周练（四）函数的图象、方程及其应用-【高考领航】2027年高考数学总复习四测通关卷

**基本信息** 聚焦函数图象、方程及应用，以题载知，构建从概念理解到实际建模的逻辑链条，培养用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实问题的能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图象与性质|题1,7|图象分析、定义域值域判断|从函数图象直观特征到单调性、极限等性质推导| |方程与零点|题2,4,6,9|零点区间判断、参数范围、解的个数|零点存在性定理→分段函数零点→方程解的数形结合| |实际应用建模|题3,5,8,12|指数模型、物理公式、促销方案|实际问题抽象为函数模型→参数计算→优化决策|

周练(四)　函数的图象、方程及其应用 (时间：45分钟　满分：80分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　) 2．函数f(x)＝ex＋x＋2零点所在的区间是(　　) A．(1，2) B．(－1，0) C．(－3，－2) D．(－2，－1) 3．如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：周)的关系为y＝at(a为常数)，则下列说法中正确的是(　　) A．浮萍每周的面积与上周面积之比不为定值 B．t＝4时，浮萍面积就会超过20 m2 C．浮萍每周增加的面积都相等 D．若浮萍面积为2 m2，3 m2，6 m2时所对应的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 4．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]∪(2，＋∞) B．(－1，1]∪(3，＋∞) C．(－1，1] D．[1，＋∞) 5．已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(单位：m)与速度v(单位：km/h)之间有如下关系式：L＝k·M·v2，其中k是比例系数，且k>0，M是汽车质量(单位：t)．若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走20 m．当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m以外处停车，则最高速度应低于(假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过1 s)(　　) A．16 B．18 C．24 D．27 6．已知函数f(x)＝，如果关于x的方程f(x)＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(0，1) D．(0，1] 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．函数s＝f(t)的图象如图所示(图象与t正半轴无限接近，但永远不相交)，则下列说法正确的是(　　) A．函数s＝f(t)的定义域为[－3，＋∞) B．函数s＝f(t)的值域为(0，5] C．当s∈[1，2]时，有两个不同的t值与之对应 D．当t1，t2∈(0，1)(t1≠t2)时，>0 8．在极端刺激下，物理刺激强度与人类心理感受之间的关系近似满足史蒂文斯幂定律：S＝k·In，其中k为非零常数，n为幂常数，S为主观感觉强度，I为物理刺激强度，I>0.现有如下RPE(主观感觉强度)表： 强度 S1 S2 S3 S4 S5 自我感觉 6－8 9－11 12－14 15－17 18－20 已知在临床条件下k＝，在RPE强度为Si时得到的实际物理刺激强度为Ii，则(　　) A．当n＝2时，I3>I2 B．当n＝2时，2I5≥3I1 C．当n＝3时 D．当n＝4时，I1I2I4>I3I5 答 题 栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 9．已知函数f(x)＝x3－3x2＋2在[2，3]上有一个零点，用二分法求零点的近似值(精确度为0.1)时，至少需要进行________次函数值的计算． 10．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：C＝Wlog2，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．已知当x比较大时，y＝loga(1＋x)(a>1)≈logax，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了____________．(附：lg 2≈0.3010) 四、解答题：本题共2小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(13分)已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx－2m＋5. (1)若函数f(x)在[－1，1]上存在零点，求实数a的取值范围； (2)当m＝1时，若存在x1∈[1，4]，对任意的x2∈[1，4]，都有f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围． 12．(15分)“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130－5×＝130－5×2＝120(元)，其中[x]表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860－5×－40×1＝750(元)． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 周练(四)　函数的图象、方程及其应用 1．B　由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足． 2．C　由单调性的性质易得f(x)＝ex＋x＋2在R上单调递增，又f(－3)＝e-3－3＋2<0，f(－2)＝e-2－2＋2>0，所以f(x)的零点所在的区间是(－3，－2)，故选C. 3．D　由题图可得：函数y＝at过点(1，2)，则2＝a1，解得a＝2，即y＝2t.对于选项A：浮萍每周的面积与上周面积之比为＝2，为定值，故A错误；对于选项B：若t＝4时，则y＝24＝16<20，所以浮萍面积不会超过20 m2，故B错误；对于选项C：第二周比第一周增加y2－y1＝22－21＝2，第三周比第二周增加y3－y2＝23－22＝4，即y2－y1≠y3－y2，所以浮萍每周增加的面积不一定相等，故C错误；对于选项D：由题意可得，2＝，则t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，所以t1＋t2＝log22＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，故D正确． 4．B　函数y＝f(x)－a有且仅有2个零点，则y＝f(x)与y＝a有2个交点，当x>1时，f(x)＝x＋ln x单调递增，f(x)>1；当x≤1时，f(x)＝x2＋2x在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，且f(1)＝3，最小值为f(－1)＝－1，可得函数y＝f(x)的图象，如图所示，利用y＝f(x)，y＝a的图象知a的取值范围是(－1，1]∪(3，＋∞)，故选B. 5．B　设卡车本身的质量为M(t)，速度为v(km/h)，刹车滑行距离为L(m)，依题意可得L＝k·M·v2，将L＝20，v＝36代入可得：20＝k·M·362⇒k·M＝.又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1 s，这1 s内卡车行驶的路程为：(m)．由＋k·2M·v2<20－5⇒·v2<15⇒－3<0，所以(v＋27)(v－18)<0⇒－27<v<18.根据速度的意义，所以0<v<18.所以卡车行驶的速度应低于18 km/h，故选B. 6．A　方程f(x)＝kx2的解的个数就是函数y＝f(x)与函数y＝kx2的交点的个数，作出函数f(x)＝的图象，当x<－2时，f(x)<0且f(x)为减函数，当x>－2时，f(x)≥0，在(－2，0]上，函数单调递减，在[0，＋∞)上，函数单调递增，原点显然是它们的一个交点，如果k<0，则y＝kx2是开口向下的抛物线，与f(x)只能还有一个交点，不符题意，当然k＝0显然不符题意，在k>0时，除原点是交点外，在(0，＋∞)一定有一个交点，那么由题意在(－2，0)上，两函数图象有两个交点，此时方程为＝kx2，即方程＝kx有两个不同的实数解，整理得kx2＋2kx＋1＝0，Δ＝4k2－4k>0，k>1(k<0舍去)，记g(x)＝kx2＋2kx＋1，g(0)＝1>0，g(－2)＝4k－4k＋1＝1>0，又g(x)的对称轴为x＝－1，g(－1)＝1－k<0，所以g(x)＝0在(－2，0)上有两个不等实根．综上，k的范围是(1，＋∞)．故选A． 7．BD　由图象可知：函数s＝f(t)在(－1，0)上没有图象，故定义域不是[－3，＋∞)，故A错误；由图象可知函数s＝f(t)的值域为(0，5]，故B正确；由图象可知，当s＝2时，有3个不同的t值与之对应，故C错误；由图象可知函数s＝f(t)在(0，1)上单调递增，又当t1，t2∈(0，1)(t1≠t2)时，>0，则s＝f(t)在(0，1)上单调递增，故D正确． 8．ABD　对于A选项，S＝I2，则I＝，由S3>S2可知I3>I2，故A正确；对于B选项，注意到I5＝，故I5≥，即2I5≥3I1，故B正确；对于C选项，S＝I3，则3＝，当S2＝11，S4＝17，S3＝12时，3＝>1，可得，故C错误；对于D选项，S＝I4，则4＝>1，可得I1I2I4>I3I5，故D正确． 9．解析：设对区间[2，3]二等分n次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为＝0.25；第3次计算后区间长度为＝0.125；第4次计算后区间长度为＝0.0625<0.1；故至少计算4次． 答案：4 10．解析：根据题意可设技术提升前最大信息传送速率C1，信道带宽W1，信噪比；提升后分别为C2，信道带宽W2，信噪比；且满足C1＝W1log2≈W1log2，C2＝W2log2≈W2log2；易知W2＝1.2W1，所以＝1.2×＝1.2(1＋lg 2)≈1.2×1.301＝1.5612；所以可得C大约增加了56%. 答案：56% 11．解：(1)∵f(x)＝x2－4x＋a＋3的对称轴是x＝2， ∴f(x)在区间[－1，1]上是减函数， 当f(x)在[－1，1]上存在零点，则有即解得－8≤a≤0， 故实数a的取值范围为[－8，0]. (2)由题意可得，当存在x1∈[1，4]，对任意的x2∈[1，4]，都有f(x1)>g(x2)时，等价于f(x)max>g(x)max， 由(1)可知f(x)的对称轴是x＝2，根据二次函数对称性可知f(x)max＝f(4)＝a＋3， 当m＝1时，g(x)＝x＋3，则g(x)max＝g(4)＝7， 故a＋3>7，解得a>4，即a的取值范围为(4，＋∞)． 12．解：(1)分两次支付：支付额为 250－5×＋650－5×－40＝230＋600－40＝790(元)； 一次支付：支付额为900－5×－40×2＝745(元)， 因为745<790，所以一次支付好． (2)设购买x(x∈N*)件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当1≤x≤14时，不能享受每满400元再减40元的优惠， 当1≤x≤14时，y＝＝30－，n∈N*， 当x＝2n时，y＝30－×n＝27.5，n∈N*； 当x＝2n＋1时，y＝30－>27.5，n∈N*. 所以当1≤x≤14时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当15≤x≤19时，能享受每满400元再减40元的优惠， y＝＝30－－ 当x＝2n时，y＝30－＝27.5－， 当n＝8，x＝16时，ymin＝25； 当x＝2n＋1时，y＝30－， y随着n的增大而增大，所以当n＝7，x＝15时，ymin＝25. 综上，购买15件或16件时，该常用必需品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 学科网（北京）股份有限公司 $