第一章 特殊平行四边形——问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为“作内嵌于正方形的正八边形”，通过古建筑藻井图案创设情境，引导学生观察正八边形与正方形的位置关系，从理解正八边形特征到分析作图条件，再到拟定尺规作图步骤，构建“情境-探究-实践”的学习支架。 其亮点是以问题解决活动为主线，结合几何直观与空间观念，通过尺规作图、纸片折叠等实践操作培养学生推理能力与创新意识。如分析截去等腰直角三角形的条件或拓展菱形内嵌矩形作图，体现数学思维。小结反思助学生梳理方法，提升探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

问题解决活动： 1 北师版九年级上册 作内嵌于正方形的正八边形 1 创设情境，导入新课 在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案。 问题 古建筑藻井图案 古建筑藻井图案 一个正方形里面嵌套了多个正八边形 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形。 这些图案中，正八边形和正方形有什么位置关系？ 探究新知，经历过程 你能用尺规作内嵌于正方形的正八边形吗？ 古建筑藻井图案 理解问题 （1）正八边形内嵌于正方形，可能有哪些情形？请你画出相应的草图。 （2）正八边形有哪些具体特征？ 正八边形 边： 八条边长度全部相等 对边互相平行 角： 八个内角都相等，每个内角度数：135° 八个外角都相等，每个内角度数：45° 对称性： 既是轴对称图形，也是中心对称图形 拟定计划 （1）观察你画的草图，分析其中的正八边形满足哪些特定条件。 也可以用数学软件画出内嵌于正方形的正八边形观察并分析不同情形下正八边形满足哪些特定的条件。 正八边形与正方形共中心 O（对称中心重合），即正八边形的对称轴与正方形的对称轴重合 正方形的边长 = 正八边形的边长 + 2× 正八边形顶点到正方形顶点的线段长度 O O 135° 在正方形的每个角上，截去的小三角形都是全等的等腰直角三角形 直角边长 = 正八边形的边长 45° （2）根据你的分析，说说用尺规作这个正八边形的大致思路。整理自己的思路，并与同伴进行交流。 先作一个正方形 找到正方形的对称中心 O 正方形的对称中心也是正八边形的对称中心 在正方形的边上截取等长线段，确定正八边形的顶点 利用正八边形的外角45°、内角135°，结合正方形的内角90° 顺次连接各顶点 实施计划 （1）你的作图思路正确吗？说明其中的道理。 （2）请你用尺规作一个内嵌于正方形的正八边形，并与同伴进行分享。 回顾反思 （1）通过探究，你得到了哪些作图方法？这些方法各有什么特点？ （2）在探索作图方法的过程中你积累了哪些经验？与同伴进行交流。 请你解决下列问题。 当一个矩形的四个顶点分别在已知菱形的四条边上时，我们称这个矩形是菱形的内嵌矩形。如图，已知菱形 ABCD，请用尺规作出它的一个内嵌矩形。 A B C D 请你解决下列问题。 2. 尝试用一张正方形纸片折出一个正八边形。 3. 学完本节课后，你还想到哪些值得研究的问题？将你的问题及研究成果整理成一篇小论文，并在班级内分享。 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 完成练习册本课时的习题。 课后作业 $