第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试 2026-2027学年沪科版八年级数学上册

**基本信息** 沪科版八上第13章三角形单元卷，聚焦边角关系与命题证明，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合现实情境与逻辑推理，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|三角形三边关系（1）、命题定义（2）、稳定性（4）、等腰三角形性质（7、9）|结合千厮门大桥考查稳定性（4），设计反例判断假命题（8）| |填空题|4|逆命题（11）、等腰三角形周长（12）、顶角分类（13）、面积规律探究（14）|通过非负数性质求边长（12），渗透分类讨论思想（13）| |解答题|9|绝对值化简（15）、命题结构分析（16）、动态几何（23）、角平分线与平行线综合（19）|设计分层探究题（21），融合运动变化与推理证明（23），发展几何直观与推理意识|

2026-2027学年八上数学沪科版第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 3．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形．其主要利用的数学原理是（     ） A．三角形任意两边之和大于第三边 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形内角和为 5．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 6．如图，的面积为6，为中边上的中线，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 8．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 9．等腰三角形的两边分别为和，则它的周长是（    ） A． B．或 C． D． 10．如图所示，已知D为上一点且，那么与之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．命题“若，那么”的逆命题是______． 12．已知等腰三角形的两边满足，则此三角形的周长为__________． 13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 14．如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 三、解答题 15．已知、、分别是的三边长，化简：． 16．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 17．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去（虚线与边、分别交于点，求的度数． 18．分别指出图中的三条高． 19．在中，，平分，平分，过O点作，使， (1)图中又会有几个等腰三角形？ (2)仍然成立吗？ 20．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 21．如图①，已知．小聪借助几何画板将图①进行调整，得到图②、图③、图④三个图形，请解决下列问题： (1)根据图②，得满足的关系式是________ (2)如图③，点E在AD上，试说明． (3)如图④，点E在AD上方，（2）中的结论是否还成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论． 22．已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 23．综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年八上数学沪科版第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元卷 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C C C A D D 1．C 【分析】利用三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ，即， 观察选项，只有满足 ， 故选项C符合题意． 2．D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 4．C 【详解】解：根据题意，形成了大量的三角形结构，可有效防止结构发生变形， 其中主要应用三角形具有稳定性． 5．C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 6．C 【分析】本题考查了三角形的中线等分三角形面积，据此即可求解． 【详解】解：∵的面积为6，为中边上的中线， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 8．A 【分析】此题考查了反证法的应用． 本题需找到满足“”但不满足“”的反例，以此证明原命题为假命题． 【详解】∵选项A中，， ∴， ∵，即，且，即 ∴该选项满足原命题的前提但不满足结论，可作为反例说明原命题是假命题 选项B中，，符合原命题结论，不是反例 选项C、D中，，不满足原命题的前提，均不是反例 故选：A 9．D 【分析】本题考查了等腰三角形的周长．解题关键是会分成两种情况讨论三角形的三条边，并且能够利用三角形的三边关系即三角形任意两边之和大于第三边进行判断．分类讨论等腰三角形的三边，再将三边相加即可． 【详解】解：已知等腰三角形的两边长分别为和，有两种情况： 第一种是以为腰，三边分别为，显然，故不能构成三角形， 第二种是以为腰，三边分别为，显然，符合三角形的三边关系， 故这个等腰三角形的周长为， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据可得，，结合三角形外角性质即可得到，代入的值整理即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：， 故选：D． 11．若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 12．20 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，构成三角形的条件，先由非负数的性质求出，再分当为腰时，当为腰时，两种情况根据等腰三角形的定义求出的长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当为腰时，则， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当为腰时，则， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此三角形的周长为， 故答案为：20． 13．50或130 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：50或130． 14．4 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 15． 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 16．(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 17． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质．先求得，再利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：为直角三角形，， ， ． 18．在图（1）中的三条高分别为，，；在图（2）中的三条高分别为，，． 【详解】略 19．(1)图中有2个等腰三角形 (2)解：成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此和是等腰三角形； （2）由（1）得到，，根据线段的和差即可得到． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和是等腰三角形． 综上所述，图中有2个等腰三角形． （2）略 20．(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 21．(1) (2)见解析 (3)成立．理由见解析 【分析】（1）连接，根据和的内角和等于180°，可得，再运用，即可判断角度之间的关系； （2）先根据和的内角和等于180°，列出角度的等式，再结合，即可得出结论； （3）过点E作交AC于点F，交BD于点G，再结合与内角和等于180°，找出角度满足的关系式，又，以及两直线平行同位角相等，进而得出结论； 【详解】（1）如图：连接， ，， ， ， ， ，， ， ， ∴ （2）如图①． ， ， ， ， ， ． （3）成立．理由如下： 如图②，过点E作交AC于点F，交BD于点G， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，平角的性质，平行线的性质. 22．(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 23．(1)解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $