第15章　轴对称图形与等腰三角形【章末复习】（课件）2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了轴对称图形与等腰三角形的核心知识，涵盖轴对称与坐标对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形等内容，通过知识框架图将各节概念性质判定串联，构建完整知识网络。 其亮点在于聚焦易混易错点分类总结，设计分层练习题，如等腰三角形内角分类讨论题培养推理意识，结合尺规作图强化几何直观，助力学生巩固知识，教师可精准教学提升复习效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第15章　轴对称图形与等腰三角形 章末复习 2026年8月6日 沪科版八年级上册第15章 轴对称图形与等腰三角形 单元复习 本章是初中几何图形变换与特殊三角形的核心章节，以轴对称为核心主线，串联图形对称变换、尺规作图、线段与角的特殊性质、等腰三角形及特殊直角三角形性质，是几何证明、边角计算、图形折叠题型的基础。本章知识点关联性强、定理多、易混淆，复习重点为厘清概念区别、熟记双向推理定理、掌握经典几何模型，规范几何推理书写。 一、章节核心知识体系梳理 15.1 轴对称与坐标对称 1. 核心概念区分 轴对称图形：一个图形自身沿直线折叠后完全重合，是单个图形的固有特征；轴对称：两个图形沿直线折叠后互相重合，是两个图形的位置关系。二者可相互转化，对称轴均为直线。 2. 轴对称核心性质 成轴对称的两个图形全等，对应边相等、对应角相等；对称轴垂直平分所有对应点的连线。 3. 平面直角坐标系对称规律 点(x,y)关于x轴对称：横不变、纵相反，坐标为(x,-y)；点(x,y)关于y轴对称：纵不变、横相反，坐标为(-x,y)。坐标对称变换为全等变换，仅改变位置，不改变图形形状、大小。 15.2 线段垂直平分线 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 2. 性质定理（正向）：线段垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等（用于证线段相等）。 3. 判定定理（逆向）：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（用于证点在线上、证直线是垂直平分线）。 4. 尺规作图：以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两侧弧交点连线即为垂直平分线，原理为SSS全等，必须保留作图痕迹。 15.3 角的平分线 1. 尺规作图：以角顶点为圆心画弧截两边，再以截点为圆心等半径画弧，内角交点与顶点连线即为角平分线。 2. 性质定理（正向）：角平分线上的点，到角两边的垂直距离相等（核心：必须是垂线段，斜线段不成立）。 3. 判定定理（逆向）：角的内部，到角两边垂直距离相等的点，在这个角的平分线上。 15.4 等腰三角形与特殊直角三角形 1. 等腰三角形边角性质：等边对等角，等腰三角形两底角相等，是轴对称图形。 2. 三线合一（核心重难点）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。易错点：仅适用于顶角与底边，腰上的三线不重合。 3. 等腰三角形判定：等角对等边，通过证明两角相等，推导对边相等，判定等腰三角形。经典模型：平行+角平分线=等腰三角形。 4. 含30°角的直角三角形性质：直角三角形中，30°角所对的短直角边等于斜边的一半；逆定理：直角三角形中，直角边为斜边一半，则该边对角为30°。 二、本章易混易错点总结 1. 混淆轴对称图形与轴对称：一个图形为自身对称，两个图形为位置对称。 2. 线段、角平分线定理误用：忽略“垂直距离”条件，用斜线段长度判定定理。 3. 三线合一乱用：对普通三角形、等腰三角形的腰侧线段使用定理。 4. 含30°直角三角形边角对应错误：误将邻边当作斜边一半，记错边角对应关系。 5. 等腰三角形计算漏解：边长、角度计算未分类讨论，未验证三角形三边关系。 三、单元综合练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列图形中，不属于轴对称图形的是（ ） A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 一般平行四边形 D. 圆 2. 点(-2,5)关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. (-2,-5) B. (2,5) C. (2,-5) D. (-5,2) 3. 下列说法正确的是（ ） A. 角平分线线上的点到角两边线段相等 B. 线段垂直平分线可平分任意角 C. 等腰三角形三线合一适用于所有边角 D. 等角对等边可判定等腰三角形 4. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=8，则BC的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 等腰三角形一内角为70°，则底角度数为（ ） A. 70° B. 55° C. 70°或55° D. 40° 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 成轴对称的两个图形一定________，对应角相等、对应边相等。 2. 线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。 3. 等腰三角形判定定理是________，性质定理是等边对等角。 4. 含30°角的直角三角形中，________角所对直角边是斜边的一半。 5. 等腰三角形三线合一：顶角平分线、________、底边上的高互相重合。 三、解答题（共60分） 1.（18分）基础梳理。（1）简述轴对称图形与轴对称的区别；（2）写出线段垂直平分线的性质与判定；（3）写出等腰三角形三线合一的完整内容。 2.（20分）计算应用。已知等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°。（1）求底角度数；（2）若AD为底边BC的高，求∠BAD度数；（3）说明解题用到的定理。 3.（22分）综合证明。已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。（1）求证DB=DC；（2）求证AD垂直平分BC；（3）写出全程推理依据。 四、参考答案及解析 一、选择题 1. C 解析：一般平行四边形无对称轴，折叠无法重合，不是轴对称图形。 2. A 解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数。 3. D 解析：A需垂直距离，B、C定理适用条件错误，等角对等边是等腰三角形核心判定。 4. B 解析：30°角对直角边BC=½AB=4。 5. C 解析：分顶角70°、底角70°两种情况，底角为70°或55°。 二、填空题 1. 全等 2. 两端点 3. 等角对等边 4. 30° 5. 底边上的中线 三、解答题 1. 解析：（1）轴对称图形是一个图形自身对称，轴对称是两个图形的对称位置关系；（2）性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，判定：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上；（3）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2. 解析：（1）底角=(180°-40°)÷2=70°；（2）由三线合一，AD平分∠BAC，∠BAD=20°；（3）用到等边对等角、等腰三角形三线合一性质。 3. 解析：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，由角平分线性质得DB=DC；（2）∵AB=AC，DB=DC，∴A、D均在BC垂直平分线上，两点确定直线，AD垂直平分BC；（3）依据角平分线性质、线段垂直平分线判定定理。 五、单元复习总结 本章核心围绕轴对称变换和特殊三角形性质两大模块，所有定理均具备双向推理关系。解题核心思路：遇垂直平分线想线段相等，遇角平分线想垂线段相等，遇等腰三角形优先用三线合一简化证明，遇特殊直角三角形直接用30°边角关系计算。熟练区分易混概念、规范定理使用条件、掌握经典几何模型，可完全掌握本章考点，为后续四边形、几何压轴题筑牢基础。 大单元知识架构 1.轴对称图形： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴. 2.轴对称： 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴. 一、轴对称图形与轴对称 3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言 轴对称是指( )个全等 图形的位置关系，必须涉及( )个图形 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形 一 一 两 两 4. 轴对称的性质： ① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 1. 线段中垂线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等. 2. 逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 二、线段的中垂线 1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°. 三、等腰（边）三角形 3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质： 判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 四、角平分线的性质与判定 1．下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是(　　) C 考试考法 2.【易错题】 [武汉月考]如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 A 考试考法 3. 【新考法】在同一平面直角坐标系中，一个学生误将点A的横、纵坐标的次序颠倒，写为A(a，b)，另一个学生误将点B的坐标看成关于y轴对称的点的坐标，写为B(－b，－a)，则A，B两点原来的位置关系是关于______轴对称．(填“x”或“y”) x 考试考法 4．如图，CD垂直平分线段AB，若AC＝5，BD＝4，则△ABC的周长是(　　) A．13 B．14 C．16 D．18 D 考试考法 5．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB(M，N不在AB上)的垂直平分线的是(　　) A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥AB C．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB C 考试考法 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，S△ABD＝6，则CD的长为________． 2 考试考法 7．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是(　　) A．AF＝BF B．DF⊥AB C．∠BAF＝∠CAF D．∠BAF＝∠EBC C 考试考法 8.【跨学科·物理】如图，∠AOB的边OA，OB均为平面反光镜，一束光线从OB上的C点射出，经OA上的D点反射后，反射光线DE恰好与OB平行，已知∠ADE＝∠ODC，OC＝10，则光线CD的长度是(　　) A．8 B．10 C．15 D．20 B 考试考法 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝3，DE＝1，则BC的长度是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 C 考试考法 10.【数学文化】 “三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图①的三等分角仪可以三等分角．图②是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP.若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为________°. 29 考试考法 11.【转化思想】【思维可视化】 如图，∠AOB＝45°，P为∠AOB内一定点，OA上有一点M，OB上有一点N，当△PMN的周长取最小值时，如何求∠MPN的度数？ 【思维过程】(1)问题拆解：△PMN的周长是PM＋MN＋PN，要让这个和最小，则需要思考如何把这三条“折线”转化成一条“线段”． 考试考法 (2)方法尝试：可尝试分别作点P关于OA，OB的对称点，利用轴对称的性质将“折线”转化为“线段”(即化曲为直)． (3)角度推导：∠MPN＝________°. 90 考试考法 12.【分类讨论思想】如图，已知△ABC≌△DEC，其中CE与AB交于点F，∠ABC＝30°，连接BE，若△BEF为等腰三角形，求∠BCE的度数． 解：∵△ABC≌△DEC，∴CB＝CE. ∴∠CBE＝∠CEB＝ (180°－∠BCE)＝90°－ ∠BCE. ∴∠EBF＝∠CBE－∠CBA＝90°－ ∠BCE－30°＝60°－ ∠BCE. ∵∠BFE＝∠FCB＋∠FBC，∴∠BFE＝30°＋∠BCE. 考试考法 ∵△BEF为等腰三角形， ∴当∠BFE＝∠EBF时，30°＋∠BCE＝60°－ ∠BCE， ∴∠BCE＝20°； 当∠BFE＝∠BEF时，30°＋∠BCE＝90°－ ∠BCE， ∴∠BCE＝40°. 显然∠BEF≠∠FBE， ∴∠BCE的度数为20°或40°. 考试考法 13．[安徽中考改编]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝3，则EC的长是(　　) A．12 B．6 C．3 D．1.5 B 考试考法 14．[淮北模拟]如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D是边BC上一点，且AB＝AD.过点B作AD的垂线BE，垂足为点F，BE交边AC于点E，∠BAD＝45°，则∠AEB的度数是(　　) A．75° B．67.5° C．60° D．50° B 考试考法 15．[安徽中考改编]如图，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是(　　) A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC D 考试考法 16．[亳州模拟]如图，在平面直角坐标系xOy中． (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)在y轴上画出一点D，使得BD＋DA的值最小．(保留作图痕迹，不写作法) 解： (1)如图，△A1B1C1即为所求. (2)如图，点D即为所求. 考试考法 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $