2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（广东专用）

**基本信息** 2026年高三开学数学学情自测卷，全面覆盖高中数学核心内容，通过复数、数列、立体几何翻折、统计案例等试题，检测基础掌握与综合应用能力，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、集合、等差数列、三角函数图像变换、向量几何意义、函数导数、排列组合、正态分布、双曲线、高斯函数|单选注重基础，多选结合数学文化（高斯函数）与实际情境（正态分布），梯度分明| |填空题|3题/15分|二项式定理、数列公共项、三棱锥体积|第14题分两问，从基础体积计算到最值探究，考查空间观念与运算能力| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何翻折与二面角、独立性检验与分布列、函数导数综合、椭圆与抛物线综合|立体几何翻折问题（第16题）考查空间想象与推理，统计案例（第17题）体现数据观念，函数导数（第18题）与圆锥曲线（第19题）综合考查逻辑推理与模型应用，契合高考命题趋势|

2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D D A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．20 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以， 即.     因为，所以，，又已知，所以. （6分） （2）因为的面积为，所以，解得，     由余弦定理，得，所以，     所以，     所以的周长为. （13分） 16．（15分） 【解析】（1）证明：取的中点为P，连接，， 因为，， 所以，即为平行四边形，（3分） 所以， 又平面,平面MBD； 所以平面MBD； （6分） （2）取的中点O， 由平面平面，且， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 不妨设，则，， ，所以，. （9分） 设平面的法向量为， 则， 即，令，即， 又平面的法向量，（13分） 所以， 所以二面角的余弦值为. （15分） 17．（15分） 【解析】（1）设零假设：工厂生产班次与产品质量无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即工厂生产班次与产品质量有关，该推断犯错误的概率不超过0.05．（5分） （2）依题意，从全部产品中随机抽取出一个优秀品的概率为， 从全部产品中随机抽取出一个早班产品的概率为， 由已知的可能取值有， 故随机变量，（8分） ，， ，（12分） 则的分布列为 0 1 2 ． 由列联表可得， 所以．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . （4分） （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . （7分） ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. （11分） （3）将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即，（13分） 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立，（15分） 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点为，即， 又直线与椭圆交于A，B两点，且过椭圆的左焦点， 根据椭圆的定义，的周长为，所以， 可得， 所以椭圆的标准方程为．（4分） （2）①联立直线与椭圆方程，可得， 整理得. 设，， 所以，. （6分） 由（1）可知，椭圆的焦点为，， 所以，， 所以 ， ．（9分） ②不存在最大值，理由如下： 直线的方程为，联立直线与抛物线方程得， 即， 设，，故， 所以，同理，（13分） 所以 ， 因为，故，取值区间为开区间，取不到，所以单调递增，无最大值．（17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：全部内容 : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 : 1.设(1+i)(x-i)=2,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+y=() 尽 A.1 B.√5 C.5 D.2 2.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1},则(CA)B=() A.{-2 B.{-2,2 C.{0,1,2 D.{-2,0,1,2} : : 3.在等差数列{a}中，4+34+43=15，则3-43的值为() A.3 B.6 C.9 D.12 : 只需要把三smx图象上()，即可得到ysm 的图象 : 4 A,各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移汇个单位长度 4 B.各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的号，再向右平移亚个单位长度 : C.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移严个单位长度 : D.各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移”个单位长度 BA BC BA BC 1 5. 若非零向量BA与BC满足 AC=0,且 BA BC 则三角形ABC为() BA BC A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 6.已知偶函数f(x),当x>0时，f(x)=x2-f”(1)x+2,则f(x)的图象在点(-2，f(-2)处的切线的斜率 : 为() 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 A.-3 B.3 C.-5 D.5 7.将六个数0、1、2、9、19、20按任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个 数是() A.498 B.516 C.534 D.546 8.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2√5，以C为圆心，√3为半径作圆.点P在 对角线BD上，直线PE与圆相切于点E,则PA+P的最小值为() A.2√5 B.√6 C.35 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：克).若X~N(600,σ)，其中。>0，则 () A.P(X<600)=2 1 B.P(592<X<598)<P(602<X<606) C.P(X<595)=P(X>605) D.o越小，P(X<598)越大 10.已知耳、耳分别是双曲线C:x2-y2=d(a>0)的左、右焦点，点P是C上任意一点，O为坐标原点， 则下列结论正确的有() A.C的离心率为√2 B.点P到C的两条渐近线的距离之积为a C.若PR⊥PE,则oP=√2a D.IPRI PE|=OP 11.高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的称号，用其名字命名的“高斯函数 为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如[-2.6]=-3，[4.3]=4.已知 函数f(x)=cosx+cosx,函数8(x)=f(x)门，则下列说法中正确的有() A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)图象关于点(m,O)(其中k∈Z)成中心对称 C.函数g(x)的值域是{0,1,2} D.方程g(x)=x有且仅有两个实数根 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 6 12.2Wx+F 的展开式中常数项的二项式系数为 13.已知kmeN,将数列2k-与-的公共项从小到大排列得到新数列{a,多，则二+上++上= aa 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 14.在三棱锥P-ABC中，AB=6,BC=8,AC=10, (1)若PA⊥平面ABC,PA=3,则三棱锥的体积为一： (2)若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A、B、C的对边分别是a,b,c,已知V3sinA+cos(A+B)=cos(A-B),B为锐 角 (1)求角B的大小： (2)若b=2√7，△ABC的面积为3√5，求△ABC的周长. 16.(15分) 如图1，在边长为2等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的中点.将△ADE沿DE翻折到△MDE的 位置并使得平面MDEL平面DECB,连接MB,MC得到图2，点N为MC的中点. M B 图1 图2 (1)证明：ENIW平面MBD: (2)求二面角B-MD-E的余弦值大小 17.(15分) 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之 间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测， 得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值=0.05的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关： (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个 数为X,早班产品的个数为Y.求出X的分布列与期望，并判断P(X=2|Y=2)与P(X=2)的大小关系（直 接写出结论，无需证明)· 试题第3页（共6页） n(ad-be) 附：X=a+bc+d(a+cb+d P(x2≥k) 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 年 18.(17分) 己知函数f(x)=(x+1)ex-e2x,a>0 张 O (1)当a=2时，求f(x)的最小值： (2)若当x≥0时，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围： 2x (3)若关于x的方程f +e二=m+e+1有两个不等实根，，证明：e3+e5>a x 数 游 : 19.(17分) 已知椭圆：C1: +厅=1(a>b>0)的左右焦点分别为R,R,且其中一个焦点与抛物线C,:y=4 x2.y2 的焦点重合，直线x=my-1与椭圆交于A,B两点，△ABF的周长为8. F D 燮 (1)求椭圆的标准方程： (2)若斜率为的直线A耳与抛物线交于C,D两点，斜率为k的直线B耳与抛物线交于E,F两点. 11 ①求k 1 -(用含m的代数式表示)： m<,试判断©DB是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说 试题第4页（共6页) 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，其中，是实数，是虚数单位，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 5．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 6．已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（     ） A． B． C． D．σ越小，越大 10．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，．已知函数，函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数图象关于点（其中）成中心对称 C．函数的值域是 D．方程有且仅有两个实数根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项的二项式系数为__________. 13．已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 14．在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 16．（15分） 如图1，在边长为等边中，点D､E分别为边､上的中点.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值大小. 17．（15分） 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 18．（17分） 已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 19．（17分） 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A]B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 栽 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分） 阳 12 13 14. ! 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) M E B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) F D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，其中，是实数，是虚数单位，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 5．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 6．已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（     ） A． B． C． D．σ越小，越大 10．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，．已知函数，函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数图象关于点（其中）成中心对称 C．函数的值域是 D．方程有且仅有两个实数根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项的二项式系数为__________. 13．已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 14．在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 16．（15分） 如图1，在边长为等边中，点D､E分别为边､上的中点.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值大小. 17．（15分） 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 18．（17分） 已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 19．（17分） 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，其中，是实数，是虚数单位，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】, 为实数，所以, 故选：D. 2．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，又因， 则. 3．在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 4．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 5．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 6．已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，，解得：， 当时，； 当时，，， 又为偶函数，，即时，， 则，. 故选：A. 7．将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将六个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个， 其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种， “19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种， “20”和“19”都出现2次的排法有种， 因此满足条件的位数的个数为：. 故选：A. 8．如图，在矩形中，，以为圆心，为半径作圆．点在对角线上，直线与圆相切于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图①所示，分别以为轴建立平面直角坐标系，连接, 则,，直线 所以， ， 即 故上式相当于点到点的距离之和，且， 即, 如图②所示，作关于轴的对称点， 则, 所以. 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 【答案】AC 【解析】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 10．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．的离心率为 B．点到的两条渐近线的距离之积为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【解析】由双曲线化为标准方程形式：可得：， 对于A选项：的离心率，故A正确； 对于B选项：的两条渐近线方程为：， 设，则点到两条渐近线的距离分别为， 所以，故B错误； 对于C选项： 因为且点为的中点，所以，故C正确； 对于D选项：因为为的中点，可得，两边平方结合余弦定理得出 ， 又因为， 所以，故D正确； 11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，．已知函数，函数，则下列说法中正确的有（    ） A．函数为偶函数 B．函数图象关于点（其中）成中心对称 C．函数的值域是 D．方程有且仅有两个实数根 【答案】AC 【解析】对于A选项，由，可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，由画出函数图象如图： 由图观察可知函数图象不关于点（其中）成中心对称，故B选项错误； 对于C选项，由题可得 ，， 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 所以函数的值域是，故C选项正确； 对于D选项，若，则方程，即， 但，所以此时无解； 若，则方程，即，但， 因为，所以，所以，满足题意， 若，则方程，即，但，不满足题意， 所以方程只有一个实数根为，故D选项错误， 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中常数项的二项式系数为__________. 【答案】20 【解析】此二项式展开式的通项公式为， ，则当时，对应的为常数项， 故常数项的二项式系数为， 故答案为：20. 13．已知，将数列与的公共项从小到大排列得到新数列，则________． 【答案】 【解析】已知，数列的项为正奇数， 当为奇数时，设，则是偶数，则数列与没有公共项； 当为偶数时，设，则是奇数，符合要求，则数列与的公共项就是， 即， 故. 14．在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 【答案】 【解析】（1）因为， 所以是的直角三角形，所以， 因为平面，所以三棱锥的体积为； （2）若，则到平面的距离的最大值为点到直线的距离，为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 若，则到平面的距离的最大值为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 若，则到平面的距离的最大值为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 因为， 所以三棱锥体积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角、、的对边分别是，，，已知，为锐角. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【解析】（1）因为， 所以， 即.     因为，所以，，又已知，所以. （2）因为的面积为，所以，解得，     由余弦定理，得，所以，     所以，     所以的周长为. 16．（15分） 如图1，在边长为等边中，点D､E分别为边､上的中点.将沿翻折到的位置并使得平面平面，连接，得到图2，点N为的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值大小. 【解析】（1）证明：取的中点为P，连接，， 因为，， 所以，即为平行四边形， 所以， 又平面,平面MBD； 所以平面MBD； （2）取的中点O， 由平面平面，且， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 不妨设，则，， ，所以，. 设平面的法向量为， 则， 即，令，即， 又平面的法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 17．（15分） 工厂的早班和晚班生产同种产品，且两个班次生产的产品数量相同.为探究工厂生产班次与产品质量之间是否存在关联，采用分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的产品中随机抽取出100个进行质量检测，得到如下列联表： 优秀品 合格品 合计 早班 20 30 50 晚班 10 40 50 合计 30 70 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析工厂生产班次与产品质量是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从工厂当日生产的产品中随机抽取2个做进一步检测，记其中优秀品的个数为X，早班产品的个数为Y．求出X的分布列与期望，并判断与的大小关系（直接写出结论，无需证明）. 附： 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【解析】（1）设零假设：工厂生产班次与产品质量无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即工厂生产班次与产品质量有关，该推断犯错误的概率不超过0.05． （2）依题意，从全部产品中随机抽取出一个优秀品的概率为， 从全部产品中随机抽取出一个早班产品的概率为， 由已知的可能取值有， 故随机变量， ，， ， 则的分布列为 0 1 2 ． 由列联表可得， 所以． 18．（17分） 已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)若当时，恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，证明：. 【解析】（1）当时，， . 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 故在处取得最小值， . （2）当时，恒成立， 即， 即. 令，即求在时恒成立， . ①当时，恒成立，故在上单调递减， 则当时，恒成立； ②当时，在上单调递减，且， 则在上恒成立，故在上单调递增， 则成立，与题干矛盾，舍掉； ③当时，恒成立，故在上单调递增， 则恒成立，与题干矛盾，舍掉. 综上所述，满足要求. （3）将代入，原方程化为， 即， 则有， 两式相减，得， 即， 故原不等式变形为. 不妨令，不等式两端同时除以，则不等式可变形为. 令，则不等式可继续变形为， 即证在时恒成立， 故令， 则恒成立， 故在时单调递增，则恒成立， 故命题得证. 19．（17分） 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8．    (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点． ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点为，即， 又直线与椭圆交于A，B两点，且过椭圆的左焦点， 根据椭圆的定义，的周长为，所以， 可得， 所以椭圆的标准方程为． （2）①联立直线与椭圆方程，可得， 整理得. 设，， 所以，. 由（1）可知，椭圆的焦点为，， 所以，， 所以 ， ． ②不存在最大值，理由如下： 直线的方程为，联立直线与抛物线方程得， 即， 设，，故， 所以，同理， 所以 ， 因为，故，取值区间为开区间，取不到，所以单调递增，无最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $