第二章 3 一元二次方程的根与系数的关系-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年九年级上册数学配套课件（北师大版·新教材）
2026-07-24
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”核心知识点，通过复习一元二次方程解法引入，搭建从具体求根到抽象关系的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。
其亮点在于分层设计基础巩固与能力提升题目，融入教材改编题及生活应用实例，如结合菱形对角线长考查根与系数关系，培养学生运算能力与模型意识。易错点强调Δ≥0，引导学生形成严谨思维，助力教师高效教学，提升学生知识应用与问题解决能力。
内容正文：
BS
数 学
9年级 上册
题目好 分册好 服务好
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第二章 一元二次方程
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知识点1 利用根与系数的关系直接求两根之和或两根
之积
1.若方程x2＋3x＋2＝0的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A.3 B.－3
C.－ D.2
限时：15分钟
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2.若x1，x2是一元二次方程2x2－4x－5＝0的两个根，则x1x2的值为( )
A.－ B.
C.－2 D.2
A
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3.已知方程x2－3x－5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为( )
A.2 B.－2
C.8 D.－8
C
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4.已知关于x的一元二次方程x2－2x－b＝0的一个根是－1，则方程的另一个根为( )
A.－2 B.2
C.－3 D.3
D
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5.已知一元二次方程3x2－mx－3＝0有一个根是x＝1，则另一个根是( )
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝2 D.x＝4
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6.［教材P50习题2.3第2题改编］已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是 ，k的值是 .
－2
－3
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知识点2 根与系数的关系的应用
7.一元二次方程2x2－kx＋40＝0的一个根是x＝5，若一个菱形的两条对角线长分别是该一元二次方程的两个实数根，则该菱形的面积是( )
A.10 B.20
C.16 D.9
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8.若方程－x2－2x＋4＝0的两个实数根分别为α，β，则α2＋β2的值为( )
A.－4 B.4
C.10 D.12
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9.已知a，b是一元二次方程x2＋x－8＝0的两个实数根，则代数式a2＋2a＋b的值等于( )
A.7 B.8
C.9 D.10
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10.已知m，n是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个根，则＝ .
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11.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个根，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值.
解：由题意得m＋n＝3，mn＝a.
方程(m－1)(n－1)＝－6可变形为mn－(m＋n)＋1＝－6，
∴a－3＋1＝－6，解得a＝－4，
∴a的值为－4.
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12.若关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两个实数根为x1，x2，且满足x1x2＝2，则x1＋x2的值为( )
A.4 B.－4
C.4或－2 D.－4或2
忽视Δ≥0
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13.［易错题］已知a，b是一元二次方程x2＋2025x＋1＝0的两个实数根，则的值为( )
A.－2025 B.2025
C. D.±2025
B
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14.若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为 .
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15.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
解：(1)∵Δ＝［－(2m＋1)］2－4(m2＋m)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1>0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
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(2)由题意得a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a＋b)2＋ab＝20，∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，
整理，得m2＋m－2＝0，
解得m1＝－2，m2＝1，
∴m的值为－2或1.
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值.
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16.已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0有x1，x2两个实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若x1＝1，求x2及m的值.
解：(1)m≤5.
(2)x2＝3，m＝4.
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(3)是否存在实数m，满足m(x1－2)(x2－2)＝－4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
(3)存在.
由题知m(x1－2)(x2－2)＝m［x1x2－2(x1＋x2)＋4］＝－4，
整理，得m2－5m＋4＝0，解得m1＝1，m2＝4.
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17.已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.
(1)求证：该方程总有两个实数根；
解：(1)∵a＝1，b＝－4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2－4ac＝(－4m)2－4×1×3m2＝4m2.
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根.
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(2)［一题多解题］若m>0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值.
(2)解法1：∵x2－4mx＋3m2＝0，可变形为(x－m)(x－3m)＝0，
∴x1＝m，x2＝3m.
∵m>0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m－m＝2，解得m＝1.
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解法2：设方程的两个根为x1，x2(x1>x2)，则x1＋x2＝4m，x1x2＝3m2.
∵x1－x2＝2，∴(x1－x2)2＝4，
∴(x1＋x2)2－4x1x2＝4，
∴(4m)2－4×3m2＝4，∴m＝±1.
又∵m>0，∴m＝1.
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