5.5 一次函数与二元一次方程（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程（组）的关系，通过知识回顾提问“二元一次方程是否可转化为一次函数”，从具体方程到一般形式转化，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于深化数形结合思想，通过探索方程解与函数图像点的对应、方程组解与图像交点的关系，培养几何直观与推理意识。结合典例分析和行程问题应用，体现模型意识，小结链条式梳理关系，助力学生构建知识网络，教师可高效备课，提升教学效果。

5.5 一次函数与二元一次方程 第五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 知道一次函数与二元一次方程之间的关系，会用一次函数的图象求二元一次方程组的解，深化对数形结合思想的认识与应用． 通过探究一次函数与二元一次方程(组)之间的关系，感受数学知识与方法内在的关联性． 知识回顾 2x－y－3＝0 二元一次方程 移项 y＝2x－3 一次函数 移项 方程的角度 函数的角度 所有的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式吗？怎么转化？ ax＋by＋c＝0 移项 得： by＝－ax－c， 系数化为1 得： y＝－x－． 探索交流 二元一次方程2x－y－3＝0的解有多少个？写出其中的任意两个解． x -1 1 2 3 4 5 6 -1 y＝2x－3 P (4,5) 6 5 4 3 2 1 y O Q (2,1) 在直角坐标系中以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝2x－3的图像上吗？ 在一次函数y＝2x－3的图像上． 探索交流 一次函数y＝2x－3的图象上点的坐标与二元一次方程2x－y－3＝0的解之间有什么关系？ x -1 1 2 3 4 5 6 -1 y＝2x－3 6 5 4 3 2 1 y O 一次函数y＝2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y－3＝0的解； 　　反之，以二元一次方程2x－y－3＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝2x－3的图象上． 新知归纳 一般地，一次函数y＝kx＋b的图像上的任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解； 以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上． 新知归纳 kx－y＋b＝0 y＝kx＋b 一条直线 (m，n) 点 点的坐标 方程的角度 函数的角度 几何的角度 方程的解 新知巩固 1. 若方程x－y＝1有一个解为则一次函数y＝x－1的图像上必有点________. (2，1) 2.若一次函数y＝2x－4上有一点的坐标是(3，2)则方程2x－y－4＝0必有一个解为__________. 讨论交流 二元一次方程组的解与同一个直角坐标系中一次函数y＝2x－3，y＝x－的图象交点坐标之间有怎样的关系？ 1 2 y 3 4 5 -2 -3 -1 -4 -5 4 5 3 2 O x 1 -1 -2 -3 -4 -5 y＝2x－3 P(1,－1) y＝x－ 解：如图，点P(1，－1)既在y＝2x－3的图 像上，又在y＝x－的图像上，是两图象 的交点． 是的解． 新知归纳 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解． 新知巩固 1. 若二元一次方程组 的解为则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图像的交点坐标为_________. 2. 一次函数y＝2x＋3和y＝x－的图像交于点A(－3，－3)，则方程组的解是______________. (8，4) 典例分析 例1 已知一次函数y＝3x－1的图象与正比例函数y＝kx (k为常数，k≠0) 的图象交点的横坐标是1． (1) 求k的值； 解：(1) 把 x＝1代人y＝3x－1，得 y＝2， 把 x＝1，y＝2，代入y＝kx，得 k＝2． 典例分析 (2)写出关于x，y的方程组的解． 例1 已知一次函数y＝3x－1的图象与正比例函数y＝kx (k为常数，k≠0) 的图象交点的横坐标是1． 解：(2) 由(1)知，一次函数y＝3x－1的图象与正比例函数y＝kx的图象 交点坐标为(1，2)， 所以，关于x，y的方程组的解为 思维提升 例2 在七年级下册“二元一次方程组”一章的复习题中，我们曾研究过如下问题：探索下列二元一次方程组解的情况： (1) (2) (3) 试利用函数图象，探索上述方程组解的情况，并对解的情况做出解释. 思维提升 P(2, 1) y＝x－1 y＝2x－3 y 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 O 1 2 4 3 x -1 解：如图， 方程组 的解为 两个一次函数对应的直线有一个交点. y 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 O 1 2 4 3 x -1 y＝x－1 方程组 的解有无数个，两个一次函数对应的直线重合. y 1 2 3 -1 -2 -3 4 5 O 1 2 4 3 x -1 y＝x－1 y＝x－2 方程组 无解，两个一次函数对应的直线平行． 新知归纳 二元一次方程组无解 一次函数的图像平行(无交点) 二元一次方程组一解 一次函数的图像相交(有一个交点) 二元一次方程组有无数个解 一次函数的图像重合(有无数个交点) 探究思考 　　A，B两地相距200 km，甲列车从A地出发，以240 km/h的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发15 min后，从B地出发以320 km/h的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离s km关于时间t h的函数图象． 请根据图象回答问题： (1) 甲列车出发多久后与乙列车相遇？ 此时距A地多远？ 解：(1)由题意可知，s甲＝240t； 当0.25≤t≤0.85时，s乙＝200－320(t－0. 25) ＝－320t＋280． 当s甲＝s乙时，可得240t＝－320t＋280． 解得t＝0.5，240×0.5＝120(km)． 故甲列车出发0.5h后与乙列车相遇，此时距A地120km. 探究思考 　　A，B两地相距200 km，甲列车从A地出发，以240 km/h的平均速度驶向B地；乙列车在甲列车出发15 min后，从B地出发以320 km/h的平均速度驶向A地．如图所示是两列车与A地的距离s km关于时间t h的函数图象． 请根据图象回答问题： (2) 甲列车出发多长时间内，其到A地的距离比 乙列车到A地的距离更近？ 解：(2) 由图象可知，甲列车出发0.5 h内，其到A地的距离比乙列车到A地的距离更近． 0.5 新知巩固 1. 已知一次函数y＝kx＋1的图象与y＝－0.5x＋b的图象相交于点(2，5). 求k，b的值． 解：把x＝2，y＝5代入y＝kx＋1，得 2k＋1＝5， 解得 k＝2． 把x＝2，y＝5代入y＝－0.5x＋b，得 －0.5×2＋b＝5， 解得 b＝6． 新知巩固 2. 如图，l1是函数y＝x＋1的图象，l2是函数y＝nx＋5的图象． (1) 求n的值； (2) 当l2对应函数的值大于l1对应函数的值时， 写出自变量x的取值范围． 解：(1)把x＝3代人y＝x＋1，得y＝2． 把x＝3，y＝2代人y＝nx＋5，得3n＋5＝2， 解得n＝－1． (2)由函数图象可知，当l2对应函数的值大于l1 对应函数的值时，x＜3． 新知巩固 3. 元代朱世杰(1249－1314)所著的《算学启蒙》中有这样一道题，大意：千里马每天跑240里(1里＝500 m)，普通马每天跑150里．普通马先出发12天，问千里马出发后几天可以追上普通马？如图是两匹马奔跑路程 s 里关于时间 t 天的函数图象，用一次函数解决这个问题． 解：由题意，得普通马的路程s1＝150t， 千里马的路程s2＝240(t－12)． 当150t＝240(t－12)时，解得t＝32． 32－12＝20(天)， 所以千里马出发20天后可以追上普通马． 课堂小结 一次函数图像 二元一次方程 点坐标 方程的解 两个一次函数图像 二元一次方程组 交点坐标 方程组的解 一次函数与二元一次方程 一一对应 对应 感谢聆听！ $