微专题 规范使用集合的表示方法 讲义-【沪教版】2026-2027学年高一上学期数学教材解读与拓展

本讲义聚焦高中数学集合表示方法这一核心知识点，系统梳理列举法、描述法等常用方法，结合集合相等、有限集与无限集等概念，搭建从自然语言、图形语言到符号语言的转化支架，为高中数学学习奠定基础。 资料通过7大题型分层训练（如自然语言表示集合、列举法与描述法灵活应用等），突出易错点辨析（如点集与数集区别），以例题解析引导学生经历数学抽象过程，培养规范的数学语言表达能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

【原卷版】 微专题 规范使用集合的表示方法 学会选择合适的方法表示集合，掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法；理解集合的相等、有限集、无限集等概念；在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养； 集合知识是整个高中学习的基础，掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用与集合的表示方法等。在更好的理解数学中的集合语言，逐步运用集合的观点和思想分析数学问题； 集合常用的表示方法，主要有列举法和描述法两种； 1、把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法； 2、用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法，记作，其中为集合的代表元素，I表示元素的取值范围，表示集合的元素所具有的共同特征； 其他的还有：自然语言法，文氏图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 题型1 用自然语言表示集合 例1、在平面内，到点的距离等于8的点的集合是 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 题型2 用列举法表示集合 例2、用列举法表示集合_________. 【说明】本题考查了常用数集或数集关系应用、列举法表示集合； 例3、方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 题型3 用描述法表示集合 例4、集合用描述法可表示为（     ） A． B． C． D． 例5、下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 题型4 集合表示方法的灵活应用 例6、由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为____________． 例7、用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于小于12.8的整数的全体； （3）所有能被3整除的数的集合； （4）方程的解集； （5）不等式的解集； （6）抛物线上的点组成的集合． 题型5 集合表示方法的综合应用 例8、已知集合，，且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 例9、对正整数，记. （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； 题型6 已知集合中元素个数求参数 例10、已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围 例11、设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 题型7 注意混淆点集与数集致误 例12、已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 1、用列举法表示集合时要注意以下几点：（1）元素之间必须用逗号隔开；（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜；列举法常用来表示有限集或有规律的无限集； 2、用描述法表示集合时要注意以下几点：（1）写清集合中的代表元素，如：实数或有序实数对，从而正确表示数集和点集；（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征；（3）不能出现未被说明的字母，如集合中的未被说明，应正确表示为或;（4）元素的取值范围，从上、下文来看，如果是明确的，可以省略；如集合，也可以写作；（5）出现多层描述时，应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词；（6）所有描述的内容都要写在大括号内；（7）识别描述法表示的集合时，要看清代表元素，正确区分数集和点集；当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时，适合用描述法来表示集合； 3、注意1个易错点——点集与数集的区别： 处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集； 1、用列举法表示集合，正确的是（ ） A．， B． C． D． 2、已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3、已知集合，则中元素的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 4、已知集合，1，2，3，，，，，则中所含元素的个数为（     ） A．5 B．6 C．10 D．15 5、集合用列举法可表示为 6、已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 7、已知，，定义集合A、B间的运算，则集合 8、给出下列说法: ①在平面直角坐标系中，第一、三象限的点的集合为; ②方程的解集为; ③集合与是相等的. 其中正确的说法有_________（填序号）. 9、用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值不大于2的所有整数；（2）方程组的解；（3）函数图象上的所有点； 10、用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； （2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； （4）由所有正整数构成的集合． 11、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 12、用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 【解析版】 微专题 规范使用集合的表示方法 学会选择合适的方法表示集合，掌握集合的常用表示方法：列举法和描述法；理解集合的相等、有限集、无限集等概念；在集合表示方法的选择中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养； 集合知识是整个高中学习的基础，掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用与集合的表示方法等。在更好的理解数学中的集合语言，逐步运用集合的观点和思想分析数学问题； 集合常用的表示方法，主要有列举法和描述法两种； 1、把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法； 2、用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法，记作，其中为集合的代表元素，I表示元素的取值范围，表示集合的元素所具有的共同特征； 其他的还有：自然语言法，文氏图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。 题型1 用自然语言表示集合 例1、在平面内，到点的距离等于8的点的集合是 【提示】根据圆的定义求解； 【答案】以点为圆心，以8为半径的圆； 【解析】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆. 故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆； 【说明】本题考查了用自然语言表示集合； 题型2 用列举法表示集合 例2、用列举法表示集合_________. 【提示】由题意可得或，解之即可求解； 【答案】； 【解析】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为：； 【说明】本题考查了常用数集或数集关系应用、列举法表示集合； 例3、方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为； 【说明】本题考查了列举法表示集合、方程组的解集； 1、用列举法表示集合应注意的两点：（1）应先弄清集合中的元素是什么．是数，是点，还是其他元素； （2）若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 2、用列举法表示集合的三个步骤：（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来，且各元素之间用“，”隔开； 题型3 用描述法表示集合 例4、集合用描述法可表示为（     ） A． B． C． D． 【提示】集合表示所有的正奇数组成的集合，令，即可得出正确选项； 【答案】C； 【解析】集合表示所有的正奇数组成的集合，令，可以排除ABD， 故选：C； 【说明】本题用列举法表示集合，主要考查了用描述法表示集合； 例5、下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 【答案】D； 【解析】A. 第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R},故A不正确； B. 不等式x－1<4的解集为，故B不正确； C. {全体整数}不用大括号即可，故C不正确； D. 实数集可表示为R，正确. 故选D； 【说明】本题考查了描述法表示集合、自然语言表示集合； 1、用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素； 2、若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围； 题型4 集合表示方法的灵活应用 例6、由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为____________，用描述法表示为____________． 【提示】确定大于小于5的自然数有哪几个数，根据集合的表示方法，即可得答案； 【答案】；； 【解析】大于小于5的自然数有， 故由大于小于5的自然数组成的集合用列举法表示为， 用描述法表示为， 故答案为：；. 【说明】本题考查了列举法表示集合、描述法表示集合； 例7、用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于小于12.8的整数的全体； （3）所有能被3整除的数的集合； （4）方程的解集； （5）不等式的解集； （6）抛物线上的点组成的集合． 【提示】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【答案】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【解析】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 【说明】本题考查描述法表示集合、列举法表示集合、自然语言表示集合的灵活运用； 题型5 集合表示方法的综合应用 例8、已知集合，，且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【提示】由题意知集合表示奇数集，集合表示偶数集，然后奇偶数的运算性质分析判断即可； 【答案】D； 【解析】因为集合表示奇数集，集合表示偶数集， 所以是奇数，是偶数， 所以为奇数，为偶数，为偶数，为偶数， 所以ABC正确，D错误. 故选：D 【说明】本题主要考查了理解集合的表示，判断元素与集合的关系； 例9、对正整数，记. （1）用列举法表示集合； （2）求集合中元素的个数； 【提示】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数； 【答案】（1）; （2）46； 【解析】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 【说明】本题考查了列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数； 题型6 已知集合中元素个数求参数 例10、已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围 【提示】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可； 【答案】； 【解析】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：； 【说明】本题考查了根据集合中元素的个数求参数；根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法； 例11、设集合，，已知且，则a的取值集合为_________. 【提示】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解； 【答案】； 【解析】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据元素与集合的关系求参数；解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果； 题型7 注意混淆点集与数集致误 例12、已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 【提示】（1）根据三个集合的代表元素的性质进行判断即可； （2）根据三个集合的代表元素的运算性质、属性特征进行判断即可； 【答案】（1）它们是互不相同的集合 ；（2）答案见解析； 【解析】（1）因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合． （2）它们各自的含义列表如下： 集合 代表 元素 集合含义 函数的自变量的取值组成集合，该集合为 函数的函数值的取值组成的集合，该集合为 函数的图像上所有点组成的集合，该集合为点集 【说明】本题考查自然语言表示集合与集合表示的多样性； 易错原因 纠错心得 没弄清描述法中代表元素是数还是点，导致错选． 首先要明确集合中元素的属性，即把握住集合的代表元素是什么，然后明确元素具有怎样的共同特征． 1、用列举法表示集合时要注意以下几点：（1）元素之间必须用逗号隔开；（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜；列举法常用来表示有限集或有规律的无限集； 2、用描述法表示集合时要注意以下几点：（1）写清集合中的代表元素，如：实数或有序实数对，从而正确表示数集和点集；（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征；（3）不能出现未被说明的字母，如集合中的未被说明，应正确表示为或;（4）元素的取值范围，从上、下文来看，如果是明确的，可以省略；如集合，也可以写作；（5）出现多层描述时，应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词；（6）所有描述的内容都要写在大括号内；（7）识别描述法表示的集合时，要看清代表元素，正确区分数集和点集；当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时，适合用描述法来表示集合； 3、注意1个易错点——点集与数集的区别： 处理描述法给出的集合问题时，首先要明确集合的代表元素，特别要分清数集和点集； 1、用列举法表示集合，正确的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程组，可得或，故答案为 故选B； 2、已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】集合，共有4个元素，故选B. 3、已知集合，则中元素的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解析】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 4、已知集合，1，2，3，，，，，则中所含元素的个数为（     ） A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】D 【解析】因为，，，所以分以下五种情况： ①，有四个，，，，， ②，有三个，，，， ③，有两个，，， ④，有一个， ⑤，有五个，，，，，， 则中所含元素的个数为15， 故选：D. 5、集合用列举法可表示为 【答案】{1，2，4，8} 【解析】因为集合， 故x-1为8的正约数，即x-1的值可以为1，2，4，8， 所以x可以为2，3，5，9,相应的y值为8,4,2,1 故用列举法表示集合为{1，2，4，8}. 故答案为：{1，2，4，8} 6、已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 【答案】且 【解析】集合A有两个元素，所以，解得且. 故答案为：且. 7、已知，，定义集合A、B间的运算，则集合 【答案】 【解析】由题意知：. 8、给出下列说法: ①在平面直角坐标系中，第一、三象限的点的集合为; ②方程的解集为; ③集合与是相等的. 其中正确的说法有_________（填序号）. 【答案】① 【解析】因为第一、三象限的点的横坐标与纵坐标同号，所有①说法正确; 方程为二元方程,其解要写成有序实数对的形式，即解集为，所以②说法错误； 集合为点集,它是由直线上所有点的坐标构成的集合;集合是数集，它是由满足函数解析式的所有自变量的值构成的集合,所以=R，故③说法错误； 综上，正确的说法有①； 9、用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值不大于2的所有整数；（2）方程组的解；（3）函数图象上的所有点； 【提示】理解列举法与描述法的定义与恰当表示； 【解析】（1）描述法:,列举法:（选择一种方法表示即可）; （2）解方程组得:，∴方程组的解集用列举法表示为,用描述法表示为; （3）. 10、用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数组成的集合； （2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； （4）由所有正整数构成的集合． 【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}． 【解析】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0，2，4，6，8，10}． （2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}． （3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． （4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}． 11、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【解析】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 12、用适当的方法表示下列集合． （1）方程组的解集； （2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合． 【答案】（1）{（4，﹣2）}；（2）{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}；（3）{（x，y）|x＜0且y＞0}；（4）{三角形}． 【解析】（1）解方程组，得，故解集为{（4，﹣2）}； （2）集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈且x＜1000}． （3）集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0} （4）集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}． 第11页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $