专题01 绝对值综合压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴挑战”为框架，系统整合绝对值四大核心解法，构建从基础到压轴的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|4类通法+示范|零点分段法（多层化简）、数形结合法（距离最值）、分类讨论法（含参问题）、非负性整体法（求值）|从绝对值几何意义与代数性质出发，建立“概念-方法-应用”逻辑链| |题型归纳|5题型+15变式|非负性求值（通法4）、含参方程（通法3）、限定范围化简（通法1）、距离最值（通法2）、数轴动点综合（通法1+2+3）|按“基础压轴-易错压轴-高频大题-最难题型”梯度进阶，题型与通法精准对应| |压轴挑战|14题（选择5+填空4+解答5）|综合应用四大通法解决复杂问题|聚焦期末高频考点，通过真题变式强化方法迁移与逻辑推理能力|

专题01 绝对值综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值非负性综合求值（基础压轴） 题型二、含参绝对值方程（易错压轴） 题型三、限定范围绝对值化简 题型四、绝对值距离最值压轴（期末高频大题） 题型五、数轴动点+绝对值综合压轴（期末最难题型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：零点分段法（多层绝对值化简首选） 适用场景：两个及以上绝对值嵌套的化简、求值、取值范围问题，是七年级绝对值大题核心方法。 标准操作步骤： 1. 找零点：令所有绝对值内部代数式=0，解出分界点； 2. 分区间：将所有零点从小到大排序，把数轴分成若干互不重叠的区间； 3. 定符号：判断每个区间内，绝对值内式子的正负性； 4. 去符号：根据正负去掉绝对值，化简合并式子。 经典例题示范：化简 解：零点为，将数轴分为三段： ① 当时，，原式； ② 当时，，原式； ③ 当时，，原式。 通法2：数形结合法（距离最值秒杀技巧） 无需繁琐分段计算，依托数轴几何意义直接判最值，压轴题提速神器。 1. 双零点和模型：，，当在之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； 2. 奇数个零点和模型：，取中间零点时，距离和最小； 3. 差值模型：，存在固定最大值和最小值，可通过数轴区间快速判定。 通法3：分类讨论法（含参数、方程压轴专用） 适用含字母参数、绝对值方程、绝对值不等式题型，核心原则：不重不漏、按区间分类，根据绝对值内部式子的正负性划分讨论范围。 通法4：非负性整体法（必考隐藏考点） 核心结论：若干个非负数（绝对值、平方）相加和为0，则每一项均为0。 例：，由非负性得，即。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值非负性综合求值（基础压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 题型模版 1.多个绝对值相加、绝对值+平方相加等于0，求代数式的值、参数取值。 2.解题技巧：绝对值、平方、算术平方根均具有非负性，几个非负数相加为0 ⟺ 每一项单独等于0。 【变式1-1】．已知，则的值为________． 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知，则的值为________． 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 题型二、含参绝对值方程（易错压轴） 【典例2】．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段检测）阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【变式2-1】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【变式2-2】．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 【变式2-3】．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题. 例：解绝对值方程：. 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是. 原方程的解为或. （1）依例题的解法，方程算的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：. 题型三、限定范围绝对值化简 【典例3】．已知，对多项式任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含有减法运算，称这种操作为“绝对操作”．例如：，等．下列说法： ①至少存在一种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式之和为0； ③若只添加两个绝对值，化简所有可能的“绝对操作”共有5种不同的结果． 其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 题型模版 1. 给出数轴上字母位置或未知数取值范围，判断正负后去绝对值化简。 2. 已知取值范围化简；无取值范围时，需分段讨论去绝对值符号 【变式3-1】．在式子（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择m，n进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y，n进行第二轮“绝对操作”，得到，……，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有________种不同的结果；若对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有________种不同的结果． 【变式3-2】．已知a+b+c＝0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简： （1）＝　 　，＝　 　； （2）b　 　0（用＜、＞或＝填写） （3）求出的值． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 题型四、绝对值距离最值压轴（期末高频大题） 【典例4】．（25-26七年级上·安徽·阶段检测）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式4-1】．如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【变式4-2】．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段检测）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【变式4-3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 题型五、数轴动点+绝对值综合压轴（期末最难题型） 【典例5】．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 题型模版 1. 根据运动方向、速度、时间，用含t的式子表示动点对应的数； 2. 将两点距离转化为绝对值表达式； 3. 利用零点分段法或数形结合法求解等量关系、最值、取值范围问题。 【变式5-1】．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【变式5-2】．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段检测）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【变式5-3】．数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)___________，___________，线段___________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请在数轴上找一点，使，则点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点在线段上，动点从点出发，以个单位长度秒速度由向的方向运动；同一时刻，另一动点从点出发，以个单位长度秒速度向正方向运动，设动点的运动时间为秒，当动点、两点相距为个单位长度时，求此时的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，则的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 2．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．下列几种说法中不正确的有（    ）个 ①几个有理数相乘，若负因数为奇数个则积为非正数；②如果两个数互为相反数，则它们的商为；③数的倒数是；④一个数的绝对值一定不小于这个数；⑤一定是负数；⑥在数轴上和表示的点的距离等于4的点所表示的数是． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，如果，则______，______． 7．若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，则值为_______ 8．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为___________； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为___________． 9．若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为________． （2）A的最小值为________． 三、解答题 10．若，， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 11．已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 12．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 13．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 14．学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作是数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或． (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值综合压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值非负性综合求值（基础压轴） 题型二、含参绝对值方程（易错压轴） 题型三、限定范围绝对值化简 题型四、绝对值距离最值压轴（期末高频大题） 题型五、数轴动点+绝对值综合压轴（期末最难题型） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 通法1：零点分段法（多层绝对值化简首选） 适用场景：两个及以上绝对值嵌套的化简、求值、取值范围问题，是七年级绝对值大题核心方法。 标准操作步骤： 1. 找零点：令所有绝对值内部代数式=0，解出分界点； 2. 分区间：将所有零点从小到大排序，把数轴分成若干互不重叠的区间； 3. 定符号：判断每个区间内，绝对值内式子的正负性； 4. 去符号：根据正负去掉绝对值，化简合并式子。 经典例题示范：化简 解：零点为，将数轴分为三段： ① 当时，，原式； ② 当时，，原式； ③ 当时，，原式。 通法2：数形结合法（距离最值秒杀技巧） 无需繁琐分段计算，依托数轴几何意义直接判最值，压轴题提速神器。 1. 双零点和模型：，，当在之间（含端点）时，距离和最小，最小值为； 2. 奇数个零点和模型：，取中间零点时，距离和最小； 3. 差值模型：，存在固定最大值和最小值，可通过数轴区间快速判定。 通法3：分类讨论法（含参数、方程压轴专用） 适用含字母参数、绝对值方程、绝对值不等式题型，核心原则：不重不漏、按区间分类，根据绝对值内部式子的正负性划分讨论范围。 通法4：非负性整体法（必考隐藏考点） 核心结论：若干个非负数（绝对值、平方）相加和为0，则每一项均为0。 例：，由非负性得，即。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值非负性综合求值（基础压轴） 【典例1】．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段检测）若，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了绝对值的非负性和非负数的性质、求代数式的值．根据绝对值的非负性和非负数的性质得到，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 题型模版 1.多个绝对值相加、绝对值+平方相加等于0，求代数式的值、参数取值。 2.解题技巧 绝对值、平方、算术平方根均具有非负性，几个非负数相加为0 ⟺ 每一项单独等于0。 【变式1-1】．已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每个部分必须为零，求出、的值，代入所求代数式计算即可得出结果，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知，则的值为________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性， 根据几个非负数的和为零，则每个非负数都为零求出字母的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵ ∴ 解得：， 所以． 故答案为：9． 【变式1-3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 题型二、含参绝对值方程（易错压轴） 【典例2】．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段检测）阅读下面例题的解题方法． 解方程：． 解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， 所以原方程的解是或． 请仿照上面例题的解题方法，解方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值方程 【分析】根据阅读材料的解题过程结合绝对值的意义即可求解． 【详解】解：根据绝对值的意义，原方程可化为 或． 解方程得， 解方程得， ∴原方程的解是或． 【点睛】本题考查了绝对值方程的解答方法，读懂阅读材料，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【变式2-1】．（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 【变式2-2】．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或 根据以上材料 (1)解绝对值方程； (2)解绝对值方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）①当时， 原方程可化为：，解得： ②当时， 原方程可化为：，原方程无解， ③当时， 原方程可化为：，解得： 所以原方程的解为或． 【变式2-3】．先阅读下列的解题过程，然后回答下列问题. 例：解绝对值方程：. 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是. 原方程的解为或. （1）依例题的解法，方程算的解是_______； （2）尝试解绝对值方程：； （3）在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：. 【答案】（1）x=6或x=-6；（2）x=5或x=-1；（3）x=0或x=3. 【详解】(1)分两种情况：①当时，原方程可化为，它的解是x=6； ②当时，原方程可化为，它的解是x=-6. ∴原方程的解为x=6或x=-6. (2)①当时，原方程可化为2（x-2）=6，它的解是x=5； ②当时，原方程可化为-2（x-2）=6，它的解是x=-1； ∴原方程的解为x=5或x=-1. (3)①当时，原方程可化为2-x+1-x=3，它的解是x=0； ②当时，原方程可化为2-x+x-1=3，此时方程无解； ③当x＞2时，原方程可化为x-2+x-1=3，它的解是x=3； ∴原方程的解为x=0或x=3. 【点睛】此题考查含有绝对值符号的一元一次方程的解法，先根据未知数的取值范围去掉绝对值符号得到方程，依次解方程即可得到原方程的解. 题型三、限定范围绝对值化简 【典例3】．已知，对多项式任意添加绝对值运算(不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况)后仍只含有减法运算，称这种操作为“绝对操作”．例如：，等．下列说法： ①至少存在一种“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式相等； ②不存在任何“绝对操作”，使其化简的结果与原多项式之和为0； ③若只添加两个绝对值，化简所有可能的“绝对操作”共有5种不同的结果． 其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：,故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为，需出现 显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负号，故说法②正确， ， ， ， ，与第2种相同，舍去， 共有4种不同运算结果，故说法③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据所给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 题型模版 1. 给出数轴上字母位置或未知数取值范围，判断正负后去绝对值化简。 2. 已知取值范围化简；无取值范围时，需分段讨论去绝对值符号 【变式3-1】．在式子（其中）中，任选两个字母，在两侧加绝对值后再去掉绝对值并化简（不改变字母的位置），称为第一轮“绝对操作”．例如，选择m，n进行第一轮“绝对操作”，得到，再对第一轮“绝对操作”后得到的式子进行同样的操作，称为第二轮“绝对操作”，例如，选择y，n进行第二轮“绝对操作”，得到，……，按此方法，进行轮“绝对操作”．对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有________种不同的结果；若对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母，则有________种不同的结果． 【答案】 5 5 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查化简绝对值，根据新定义，结合绝对值的意义，进行分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的结果均为； ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故对原式子进行第一轮“绝对操作”后，则有5种不同的结果； 当对原式子进行三轮“绝对操作”，且每轮操作中绝对值里只含两个字母时： 第一轮操作：， 或， ， 即第一轮操作，有3种不同的结果，，，， 第二轮操作，对于，仍有3种结果，为：，，， 对于：， ， 对于：， 或， ， 故第二轮操作后，共有：，，，四种结果； 第三轮操作，对于，，，最终结果仍为4种， 对于：， ， ， 故三轮操作后，共有，，，，，5种结果； 故答案为：5，5． 【变式3-2】．已知a+b+c＝0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简： （1）＝　 　，＝　 　； （2）b　 　0（用＜、＞或＝填写） （3）求出的值． 【答案】（1）1，﹣1；（2）＞；(3)1. 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】（1）根据即可求出答案． （2）根据|a|＜|c|可知由于a+b+c＝0，所以b＞0． （3）由于a+b+c＝0，所以代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵a＞0， ∴ ∵c＜0， ∴ （2）∵|a|＜|c|， ∴ ∴ （3）原式 ＝1， 故答案为（1）1，﹣1；（2）＞； 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解绝对值的意义，本题属于基础题型． 【变式3-3】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 题型四、绝对值距离最值压轴（期末高频大题） 【典例4】．（25-26七年级上·安徽·阶段检测）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和1为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值． 以和1为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可． 【详解】解：如图， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，取得最小值， 所以当取得最小值时，的取值范围是． 故选：B． 【变式4-1】．如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 【变式4-2】．（23-24七年级上·安徽宣城·阶段检测）同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【变式4-3】．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）[阅读材料]的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．例如：可以看成数轴上表示数2的点与表示数1的点之间的距离，所以． (1)的几何意义是表示数x的点与表示数________的点之间的距离； (2)（ⅰ）若，求x的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ）3 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）（ⅰ）根据绝对值的意义得到数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3，进行求解即可； （ⅱ）根据绝对值的意义，得到当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：的几何意义是表示数x的点与表示数的点之间的距离； （2）（ⅰ）由题意，表示数轴上表示数的点到表示数的点的距离为3， ∴或； （ⅱ）表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点之间的距离之和， ∴当表示数的点在表示数和数1的点之间时，的值最小，为表示数和数1的点之间距离，即． 题型五、数轴动点+绝对值综合压轴（期末最难题型） 【典例5】．（23-24七年级上·安徽六安·期末）结合数轴、绝对值和方程的知识回答下列问题： 数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (1)如果表示数和的两点之间的距离是，那么可列方程为，则_____； (2)若数轴上表示数的点位于表示与的两点之间，则_____； (3)如果点表示、点表示、点表示，点从出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右运动，运动时间为秒，在一段时间内的值不变，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或； (2)； (3)当时，的值不变． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）解：∵， ∴所求式子的值为数表示的点到表示的点与到表示的点的距离之和，即为表示的点到表示的点的距离， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意可知，当点在线段上运动时，的值不变, 点从点运动到点的时间为秒， 点从点运动到点的时间为秒， ∴当时，的值不变． 题型模版 1. 根据运动方向、速度、时间，用含t的式子表示动点对应的数； 2. 将两点距离转化为绝对值表达式； 3. 利用零点分段法或数形结合法求解等量关系、最值、取值范围问题。 【变式5-1】．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 【变式5-2】．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段检测）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)，9 (2)4 (3)能，需要294秒 【详解】（1）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，9． （2）解：Q处于：； ∴7秒后动点Q所在的位置是4； （3）解：设需要第次到达点，则， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 即需要294秒． 【变式5-3】．数轴上两点对应的数分别为，且满足． (1)___________，___________，线段___________； (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请在数轴上找一点，使，则点表示的数是多少？ (3)在（2）的条件下，若点在线段上，动点从点出发，以个单位长度秒速度由向的方向运动；同一时刻，另一动点从点出发，以个单位长度秒速度向正方向运动，设动点的运动时间为秒，当动点、两点相距为个单位长度时，求此时的值． 【答案】(1)；15；24 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵数轴上两点A，B对应的数分别为a，b， ∴ 故答案为：；15；24 （2）解：设点表示的数是， 当点在点的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点在点，之间时，此时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，C点表示的数是或； （3）解：由（2）得：C点表示的数是， 根据题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵动点P、Q两点相距为4个单位长度， ∴或， 解得：或， 即当动点P、Q两点相距为个单位长度时，此时t的值为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，则的值是（    ） A． B．7 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，即几个非负数的和为零，则每个非负数均为零． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零则每个部分必为零，从而求出 m和n的值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 3．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，错误，例如，但； ②若，则，错误，例如，但； ③若，则，错误，例如，但； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤正确， 一定正确的有④⑤，共2个， 故选：B． 4．下列几种说法中不正确的有（    ）个 ①几个有理数相乘，若负因数为奇数个则积为非正数；②如果两个数互为相反数，则它们的商为；③数的倒数是；④一个数的绝对值一定不小于这个数；⑤一定是负数；⑥在数轴上和表示的点的距离等于4的点所表示的数是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查有理数的相关概念，包括乘法、相反数、倒数、绝对值和数轴距离，需逐一判断每个说法的正确性，并统计错误个数． 【详解】①几个有理数相乘，负因数为奇数个时，积为负或零（含零），均为非正数，原说法正确； ②两个数互为相反数（如0和0），商不存在，原说法错误； ③数a的倒数为，但当时无意义，原说法错误； ④绝对值定义保证恒成立，原说法正确； ⑤不一定是负数（如a为负或0时），原说法错误； ⑥距离为4的点有1和，说法遗漏1，原说法错误； ②③⑤⑥共4个错误． 故选：D． 5．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质，不等式的性质等知识．关键是利用好数轴来判断两个数的大小． 根据，，的大小，进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得，，，，， A、，所以，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意． D、，所以，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．已知，如果，则______，______． 【答案】 6 2或0/0或2 【分析】本题主要考查了绝对值、代数式求值等知识，理解并掌握绝对值的性质是解题关键．根据题意可知或，，然后分别代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴或，， ∴， 当时，， 当时，． 故答案为：6，2或0． 7．若非零且互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，则值为_______ 【答案】4 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值的性质以及代数式求值．用到了分类讨论的思想，解题关键是根据已知条件准确求出、、、的值，易错点是忽略m的两种取值情况，导致漏解． 首先根据a、b非零且互为相反数，得出和；再由c、d互为倒数，得到；接着因为m的绝对值为2，所以，进而求出．然后，分和两种情况，将上述求出的值代入代数式中进行计算，最终得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，，或， 当时： 当时： 综上，的值为． 故答案为：4． 8．对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对关系值”为d．例如：，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）2和关于2的“相对关系值”为___________； （2）若m和n关于2的“相对关系值”为2，则的最大值为___________． 【答案】 7 6 【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可； （2）根据“相对关系值”的定义列出关于的方程，根据绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得，． 故答案为：7． （2）由题意得，． 根据绝对值的几何意义：点到2的距离之和为2， 所以当所表示的数同为大于及等于2的时候，取最大值， 当， 解得：， 则， 解得：或（舍去） 的最大值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义是解决本题的关键． 9．若x为有理数，已知． （1）当时，A的值为________． （2）A的最小值为________． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握绝对值定义，求绝对值，是解题的关键． （1）把代入计算即得； （2）分类讨论x的取值范围，当时，；当时，；当时，，即可得A的最小值． 【详解】解：（1）当时， ； 故答案为：7； （2）当时， ； 当时，； 当时，． ∴当时，A的值最小，最小值为5． 故答案为：5 ． 三、解答题 10．若，， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)1或7 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的加减运算，求代数式的值． （1）根据绝对值的定义结合可得或，再分情况计算有理数的加法即可； （2）根据绝对值的意义可得或，再分情况计算有理数的减法即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以或， 当时，， 当时，； 所以的值是1或； （2）解：因为， 所以， 所以或， 当时，， 当时，； 所以的值是1或7． 11．已知，，在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)填空：______，______； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，绝对值的非负性． （1）由数轴可知，进而判断即可； （2）根据绝对值的非负性作答即可； （3）根据得到，进而根据绝对值的非负性化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 12．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示、在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离； ，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上， 数轴上、两点对应的数分别为、， 且、两点之间的距离可以表示为， 则（或）． (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，若，则 ； (2)的最小值是 ；当 时的最小值是 ； (3)求的最小值． 【答案】(1)，或 (2)，， (3)的最小值为． 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值方程，绝对值的几何意义． （1）根据阅读材料，即可得数轴上表示和的两点之间的距离，由， 可得或，即可得的值； （2）根据绝对值的几何意义，求解即可； （3），，，，，，共个数，中间两个数为和，根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，取，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：，或． （2）解：∵表示数轴上点到点和点的距离之和， 当点在点和点之间时取得最小值， 的最小值是， ∵表示数轴上点到点、点和点的距离之和， 当点在中间点处时取得最小值， ∴当时,的最小值是． 故答案为：，，． （3）解：，共个数，中间两个数为和， 根据绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值， 当时， ， ∴的最小值为． 13．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用“”来表示．或指数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)如图，数轴上表示数3和数1的两个点之间的距离是_______；表示数3和数的两个点之间的距离是_______，数x与数表示的两个点之间的距离是_______． (2)如果x表示一个有理数，则时，_______． (3)如果x表示一个有理数，那么是否存在最小值，若存在，请求出最小值，并写出x的范围．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)存在，， 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的知识，利用绝对值的几何意义求解是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，数和数的两个点之间的距离为，数和的两个点之间的距离为，数与数的两个点之间的距离为； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和，分三种情况讨论即可； （3）根据（2）可知，当数位于数和数之间时，的值最小，求出取值范围即可； 【详解】（1）数和数的两个点之间的距离为； 数和的两个点之间的距离为； 数与数的两个点之间的距离为； 故答案是：；；； （2）表示数轴上表示的点分别到数与数表示的两个点的距离和为， 当数位于数的右边，则， ， ， ； 当数位于数的左边，则， ， ， ； 当数位于数和数的中间，则， ，舍去； 故答案是：或； （3）存在，理由如下： 当数位于数的右边，即，则， ； 当数位于数的左边，即，则， ， 当数位于数和数上及中间，即，则， ； 当时，有最小值． 14．学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作是数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或． (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，． 【答案】(1)或，或 (2)①，；②或 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或， 解得或； 故答案为：或；或． （2）解：①∵点在数轴上表示的数是，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； ∵点在数轴上表示的数是7，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； 故答案为：，； ②∵线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动， 点在数轴上表示的数是；点在数轴上表示的数是7； 故运动时间为秒时， 点在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∵， ∴根据题意列一元一次方程得，， 整理，得， 故或， 解得或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $