15.4 等腰三角形（等腰三角形）（题型专练）数学新教材沪科版八年级上册

15.4 等腰三角形（等腰三角形） 题型一 利用等边对等角求解 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，从而得出，，，根据等边对等角的性质和三角形外角的性质可判断A、B选项；根据垂直平分线的性质可判断C、D选项． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ，， ， ，且， ， ， ，A、B选项错误； 的周长为8， ， ， 的周长，C选项正确； ， ， 的周长，D选项错误； 故选：C． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知分别是射线、线段上的点，且；分别是射线、线段上的点，且；分别是射线线段上的点，且以此类推，则的度数为 °． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求解 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ，． 故答案为10． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，结合，利用三角形内角和定理求出，由得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 题型二 利用等边对等角进行证明 6．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先证明，然后证明出，进而得到结论； （2）由全等三角形性质可得，进而证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，作交的延长线于点．作，，且相交于点，与交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角得到，继而，再根据平行线的性质求解； （2）根据等角的余角证明，再根据垂直的意义得到，继而由证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵由（1），， ∴， ∵由（1）得 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）根据即可证明； （2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出． 【详解】（1）证明： （2）解：平分 ， 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）延长到点F，使，连接，则，而，，即可根据“”证明，则，而，由，然后可求解； （2）延长到点H，使，连接，则，而，所以，，可证明，得，，再证明，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，延长到点F，使，连接，则， ∵是的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． （2）证明：如图2，延长到点H，使，连接，则， ∵是的中线，是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三 利用三线合一求解 10．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 13．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． 先由等腰三角形的“三线合一”得到，得到为的垂直平分线，从而，进而得到的三边相等，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据等腰三角形“三线合一”得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴是底边上的中线，底边上的高线， ∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误． 故答案为：③． 题型四 利用三线合一证明 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点、为的边上两点．，，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵在中，（已知），（所作）， ∴（ ）． 又∵（已知）． ∴（ ）． 即： ． 又∵，垂足为H（所作）． ∴为线段 的垂直平分线． ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】等腰三角形三线合一性质；等式的性质；；；线段垂直平分线的性质；等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．过点作，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，进而根据等式性质得，由此得为线段的垂直平分线，则，再根据等边对等角即可得出． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，（已知），（所作）， （等腰三角形三线合一性质）． 又（已知）， （等式的性质）． 即：． 又，垂足为（所作）， 为线段的垂直平分线． （线段垂直平分线的性质）． （等边对等角）． 故答案为：等腰三角形三线合一性质；等式的性质；；；线段垂直平分线的性质；等边对等角． 16．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析； (2)． 【分析】（）根据等角的余角相等得出，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）由（）得：，，则，从而证明垂直平分，则有，由等腰三角形的三线合一定理可得，再由等腰三角形的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质． （1）根据等腰三角形三线合一的性质推出是直角三角形，由直角三角形的性质得到，再根据，得到是直角三角形，同理得到，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质求出，由（1）知，得到，进而推出，得到，结合，推出，再根据，推出垂直平分，得到，即，再根据，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，为上的中线， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，即， ∴． 题型五 找出图中的等腰三角形 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，而不是等腰三角形，再根据轴对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得都是等腰三角形，即这三个三角形都是轴对称图形， 不是轴对称图形， 故选：B． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 21．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于原点对称，将点沿轴向右平移个单位后落在点处． (1)的面积等于 ． (2)设，点是第一象限内的虚线格点，如果是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是 ． 【答案】 ； 或或． 【分析】（1）由平移得，根据三角形的面积公式即可求解； （2）分和求解即可． 【详解】（1）如图： 点与点关于原点对称，， ∴点， 将点沿轴向右平移个单位后落在点处． 点， ， 的面积 ， 故答案为：； （2）如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，可得点； 当时，以为圆心，为半径作圆，可得点或， 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平移变换以及三角形面积求法，等腰三角形的定义，解题的关键是利用分类讨论思想． 题型六 利用等角对等边证明等腰三角形 22．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又 中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得，，可得，可得出是等腰三角形； （2）由（1）知，得出，由角平分线定义得出，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴． ∵ ∴，． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 24．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，中，平分，平分，经过点D，与相交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，直接写出的周长： ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边，证明是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，然后由等角对等边即可得出结论； （2）同理（1）可得，根据的周长为，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∵， ， ， ， ∴是等腰三角形；； （2）解：同（1）可证， 又∵，， ∴的周长 ， ∴的周长为． 题型七 利用等角对等边求边长或证明边相等 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，得到，推出，同理：，于是得到的周长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长． 故答案为：． 26．（24-25八年级上·重庆永川·期末）如图，在四边形中，，，点E在上，连接，，．若，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的判定得出，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ， ， 故答案为：2． 27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 28．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，D为上一点，且，E为上方一点，且，． (1)求证：； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形等角对等边，三角形外角的性质 （1）根据，证明，再由，推出，结合，利用即可证明，即可得出结论； （2），根据三角形外角的性质得到，由（1）可得，即可说明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， 由（1）知， ∴， ∴． 29．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，是的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点作交边于点，如果，求的周长． 【答案】(1) (2)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （2）根据以及角平分线的定义，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线， 垂直平分 ， ， ∴； （2）解：如图， 是的角平分线 ， ∴， ∵ ． 题型一 格点中画等腰三角形 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 31．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是 ．（写出不少于四个） 【答案】或或或或或或（答案不唯一） 【分析】由不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题．本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 【详解】解：依题意，由不共线的，，三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或以B为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或为底边，作其的垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 如图，共有符合要求的点有7个． 其中点坐标为或或或或或或 故答案为：或或或或或或（答案不唯一） 32．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 【答案】5 【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可． 【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形， 符合条件的点C有5个， 故答案为：5． 题型二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 33．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 34．（23-24八年级上·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．根据题意分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：如图所示：    分三种情况： 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，作的垂直平分线, 交坐标原点； 综上所述：若坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则满足条件的情况有7个， 故答案为：7． 35．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，则，再分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入得， ∴， 设， ∴， 当，则，∴， 解得：或（舍）， ∴； 当，则，∴, 解得：， ∴； 当，即，∴， 解得：， ∴或， 综上所述：是等腰三角形，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 36．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)10 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键． （1）利用公式代入即可； （2）利用公式求出，，的长，再由勾股定理逆定理即可判断； （3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵、、 ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：存在， ， ， 设， ∴，， 当时，，则，解得，此时或； 当时，，则，解得或（此时为P原点，舍去），此时； 当时，，则，解得，此时； 综上，或或或． 题型三 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 37．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3)见解析 (4) 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图1：即为所求，    （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图2：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求；    ∴， 此时值最小； （4）如图：以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 38．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键． 39．（20-21八年级上·江西吉安·期末）直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A． (1)求直线与坐标轴围成的面积； (2)在x轴上一动点P，使是等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示时点P的坐标； (3)直线与直线相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线上一点，若的面积是的面积的两倍，求点Q的坐标． 【答案】(1)24 (2)（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或（，0） (3)（）（） 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0）．当AB=PB=10时，OP=18或2； 当AB=AP时OP=OB=8；当AP=PB时，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论； （3）解方程组得到C（），根据已知条件得到Q点的纵坐标为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 当x=0时，y=6； 当y=0时，x=8； ∴． （2）如图， 由（1）知A（0，6），B（8，0）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB=10， ∵是等腰三角形， ∴当AB=PB=10，OP=18或2， ∴P（18，0）或（－2，0）； 当AB=AP时，OP=OB=8， ∴P（－8，0）； 当AP=PB时， 设OP=x，则AP=BP=8－x， 由， 得：， 解得：， 此时P（）； 综上所述，点P的坐标为：（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或P（）． （3）联立 解得： ∴C（） ∵△BQD的面积是△BCD的面积的两倍， ∴Q点的纵坐标为， 把y=代入y=x+3， 得x=， 把y=－代入y=x+3， 得x=， ∴Q（）或（） 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 题型四 等腰三角形性质与判定综合 40．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 42．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 43．（22-23八年级上·广西南宁·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴（依据1）， ∵D是的中点，∴， 在和中，， ∴（依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_______________________； 依据2：_______________________． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 类比探究： (2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①在图3中，若分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． (3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为_________________． 【答案】(1)①等边对等角；；②见解析 (2)见解析， (3) 【分析】（1）①根据等边对等角及全等三角形的判定定理解答即可；②连接，由，D是的中点，得到平分，根据角平分线的性质定理得到； （2）图3：根据，D是的中点，得到，由分别为和的中线，得到，由此推出，得到；图4：由，D是的中点，得到，，，，利用角平分线定义得到，证明，进而推出； （3）连接，根据等腰三角形的性质得到平分，由角平分线的性质得到，由面积的和差关系得到． 【详解】（1）解：①依据1：等边对等角；依据2：， 故答案为：等边对等角；； ②连接， ∵，D是的中点， ∴平分， 又∵，， ∴； （2）图3：∵，D是的中点， ∴平分，即， ∵分别为和的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 图4：∵，D是的中点， ∴，，， ∴， ∵分别为和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接， ∵，D是的中点， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 44．（24-25八年级上·四川泸州·期末）是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解，②的周长10 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）延长交于点M，利用证明，则，结合等边三角形的性质得； （2）①由等边三角形和已知得到，，，可证明； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，由①知∶，，结合等边三角形的性质得和，，，进一步证明，有，即可证明，有，再次证明，即有，结合三角形周长计算即可． 【详解】（1）证明：延长交于点M，如图1， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）证明：①∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴，即， 则； ②延长和交和于点Q和P，在上取一点K，使，连接，如图， 由①知∶，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， 则的周长 ． 45．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可； （2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴当时，，当时，由得， ∴，,， ∵， ∴，则， ∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴， ∵函数的图象经过点C、D， ∴，解得， ∴； （2）解：设直线交轴于点， 当时，，则， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：根据题意，分两种情况： 当点P在点E的左侧时，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 则点P为直线和直线的交点， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴； 当点P在点E的右侧时，如图， ∵，，， ∴， 过点E作交与F，则， ∴， ∴， 设， 由得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为； 由可设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴， 综上，满足条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.4 等腰三角形（等腰三角形） 题型一 利用等边对等角求解 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 3．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知分别是射线、线段上的点，且；分别是射线、线段上的点，且；分别是射线线段上的点，且以此类推，则的度数为 °． 5．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 题型二 利用等边对等角进行证明 6．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在中，，作交的延长线于点．作，，且相交于点，与交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在中，是中线． (1)如图1，若，，求的取值范围； (2)如图2，是的中线，若，求证：． 题型三 利用三线合一求解 10．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 13．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，中，于点，是延长线上的一点，且，请判断的形状，并证明你的结论．（温馨提示：请不要用全等证明） 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，． 若，则下列结论错误的是_____．①，②，③，④ 题型四 利用三线合一证明 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点、为的边上两点．，，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点A作，垂足为H． ∵在中，（已知），（所作）， ∴（ ）． 又∵（已知）． ∴（ ）． 即： ． 又∵，垂足为H（所作）． ∴为线段 的垂直平分线． ∴（ ）． ∴（ ）． 16．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在中，于，于，与相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接，，． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 题型五 找出图中的等腰三角形 18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是 （      ）    A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 21．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于原点对称，将点沿轴向右平移个单位后落在点处． (1)的面积等于 ． (2)设，点是第一象限内的虚线格点，如果是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是 ． 题型六 利用等角对等边证明等腰三角形 22．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 23．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 24．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，中，平分，平分，经过点D，与相交于点E，F，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，直接写出的周长： ． 题型七 利用等角对等边求边长或证明边相等 25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，角平分线和相交于点O，，，，则的周长为 ． 26．（24-25八年级上·重庆永川·期末）如图，在四边形中，，，点E在上，连接，，．若，则的长度为 ． 27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ． 28．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，D为上一点，且，E为上方一点，且，． (1)求证：； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 29．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，是的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点作交边于点，如果，求的周长． 题型一 格点中画等腰三角形 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 31．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是 ．（写出不少于四个） 32．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 个． 题型二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 33．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 34．（23-24八年级上·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 35．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 36．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在y轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 题型三 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 37．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 38．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 39．（20-21八年级上·江西吉安·期末）直线与x轴相交于点B，与y轴相交于点A． (1)求直线与坐标轴围成的面积； (2)在x轴上一动点P，使是等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示时点P的坐标； (3)直线与直线相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线上一点，若的面积是的面积的两倍，求点Q的坐标． 题型四 等腰三角形性质与判定综合 40．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 41．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 42．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 43．（22-23八年级上·广西南宁·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ 问题初探： (1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是，并且展示了他们的证法如下： 证明：如图1， ∵，，∴， ∵，∴（依据1）， ∵D是的中点，∴， 在和中，， ∴（依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_______________________； 依据2：_______________________． ②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法． 类比探究： (2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①在图3中，若分别为和的中线，那么仍然成立．②在图4中，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． (3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰中，作腰上的高，如图5，则与有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为_________________． 44．（24-25八年级上·四川泸州·期末）是等边三角形，点D在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点D作，分别交、于点E、F，连接，延长交于点G． ①求证：； ②若，求的周长． 45．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接． (1)求的解析式； (2)求的面积； (3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$