专题04 平面向量（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以双解法（坐标法/基底法）为核心，聚焦几何本质与动态问题，构建“考情-真题-模拟”三阶训练体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量共线的坐标表示|5道真题（2024-2026）|坐标运算与参数转化，规避机械代入|以共线条件为基础，衔接数列、椭圆等综合应用| |平面向量的数量积|3道真题+12道模拟题|几何意义挖掘与数形结合，动态最值转化|从数量投影/投影向量概念出发，拓展至三角形、函数图象等场景|

专题04 平面向量 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 重几何本质、轻机械运算：不依赖复杂坐标计算，侧重考查向量几何意义与数形结合思想； 双解法兼容：坐标法、基底法均可解题，鼓励一题多解、择优解题； 偏爱动态命题：高频考查动点、参数变化下的最值、取值范围问题； 运算轻量化：规避繁杂数值计算，重点考查思维转化能力； 紧扣沪教版教材：严格区分数量投影、投影向量等教材专属概念，高频设置概念陷阱。 平面向量共线的坐标表示 2026春考第3题 2025秋考第20题 2025秋考第16题 2025春考第4题 2024秋考第5题 平面向量的数量积 2026春考第10题 2025秋考第12题 2025春考第12题 反套路化：弱化模板化解题，摒弃机械坐标代入，优先考查几何性质挖掘，单纯依赖二级结论秒杀易失分； 分层适配：题目入口宽泛，基础考生可用坐标法保底，优生可通过基底法、二级结论提速解题； 轻量化运算：严格控制计算量，拒绝繁杂运算，核心考查数形结合、转化与化归思想； 去偏难怪：课外拓展结论仅为解题捷径，试题均配备常规解法，不强制使用超纲结论。 考向一 平面向量共线的坐标表示 典例1．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 考向二 平面向量的数量积 典例2．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 考向一 平面向量共线的坐标表示 1．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 3．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 考向二 平面向量的数量积 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 2．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 一、单选题 1．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 2．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 二、填空题 3．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 4．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 5．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 6．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 7．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 8．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 9．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 10．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 11．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 12．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 13．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 14．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 15．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 16．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 17．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 18．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 三、解答题 19．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 20．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 21．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 22．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面向量 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 重几何本质、轻机械运算：不依赖复杂坐标计算，侧重考查向量几何意义与数形结合思想； 双解法兼容：坐标法、基底法均可解题，鼓励一题多解、择优解题； 偏爱动态命题：高频考查动点、参数变化下的最值、取值范围问题； 运算轻量化：规避繁杂数值计算，重点考查思维转化能力； 紧扣沪教版教材：严格区分数量投影、投影向量等教材专属概念，高频设置概念陷阱。 平面向量共线的坐标表示 2026春考第3题 2025秋考第20题 2025秋考第16题 2025春考第4题 2024秋考第5题 平面向量的数量积 2026春考第10题 2025秋考第12题 2025春考第12题 反套路化：弱化模板化解题，摒弃机械坐标代入，优先考查几何性质挖掘，单纯依赖二级结论秒杀易失分； 分层适配：题目入口宽泛，基础考生可用坐标法保底，优生可通过基底法、二级结论提速解题； 轻量化运算：严格控制计算量，拒绝繁杂运算，核心考查数形结合、转化与化归思想； 去偏难怪：课外拓展结论仅为解题捷径，试题均配备常规解法，不强制使用超纲结论。 考向一 平面向量共线的坐标表示 典例1．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 考向二 平面向量的数量积 典例2．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 考向一 平面向量共线的坐标表示 1．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】 【详解】由得，解得. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 3．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 【答案】15 【详解】，，解得． 故答案为：15． 考向二 平面向量的数量积 1．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 2．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 二、填空题 3．（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 4．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 5．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 6．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. 7．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 8．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 9．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 10．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 11．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 12．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 13．（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 14．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 15．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 16．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 17．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    18．（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量序列，其中和均为非零整数，且．对任意正整数，都有．则的最小值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知，当和均取得最小值时，有最小值. 因为，则，，且均为非零整数， 不妨取，则， 因为对任意的正整数，都有，取，得， 所以， ，当时，，即， 同理，由对任意的正整数，都有， 可得，， 所以，， 所以. 三、解答题 19．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 20．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 21．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 22．（2026·上海·三模）已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. (1)设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； (2)设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； (3)过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【详解】（1）双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. (2)设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $