广东省广州市2026-2027学年高三上学期数学开学模拟卷

**基本信息** 高三开学数学模拟卷以数学文化（如《九章算术》“刍童”）和创新定义（如“平衡数”）为情境，通过集合、复数等基础题与“Γ函数”新定义综合题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、立体几何|基础题（如向量投影）与创新题（平衡数定义）结合，考查数学眼光| |填空题|3题/15分|双曲线离心率、二项式定理、数列操作|第14题循环操作考查逻辑推理，体现数学思维| |解答题|5题/77分|解三角形、概率统计、圆锥曲线、新定义函数|19题“Γ函数”综合考查数学语言表达，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 3．已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B．64π C．80π D． 7．已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的正整数？（    ） A．511 B．2584 C．9841 D．17711 E．19682 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，若在区间上单调递增，则下列说法中正确的是（   ） A．存在使得函数为奇函数 B．函数的最大值为 C．的取值范围为 D．存在4个不同的使得函数的图象关于对称 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．，使得为增函数 C．，使得点为曲线的对称中心 D．当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 11．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 13．若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 14．数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 16．（15分） 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 19．（17分） 对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 故. 2．已知，则复数的虚部为（    ） A．－1 B．2 C．i D．1 【答案】D 【详解】因为，可得， 则，所以复数的虚部为1. 3．已知为单位向量，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算向量的模长，对两边平方求出，再代入投影数量公式计算即可. 【详解】由，可得， 已知，将等式两边平方并展开得， 又因为，所以解得； 则在上的投影数量为，故B正确. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 5．若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】取，此时均为递增数列，，为常数列； 取，则数列为递增数列，此时可取， 其中为递减数列，为递增数列. 综上可得：“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 6．我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（   ） A． B．64π C．80π D． 【答案】C 【分析】根据刍童的几何性质确定外接球球心位置，再借助几何关系求出外接球半径，进而求出表面积. 【详解】 如图，连接，设，连接， 由棱台侧棱相等，得该棱台的外接球球心在直线上， 设外接球球心为，而， 由，得球心在线段的延长线上，如图所示： 由，得，则，， 所以所求外接球表面积为. 7．已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求解. 【详解】由可得， 即，所以（其中c为常数）， 因此，，由可得，故， 显然，是上的偶函数．当时，， 所以，在上是增函数， 因为，所以，所以解集为． 8．如果一个正整数中没有数字重复出现，不包含数字0，且没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大，那么称其为“平衡数”．例如，23，196，12463均为平衡数，但1546，320，34321则不是．问共有多少个平衡的正整数？（    ） A．511 B．2584 C．9841 D．17711 E．19682 【答案】C 【分析】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，再对“平衡数”按照数字个数分类讨论即可. 【详解】题中“一个正整数没有任何一个数字的两个相邻数字都比它大”等价于“该正整数从左往右不会出现先减后增”，也等价于“该正整数从左往右单调递增或单调递减，或先增后减”， 因为平衡数中没有数字重复出现，不包含数字0，所以只能从中不重复地选取， 先从中选个数，除了最大数，每个其他数字可以选择放在左边或右边，且一旦选定左右分组，顺序就被唯一确定：左边递增，右边递减，但注意：如果所有数字都在左边（递增）或都在右边（递减）也算，所以总数恰好. ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， ，从中选个数，有种选法，排列方法有种，， 一共有， 设， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，若在区间上单调递增，则下列说法中正确的是（   ） A．存在使得函数为奇函数 B．函数的最大值为 C．的取值范围为 D．存在4个不同的使得函数的图象关于对称 【答案】BC 【分析】先化简，再根据奇函数的定义可判断A，根据正弦函数的有界性可判断B，根据正弦函数的单调性可判断C，根据正弦函数的对称性可判断D． 【详解】由题意得 ， 故， 因此不存在，使得函数为奇函数，故A错误； 由于，故，即的最大值为，故B正确； 由于在区间上单调递增， 故，解得，故C正确； 令，解得， 结合知的取值为，共8个值，故D错误． 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．，使得为增函数 C．，使得点为曲线的对称中心 D．当时，过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】AC 【分析】求导，利用导数研究函数的单调性，可判断AB；利用对恒成立，求解可判断C；设切点为，利用导数的几何意义求得切线方程，代入点，可得，判断方程解的个数即可判断D. 【详解】， 求导得，令，得， 又因为， 所以有两个不等的实根， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以有两个极值点，不存在，使得为增函数，故A正确，B错误； 若曲线关于点对称，则对恒成立， 又， ， 所以对恒成立， 即对恒成立， 所以，解得， 所以当时，使得点为曲线的对称中心，故C正确； 当时，，求导得， 设切点为，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 又切线过点，所以， 整理得. 令，求导得， 令，得，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数有极大值，极小值， 又当时，，当时，； 所以与轴有唯一交点，所以有唯一解， 所以方程有唯一解， 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有一条，故D错误. 11．已知为正整数，的方程为，则下列结论正确的有（    ） A．对任意正整数，直线平分的面积 B．对任意正整数，直线与相切 C．存在正整数，使得直线与相交 D．对任意正整数与相交 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程、圆心距、圆与圆的位置关系逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将的方程化简得，所以圆心坐标为. 可知直线经过的圆心，所以对任意正整数，直线平分的面积，A正确； 将的方程化简得， 可知圆心到直线的距离为，与轴相切， 故直线关于直线的对称直线也与相切，所以B正确； 结合B选项可知圆心到直线的距离，所以直线与相离，所以C错误； 将的方程化简得，其圆心坐标为，半径为. 的方程为，化简为，其圆心坐标为，半径为. 所以与的圆心距始终为，而对任意正整数与的半径之和， 对任意正整数有，半径之差，所以对任意正整数与相交，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线：的焦距是虚轴长的倍，则的离心率为________． 【答案】 【详解】由题意得，故，， 又，故， 即，可得， 故离心率为 13．若的展开式中含的项的系数为28，则实数________． 【答案】30 【分析】先求出的通项展开式，再利用多项式乘积分项法求出即可. 【详解】因为的通项展开式为，， 若里取，则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 若里取,则的展开式只能取含的项，即, 此时展开式中含的项的系数是； 合并系数可得，解得. 14．数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项.循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项.依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为___________． 【答案】4052 【分析】由可知数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，依此规律即可求解. 【详解】第一次变换是：删除两项，添加， ∵，正好是新添加的项， 也就是说，数列中每一项加1的积，等于数列中每一项加1的积，也等于数列中每一项加1的积…… 原数列是共2026项， 每项加1后，初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为，根据不变量，有，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 16．（15分） 一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，求出，进而利用条件概率公式计算求解； （2）分析的所有可能取值，求出相应概率，进而求出分布列和期望． 【详解】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）．    (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理线性表示出向量即可； （2）利用面面垂直的性质定理，余弦定理以及线面角的定义结合已知条件求解即可； （3）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标和求出相应向量坐标，利用点共面的性质、锥体体积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）由题意，连接，如图所示，    由为的中点，为的三等分点（靠近点）， 则 . （2）因为平面，平面，所以， 过点作，垂足为，如图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，面，面，则平面， 因为平面，所以， 过作，垂足为，由平面， 所以，所以平面，则为直线与平面所成角， 由题意可知， 根据余弦定理得：， 所以，, 设直线与平面所成角为， 在直角三角形中有： 所以直线与平面所成角的正弦值为．    （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线分别为轴， 在平面内，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数，使得， 即，解得， 而，故，解得， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 所以， 当且仅当时等号成立. 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点（异于点，），，的面积最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)点为直线上一点（不在坐标轴上），若直线与椭圆相切于点． （ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由； （ⅱ）过点作直线交直线于点，且，求的最大值． 附：过椭圆上一点的切线方程为． 【答案】(1) (2)（ⅰ）直线平行于直线，理由如下： 由（1）知，，则，．设点，， 则直线的方程为． 令，有， 得． 又， 则． 因为点在椭圆上，满足，即， 代入得， 显然直线与不重合，故直线平行于直线． （ⅱ） 【分析】（1）椭圆左右顶点的距离求出的值，再由面积最大值求出的值，即可求出椭圆的方程； （2）（ⅰ）设切点，利用椭圆切线方程公式写出的方程，将代入切线方程，求出坐标，分别计算，利用椭圆方程化简，求出，进而得到两直线的位置关系； （ⅱ）法一：设，结合切线与椭圆方程表示，联立得，化简目标比值，利用均值不等式求最值； 法二：以切点横坐标为变量，联立直线得，借助椭圆方程消参构造单变量函数，求导判断单调性，算计最大值. 【详解】（1）依题意，当点位于上、下顶点时，面积最大， 则，得． 又因为， 所以，， 故椭圆的标准方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）因为直线平行于直线， 所以． 方法一：设点的坐标为，， 椭圆在点处的切线方程为，代入点的坐标得，故． 代入椭圆方程得， 整理得， 故， 则， 故． 又，所以， 故直线的方程为，直线的方程为． 联立得， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为． 方法二：由题意知， 则直线PA的方程为， 直线QB的方程为． 联立可得 得， 故． 设函数，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当时，取得最大值为． 19．（17分） 对于定义在区间上的函数，若对一切恒成立，则称直线是的一个“函数”． (1)若，分别判断和是否为的函数并说明理由； (2)设，．若是的一个函数，求的取值范围； (3)设为无穷实数列．令．已知与其函数的图象有公共点，其公共点的横坐标为．是否存在，使得为非常数的无穷等比数列？证明你的结论． 【答案】(1)函数，由，得，则， 当时，，因此恒成立， 即恒成立，所以是的函数； 当时，，取，，， 此时，所以不是的函数. (2) (3)函数与其函数的图象有公共点， 函数与在上的图象公共点横坐标为，且恒成立， 则，令函数，于是恒成立， 且，即为在上的最小值点， 求导得，由，得， 令函数，求导得，则， 由为最小值点，得，则，解得； 假设存在使为非常数无穷等比数列， 设，，若，则数列严格递增， 当（表示的整数部分）时，，与矛盾； 若，则数列严格递减，当时，， 则存在正整数，使得当时，，与矛盾； 若，数列为常数列，与“非常数”矛盾， 所以不存在数列使得为非常数的无穷等比数列. 【分析】（1）使用特值法分析； （2）构造函数，使用导数求解； （3）构造函数通过导数分析函数的单调性与最值，再使用反证法证明. 【详解】（1）略 （2）函数，由是的一个函数， 得，不等式恒成立， 令函数，由，得， 求导得，， 当时，，则恒成立，在上单调递增， 因此恒成立，； 当时，由，，在上单调递减，，因此， 当时，方程的两个实根， 而且对称轴，故， 由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 因此，，所以的取值范围是. （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $