果数为8； 因此抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率为：； （3）解：设B型机器人每分钟分拣快递件，则A型机器人每分钟分拣快递件， 列方程：， 解方程得：； 经检验，为原方程的解； 当时，； 答：A型机器人每分钟分拣快递150件． （4）解：设采购A种型号的机器人台，则采购B种型号的机器人台，所需总费用为万元， 总费用表示为， 根据题意列不等式组：，且； 解得：，且为整数； 由于中，随的增大而增大， 因此当时，取得最小值，最小值为130． 答：采购A种型号的机器人30台时，所需费用最低，最低费用是130万元． 题型8、放回与不放回的对比问题 典例8 一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为． (1)求口袋中黄球的个数； (2)甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率； 【答案】(1)1个 (2)概率为 【分析】（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到，然后利用比例性质求出x即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出都是红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设口袋中黄球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴口袋中黄球的个数为1个； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果数，两次摸出都是红球的有2种结果数， ∴两次摸出都是红球的概率为：． 题型模版 1.特征：同一情境分别按放回、不放回摸球，比较概率变化或分别求值． 2.方法：放回时每次总球数不变，各次独立；不放回时总球数减少且条件相关；用树状图或列表法分别计算并对比． 变式8-1 （2025九年级·全国·专题练习）一个不透明袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5． (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球的编号之和不大于6的概率． (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为n，将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为m．求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了古典概型概率的知识点，解题关键是准确列举所有基本事件，并逐一分析符合条件的事件数，确保不重不漏． （1）先确定从袋中随机一次取两个球的所有可能结果（基本事件数），再找出编号之和不大于的结果数，最后根据概率公式计算； （2）确定两次取球的所有可能结果数，再逐一分析满足的结果数，进而计算概率． 【详解】（1）解:画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中取出的球的编号之和不大于的结果有种， 取出的球的编号之和不大于的概率为． （2）解：画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中的结果有种， ∴的概率为． 变式8-2 （25-26七年级下·福建漳州·期末）在一个不透明的袋子里有除颜色外其它都相同的5个红球和2个白球． (1)先从袋子里取出（）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． ①如果事件是必然事件，则的值为__________； ②如果事件是随机事件，则的值为__________． (2)先从袋子中取出个红球，不放回，再放入除颜色外其它都相同的个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1)①2；②1 (2)3 【分析】（1）根据事件的分类，进行作答即可； （2） 根据可能性大小的计算公式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：①如果事件是必然事件，则袋子里全是红球，没有白球，故； ②如果事件是随机事件，则袋子里有红球，也有白球，故只能取出1个白球，即； （2）解：依题意得：． 解得：． 答：的值是3． 变式8-3 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 变式8-4 抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 变式8-5 抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元． (1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； (2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由． 【答案】(1)； (2)解：选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由如下： ①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为， 所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元）， ②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元）， ③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元）， 因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算． 【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可； （2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可． 【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： 共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， 所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为； （2）略 【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，在的正方形网格中有36个格点（小正方形的顶点），的顶点都在格点上，在余下的33个格点中任取1个格点，能画出和有一条公共边且全等的三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：和有一条公共边且全等的三角形共有五个， ∴和有一条公共边且全等的三角形的概率为． 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ，，，，，， ， ． 3．（24-25九年级下·安徽宣城·自主招生）从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则二次函数与x轴有两个不同交点的概率为______． 【答案】 【分析】二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零，即，从1、2、3、4中随机选取两个不同的数作为和，考虑顺序，总共有12种可能结果，找出满足条件的有序对，计算概率即可． 本题主要考查了简单概率的计算，二次函数与轴的交点问题，熟练掌握“二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式大于零”是解题的关键． 【详解】解：由于选取顺序不同，和的有序对共有、、、、、、、、、、、共12种； 二次函数与轴有两个不同交点的条件是判别式， 即， 解得， 满足的有序对有、、、共4种， 则二次函数与轴有两个不同交点的概率为； 故答案为：． 5．如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯， 所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种， 清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式的整数解的个数为，关于的方程有整数解．若为整数，则点在坐标轴上的概率为____________． 【答案】 【分析】先确定不等式的整数解个数的所有可能值，再解分式方程得到整数的所有可能值，列出所有等可能的点，根据坐标轴上点的坐标特征找出符合条件的点，最后用概率公式计算即可． 【详解】解：对于不等式，区间长度为，可知其整数解个数只能为或，即或， 解分式方程， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， 分式方程分母不为， ，即， 得， 方程的解为整数，为整数， 是的整数因数， 可得，， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，此时是增根，舍去， 当时，，符合条件， 因此的所有可能整数值为，，， 所有等可能的点为：，，，，，，共种等可能结果， 其中坐标轴上的点满足横坐标为或纵坐标为，因此只有纵坐标为的，，共种符合条件的结果； 根据概率公式，得所求概率为． 7．西安是个好地方，这座被历史浸润的古都，以其深厚的文化底蕴、壮丽的古迹遗址和独特的西北风味，吸引着八方来客．某天甲、乙、丙三人来西安旅游，他们分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览． (1)甲选择A景点的概率为__________； (2)请利用树状图求出甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵分别从A、B两个景点中随机选择一个景点游览， ∴甲选择A景点的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的情况有7种， ∴甲、乙、丙三人中至少有一人选择B景点的概率为． 8．在一个9×9的扫雷雷区中，随机埋藏了10颗地雷，每个方格最多1颗地雷，已翻开的安全方格无雷．有以下规则： （1）玩家翻开方格①，显示数字3，与它相邻的8个方格记为A区域，A区域内共有3颗地雷； （2）玩家翻开方格②，显示数字2，与它相邻的8个方格记为B区域，A、B两个区域有1个方格互相重叠，B区域内一共有2颗地雷； （3）A、B区域之外的所有未翻开方格统一记为C区域．若在A、B、C三个区域中随机点击一格，踩到地雷概率最大的是区域___________（填A，B，C即可）． 【答案】A 【分析】分别计算A，B，C三个区域的方格总数和地雷数，利用概率公式求出在各区域点击一格踩到地雷的概率，比较大小即可得出结果． 【详解】解：雷区总方格数为个，地雷总数为颗， A区域方格数为个，地雷数为颗， 则在A区域随机点击一格，踩到地雷的概率， B区域方格数为个，地雷数为颗，则在B区域随机点击一格，踩到地雷的概率， A，B两个区域重叠个方格， 则A，B区域覆盖的未翻开方格总数为个， 已翻开的方格和②共个，且无雷， 所以C区域的方格数为个， 设A，B重叠的方格内地雷数为（为或）， 则A，B区域内的地雷总数为，即颗或颗， 所以C区域的地雷数为颗或颗， 则在C区域随机点击一格，踩到地雷的概率或， 因为，，且， 所以最大，故答案为 9．随着移动支付的普及，人们的支付方式越来越多样化．某校在开展“生活中的数学”实践活动时，让小华和小丽模拟购物支付场景，两人需从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中各自随机选一种进行支付． (1)请用列表法或树状图法求小华和小丽恰好选择相同支付方式的概率； (2)若该校共有1500名学生，根据调查，全校约有的学生常用移动支付（微信、支付宝），估计该校不常用移动支付（银行卡、现金）的学生人数． 【答案】(1) (2)不常用移动支付的学生人数约为600人 【分析】（1）设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X，列表求得所有可能的结果共16种，其中小华和小丽恰好选择相同支付方式的结果有4种，即可求得概率； （2）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X， W Z Y X W Z Y X 由列表可知，所有可能的结果共16种，每种情况可能性相同． 其中两人选择相同支付方式的结果有：，，，，共4种， （选择相同支付方式）； （2）解：已知全校有1500名学生，的学生常用移动支付， 则不常用移动支付的学生人数为（人）． ∴不常用移动支付的学生人数约为600人． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 【答案】(1)乙同学的说法错误．理由见解析 (2) (3)①；②． 【分析】本题主要考查了列表法求概率、算术平均数的计算、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出表格是解题的关键． （1）由于有四种球，因此每次摸到3为其中一种可能，虽然前8次都没有摸到3，但是第9次也不可能一定摸到3，据此即可解答； （2）根据算术平均数的计算公式求解即可； （3）①根据题意列出关于a的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：乙同学的说法错误．理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为，故乙同学的说法错误． （2）解：第1次至第8次得分的平均数为． （3）解：①根据题意得：， 解得：． 故答案为：． ②列表得 第10次     第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合要求的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 11．（25-26七年级下·四川成都·期末）在9张完全相同的卡片上分别写上这9个数字，小明和小刚用这9张卡片做抽卡游戏：小明从中任意抽出一张卡片（不放回），小刚从剩余的卡片中任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜．然后两人把抽到的卡片都放回，重新开始做游戏． (1)现小明已经抽到的数字为4，然后小刚抽卡，那么小明获胜的概率和小刚获胜的概率分别是多少？ (2)小明抽出一张卡片后，立即对小刚说：“我获胜的概率肯定比你获胜的概率大．”那么，小明抽到的数字可能是哪些？ 【答案】(1) 小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为 (2) 小明抽到的数字可能是 【分析】（1）先确定小明抽到4后剩余的所有等可能结果，再分别找出两人获胜的结果数计算概率； （2）设小明抽到的数字为，分别表示出两人获胜的概率，根据条件列不等式求解，结合数字范围得到结果； 【详解】（1）解：小明已经抽到数字4，不放回后小刚抽卡，剩余卡片共有8种等可能的结果， 小明获胜需要小刚抽到的数字比4小，比4小的数字有1，2，3，共3种结果， 因此小明获胜的概率为； 小刚获胜需要小刚抽到的数字比4大，比4大的数字有5，6，7，8，9，共5种结果， 因此小刚获胜的概率为． （2）解：设小明抽到的数字为（是1到9的整数），剩余共有8种等可能结果，比小的数字有个， 因此小明获胜的概率为， 比大的数字有个，因此小刚获胜的概率为， 根据题意，小明获胜概率大于小刚获胜概率，可得， 解得， 因为是1到9的整数，所以的可能取值为， 即小明抽到的数字可能是6，7，8，9． 12．近两年徐州凭借深厚的汉文化底蕴和优质的文旅服务吸引了全国游客．为了解游客对徐州文旅服务的满意度，相关部门在某热门景区随机抽取了部分游客进行问卷调查．调查结果分为四个等级：A类（非常满意）；B类（满意）：C类（基本满意）：D类（不满意）．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查共随机抽取了 名游客； (2)请补全条形统计图，并求出扇形统计图中B类所对应的圆心角的度数； (3)若该景区当天接待游客约人，请估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数； (4)在D类游客中，有2名女游客和2名男游客，现准备从这4人中随机抽取2人进行深度访谈以改进服务，请用列表或画树状图的方法，求抽取的2人恰好是“一女一男”的概率． 【答案】(1) (2)， (3)人 (4) 【分析】（1）利用A类所占人数除以其所占百分比，即可得到抽取总人数； （2）利用总人数算出B类人数，补全条形统计图即可；再利用乘以B类所占比，即可得到圆心角； （3）利用乘以该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数的占比，即可解题； （4）画树状图得出共有种等可能的结果数，其中抽取的2人恰好是“一女一男”的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：，即本次调查共随机抽取了名游客； （2）B类的人数为（名）， B类所对应的圆心角的度数为； （3）解：（人） 即估计该景区当天对文旅服务评价为“满意”及以上（即A类和B类）的人数为人； （4）解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果，抽取的2人恰好“一女一男”的结果有种， ∴抽取的2人恰好是“一女一男”的概率为． 13．【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 【答案】(1)，， 由描点法画出图象，如图所示： ； (2) (3) 【分析】（1）由题意，分相遇前、相遇后两种情况求；由矩形面积公式直接表示；并利用描点法在同一个平面直角坐标系中画出两个函数图象即可； （2）数形结合，找出图象在图象下方对应的自变量的范围即可； （3）数形结合，找出封闭图形上的所有格点及函数或图象上，代入简单概率公式计算即可求解． 【详解】（1）解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动， 点相遇的时间为（秒）， 在相遇前，即时，； 在相遇后，即时，； 综上所述，； 以为一边的矩形面积为，， ； 图象略 （2）解：当时，即， 图象在图象下方， 联立，解得或（负值舍去）； ， 当时，； （3）解：如图所示： 则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为． 14．小强与小伟都准备为某科技博览会做义务服务，博览会举办时间为5月1日至5日共5天，小强随机选择连续2天做服务，小伟随机选择连续3天做服务．请解答下列问题： (1)小强在2，3日这两天做服务的概率是________； (2)若小强、小伟能在同一天做服务，他俩就能一起合作，求他俩能一起合作2天的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用列举法求得小强选择的时间的所有等可能结果数以及选择2，3日这两天做服务的结果数，再运用概率公式求解即可； （2）运用树状图法确定所有等可能结果数以及他俩能合作2天的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小强选择的时间有以下几种可能：，，，， 所以小强选择2，3日这两天做服务的概率． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中他俩能合作2天的等可能结果有6种， ∴他俩能合作2天的概率． 15．小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 16．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 17．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 18．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 19．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 20．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $