重难点06 基本不等式求最值的18种常用方法讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 基本不等式求最值的18种常用方法 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点2：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点3：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点4：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立． 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立． 模型四：，当且仅当时等号成立． 模块一 核心题型 题型01：基本不等式知识强化 1.设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 【答案】①② 【解析】由a2＋b2≥2ab可判断①②正确；取特殊值可判断③④错误. 【解析】对于①，由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令a＝1，b＝－1可知④不正确． 故答案为：①②. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ） A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 【答案】B 【解析】因为0<a<b，所以由基本不等式得<， 且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故选B. 3．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【解析】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 4.下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 题型02：基本不等式直接应用 5，如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据基本不等式等号成立的条件即可求解. 【解析】由于，故，当且仅当，即时取等号， 故选：B 6.不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 【答案】B 【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即. 故选：B. 7.设a>0，则的最小值为（       ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据基本不等式可求解. 【详解】，，当且仅当a=2时取等号， 所以的最小值为5.故选：D. 8.已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 9.已知，，若，则的最小值为（       ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 则，即最小值为4.故选：A. 题型03：常规配凑项法求最值 10.已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项， ， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 11.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________． 解：因为x>2，所以x－2>0，则 f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号． 所以当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. 12.已知函数最小值为，则____________． 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为，所以， 因为函数最小值为， 所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意， 故答案为：. 13.若且,求的最小值 . 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用+b来解决.换个思路，可考虑将重新组合，变成，而等于定值，于是就可以利用均值不等式了. 题型04：常规配凑系法求最值 14.当时，求的最小值为___________. 【详解】当时，， 当且仅当,即时等号成立. ∴的最小值为10. 故答案为：10. 15.已知，则的最大值为（ ） A．    B．0    C．4    D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 16..函数的最小值为_______. 【详解】因为，所以 ，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故答案为： 17.当时，求的最大值。 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。 18.设，求函数的最大值。 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 题型05：常数代换法（乘“1”法） 19.若、，且，则的最小值为（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立. 故选：A. 20.已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立，故选：A. 21.已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A 22.已知、均为正实数，且，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化，结合均值不等式，即可得解. 【详解】均为正实数，且，则 当且仅当时取等号.的最小值为20.故选：C. 23．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 24.已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（       ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由对任意的恒成立，得，再根据结合基本不等式求得即可得出答案. 【详解】解：由对任意的恒成立，得即， ， 当且仅当，即时，等号成立，即， ，解得：或. 故选：B. 25.若，，且，则的最小值为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可将化为，结合结合基本不等式即可得出答案. 【解析】解：若，，且， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立．故选：B． 26.若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值. 【解析】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 27.已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【解析】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8.故选：C 28.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 题型06：常数代换法（“1”的代换） 29．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 30.已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 31.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可. 【解析】由已知条件得，， 当且仅当，即，时取等号， ∴ 的最小值为6；故选：B. 32.已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【解析】因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为.故选：B. 33.已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用“1”的代换把已知化为，然后利用三元的基本不等式求解即可. 【解析】因为，所以 ，当且仅当时，等号成立. 故选：D 题型07：分离常数法 34.若，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故，的最小值为6． 故选：C． 35.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B 36.求的值域。 解析：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 37.函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵ ，∴， ∴ ， ，[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK] 当且仅当，即时，取等号． 【例】求函数的值域. 解：可将上式转化为 所以值域为： 38.若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【解】 39.已知，则的最小值为___________. 方法一： 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 方法二：令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 题型08：消元法 40.若正数满足，则的最小值是___________. 【详解】由，可得. 又，所以(当且仅当时等号成立). 故答案为： 41.已知实数满足，则的最小值为___________. 【详解】由，得， 所以，，当且仅当 时取等号. 故答案为：. 42.已知，若，则的最大值为_______． 【详解】由条件可知，则， ，， ，设， ， 当，即时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为： 43.设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为 （　　） A．0 B． C．2 D． 【解析】由题设知，解得， 当且仅当时取等号，. ，故选C. 44.设为正实数，，则的最小值是_______. 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得，则可对进行消元，用表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 题型09：换元法 45.求的值域。 解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 46.求函数的最大值. 分析 可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 47.已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 解：设， 可得，解得， .当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：A. 49.实数a，b满足，，，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C． D． 【详解】令，，则，，且，，， 所以， 当且仅当时取等号. 故选：D. 50.已知正实数、满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为正实数、满足，则，由可得， 所以， . 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值是. 故答案为：. 51．已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 【答案】1 【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：1 52.已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A【详解】由题意，可知，且，则， 则， 当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A. 题型10：构造不等式法 53.已知，则的最大值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，从而可求得答案. 【详解】解：因为，所以， 即，则， 所以，又，所以，所以最大为3. 故选：C. 54.设，，，则ab的最小值是（       ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可. 【详解】∵，， ∴， 令， 则，即， 解得， ∴，当且仅当时，等号成立. 故选：D 55.若， 且， 则的最小值为（    ） A．100 B．81 C．64 D．49 【答案】A 【分析】根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，即，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故选：A 56已知正实数，满足，则的最小值是___________. 【答案】8 【详解】,, ,当且仅当，即时等号成立， 即，整理得， 解得或（舍去），故的最小值为8， 故答案为：8 题型10：和、积、平方和互化 57.已知，且，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．7 D．6 解：, ,当且仅当，即时等号成立， 解得或（舍去），的最小值为6故选：D 58.已知正数满足，试求、的范围。 解法：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。 又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是 59.若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用均值不等式即可得解. 【解析】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 60.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围． 【详解】解：，又，，令， 则，，即，当且仅当时，取等号， 的取值范围是，．故选：A． 61.若正实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式有， 令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题意，正实数满足，则， 令，可得，即，解得，或(舍去)， 所以当且仅当时，取得最小值2， 故选：B. 62.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值. 解：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2 令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 ∴≤3，ab≤18，∴y≥ 63.已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________． 解：因为，且， 所以，（当且仅当时，取等号） 即，解得，所以得， 所以的最大值是.此时，.故答案为：18. 64.已知，且，则的最小值为___________． 【详解】由，得， 又，， ，即， 解得：或， 又，，当且仅当，即时取等号． 故答案为：6． 模块二 拓展题型 题型12：因式分解型 65.若且，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，化简，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 所以的最小值为，故选：C. 66.若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 题型12：齐次化 67.已知为正实数，则的最小值为__________． 【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等. 所以的最小值为6. 故答案为：6 68.已知实数，若，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D．8 【答案】A 【解析】由，，， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为：12， 故选：A. 69.已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________． 【答案】/0.25 【解析】由，得， ∵正实数a，b，c ∴则 则， 当且仅当，且a，b>0，即a=3b时，等号成立 则 所以，的最大值为. 故答案为：. 题型14：万能“K”法 70.已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：设，则， ∴ ∴整理得：， 由得 ，当且仅当时取“=”. ∴， 解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A. 71.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由，利用基本不等式求出的取值范围， 即可求解. 【详解】，，令， ，，当且仅当时取等号，可得， ，，，，的最小值为.故选：A 72.已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案. 详解：设，则，       ，即 整理得：当且仅当       当且仅当时取.       解得或（舍去）       即当时，取得最小值8.故选C. 题型15：待定系数法 73.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，得， 所以， 记，所以， 所以，且， 所以 ，当且仅当即等号成立， 此时 ，     .故选：A. 74.已知，，则最小值为 ． 【答案】16 【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可. 【详解】由，可知，， 令，， 所以， ， 当且仅当“”时，两个等号同时成立． 则x=y=3时最小值为16.故答案为：16． 题型16：单调性法 75.求函数的值域。 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 所以，所求函数的值域为。 76.若x、y，求的最小值。 解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。 任取且，则 ， ∵，∴， 则，即在上是减函数。 故当时，在上有最小值5。 解法二：（配方法）因，则有，易知当时， 且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。 解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。 解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。 评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。 题型17：根式型 77．函数的最大值为 【答案】1 【分析】考虑到,故可将转化成,则符合“和为定值”. 【解析】∵,∴,∴ 当且仅当,即时取“＝”号此时1. 78. 若,则的最大值为 . 【答案】6 【分析】此题用“1”去代换的策略显然无法求解,故需另辟蹊径,于是，容易联想到使用无理式常用的变形——平方进行转化.. 【解析】.( 当且仅当，即时，取等号.此时. 79.函数(的最大值为 . 【答案】 【分析】观察所给式子含有根号，比较繁琐，故考虑换元去掉根号，再进行求解. 【解析】设（t>0），则. ∴=≤. 当且仅当,即时取“=”号.故当时，. 题型18：多次运用基本不等式 80.已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因，则， 当且仅当且，即时取“=”， 所以当时，取最小值. 故选：B 81．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为2. 选：D. 82．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 基本不等式求最值的18种常用方法 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点2：几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 知识点3：均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 知识点4：常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立． 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立． 模型四：，当且仅当时等号成立． 模块一 核心题型 题型01：基本不等式知识强化 1.设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ） A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 3．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4.下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 题型02：基本不等式直接应用 5，如果，那么当取得最小值时m的值为（ 　 ） A．－4 B．4 C．8 D．16 6.不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（       ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 7.设a>0，则的最小值为（       ） A． B．2 C．4 D．5 8.已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 9.已知，，若，则的最小值为（       ） A．4 B． C．2 D． 题型03：常规配凑项法求最值 10.已知，求函数的最大值。 11.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________． 12.已知函数最小值为，则____________． 13.若且,求的最小值 . 题型04：常规配凑系法求最值 14.当时，求的最小值为___________. 15.已知，则的最大值为（ ） A．    B．0    C．4    D． 16..函数的最小值为_______. 17.当时，求的最大值。 18.设，求函数的最大值。 题型05：常数代换法（乘“1”法） 19.若、，且，则的最小值为（       ）． A． B． C． D． 20.已知p，q为正实数且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 21.已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 22.已知、均为正实数，且，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 23．已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 24.已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（       ） A． B． C． D．2 25.若，，且，则的最小值为（       ） A．2 B． C． D． 26.若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 27.已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 28.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 题型06：常数代换法（“1”的代换） 29．已知，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D． 30.已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 31.已知a，b为正实数，且，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．7 D． 32.已知，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 33.已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 题型07：分离常数法 34.若，则的最小值为（       ） A．4 B．5 C．6 D．8 35.当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 36.求的值域。 37.函数的最小值是（ ） A． B． C． D． 38.若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 39.已知，则的最小值为___________. 题型08：消元法 40.若正数满足，则的最小值是___________. 41.已知实数满足，则的最小值为___________. 42.已知，若，则的最大值为_______． 43.设正实数满足,则当取得最小值时,的最大值为 （　　） A．0 B． C．2 D． 44.设为正实数，，则的最小值是_______. 题型09：换元法 45.求的值域。 46.求函数的最大值. 47.已知正实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 49.实数a，b满足，，，则的最小值是（ ） A．4 B．6 C． D． 50.已知正实数、满足，则的最小值是 . 51．已知正实数x，y满足，则的最大值为______． 52.已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 题型10：构造不等式法 53.已知，则的最大值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 54.设，，，则ab的最小值是（       ） A．4 B．9 C．16 D．25 55.若， 且， 则的最小值为（    ） A．100 B．81 C．64 D．49 56已知正实数，满足，则的最小值是___________. 题型11：和、积、平方和互化 57.已知，且，则的最小值为（ ） A．4 B．8 C．7 D．6 58.已知正数满足，试求、的范围。 59.若实数满足，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 60.若实数满足，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 61.若正实数，满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 62.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值. 63.已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________． 64.已知，且，则的最小值为___________． 模块二 拓展题型 题型12：因式分解型 65.若且，则的最小值是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 66.若，，且，则的最小值是 . 题型13：齐次化 67.已知为正实数，则的最小值为__________． 68.已知实数，若，则的最小值为（    ） A．12 B． C． D．8 69.已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________． 题型14：万能“K”法 70.已知，若，则的最小值是（       ） A．8 B．7 C．6 D．5 71.已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 72.已知，若，则的最小值是 A． B． C． D． 题型15：待定系数法 73.已知，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 74.已知，，则最小值为 ． 题型16：单调性法 75.求函数的值域。 76.若x、y，求的最小值。 题型17：根式型 77．函数的最大值为 78. 若,则的最大值为 . 79.函数(的最大值为 . 题型18：多次运用基本不等式 80.已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 81．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 82．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $