2.3一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识回顾（不同解法表格）和情境引入（因式分解形式设问）搭建支架，引导学生从已学解法过渡到新知，观察归纳韦达定理。 其亮点在于以探究活动（如多个方程验证因式分解）培养数学思维（推理能力），通过典型例题与变形练习（如两根和差、倒数和）强化数学语言表达，注重判别式前提。学生提升运算与应用能力，教师获得结构化教学资源，提高教学效率。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 学 习 目 标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系；（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点） 知识回顾 一元二次方程的不同解法: 方法 理论依据 适用范围 关键步骤 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 所有一元二次方程 (x+m)2＝n（n ≥ 0） 一边是0,另一边是易于分解成两个一次因式的乘积的方程 所有一元二次方程 平方根的意义 完全平方公式 配方 如果两个因式乘积为0，那么这两个因式至少有一个为0 开平方 配方 代入求根公式 分解因式 情境引入 如果ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1，x2是实数)，那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个实数根x=x1，x=x2。 反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗？ 新知探究 探究一：探索一元二次方程的根与系数的关系 (1)2x2-3x+1=0的两个根为x1=，x2=1，那么2x2-3x+1与2()()相等吗？换几个一元二次方程再试一试. (2)你认为ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立？与同伴进行交流. 2x2-3x+1=2()(). 如：2x2+5x+2=0的两根为x1=-2，x2=，那么2x2+5x+2=2()(). x2+2x-3=0的两根为x1=-3,x2=1，那么x2+2x-3=()()等.答案不唯一. 一定成立. 新知探究 ax2+bx+c与a(x-x1)(x-x2)的关系： 知识归纳 如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 新知探究 根据上面的结论，你能发现一元二次方程ax2+bx+c=0的系数与它的两个根x1，x2之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流. 当x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根时，根据上面的结论有 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 所以 ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2。 所以 于是 为什么对应系数相等呢？ 提示：因为两个多项式相等，所以它们各项的对应系数相等. 新知探究 知识归纳 一元二次方程根与系数的关系： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，那么 ，. 又叫韦达定理. 注意：方程必须是一元二次方程，且要化为一般形式； 方程必须有实数根，即在 b2-4ac≥0的前提下. 根与系数的关系又可以表述为： 一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 新知探究 例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2-4ac = 72 –4×1×6=25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2-4ac = (- 3)2 –4×2×(-2)=25>0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 新知探究 1.若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( ) A．－10 B．10 C．－16 D．16 A 新知探究 探究二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 分析：首先根据根与系数的关系公式计算出x1 + x2 和x1 x2的值.然后通过对式子变形后，代入x1 + x2 和x1 x2的值求解. 解:根据根与系数的关系得：x1 + x2 ==x1 x2==-1. （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=(-1)+()+1=. （2）= 设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2). 新知探究 根与系数关系的常见的变形： 知识归纳 (1) ; (2)； (3)=； (4)=; (5)()()=+a()+a2. 注意：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 新知探究 2.若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为( ) A．－1或2 B．1或－2 C．－2 D．1 D 典例分析 若x=-5是关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根，求m的值及另一个根。 例1 解法一:设方程的另一个根为x1。 由根与系数的关系，知-5+x1=-1，-5x1=m, ∴x1=4，m=-20。 ∴方程的另一个根为x=4，m的值为-20。 解法二:∵方程x2+x+m=0的一个根是x=-5, ∴25-5+m=0，解得m=-20, ∴方程为x2+x-20 =0, 整理,得(x+5)(x-4)=0,解得x1=4,x2=-5， ∴方程的另一个根为x=4，m的值为 -20。 典例分析 已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2 -2=0. (1)若该方程有两个实数根,求实数m的最小整数值. (2)若方程的两个实数根分别为x1，x2，且+m2=21，求m的值. 例2 (2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1·x2=m2 -2, ∵(x1-x2)2+m2=21， ∴ (x1+x2)2-4x1x2+m2=21， 整理，得m2+4m-12=0,解得m1=2，m2=-6. 由(1)可知m≥，∴m的值为2． 解：(1)根据题意，得= (2m+1)2 –4(m2-2)≥0， 解得m≥. ∴m的最小整数值为-2. 巩固练习 1.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两根，则x1+x2的值是(　　) A．0 B．2 C．－2 D．4 2.已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　　) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 3.设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x12+x22＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 B A C 4.已知方程x2-x＝2，则下列说中，正确的是（ ） A.方程两根和是1 B.方程两根积是2 C.方程两根和是-1 D.方程两根积是两根和的2倍 巩固练习 5.若关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+ m2 +1=0有两个实数根x1，x2满足= 1，则m的值为（ ） A.1或5 B.1或-5 C.-5 D.5 A C 巩固练习 6.若m，n是一元二次方程 x2-5x+2=0 的两个实数根，则m+(n-2)2的值为 . 7 7.若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2=       . 8.设m、n是一元二次方程x2+3x-7＝0的两个根，则m2+4m+n=         . 5 4 9.已知关于x的一元二次方程x2＋kx－1＝0，若方程的两根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k＝________. 1 巩固练习 10.利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积: (1)-2x2+3=0； (2)3x(x-2)=5。 解：这里 a =-2 , b =0 , c =3. = b2-4ac = 02 –4×(-2)×3=24>0. ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根是x1, x2, 那么x1 + x2 = 0 , x1 x2 = . (2)原方程化为一般式为3x2-6x-5=0， 这里 a = 3 , b = -6 , c = -5. = b2-4ac = (- 6)2 –4×3×(-5)=96>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么x1 + x2 =2, x1 x2 = . 巩固练习 11.关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0， (1)a为何值时，方程的一根为0? (2)a为何值时，两根互为相反数？ 解：(1)由方程的一根为0，可得－a＋1＝0. ∴a＝1. (2)设方程的两根分别为x1，x2， ∵两根互为相反数， ∴x1＋x2＝0. ∴＝0. ∴a＝±2. ∵当a＝－2时，方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0无解， ∴a＝2.　 巩固练习 12.关于x的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围. （2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解：（1）由Δ=(k+2)2－4k·＞0，解得k＞－1. 又∵k≠0 ，∴ 的取值范围是k＞－1，且k≠0. （2）不存在符合条件的实数k. 理由如下：设方程的两根分别为，， 则由根与系数的关系有：，. 又，则,∴ =-2. 由（1）知，k＞－1，且k≠0，所以当 =-2时，Δ＜0，方程无实数根. ∴ 不存在符合条件的实数. 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 内容 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，那么，.(又叫韦达定理) 应用 根与系数关系的常见的变形： (1) ; (2)； (3)=； (4)=; (5)()()=+a()+a2. 作业布置 1.必做题：习题2.3第1~4题。 2.探究性作业：习题2.3第5题。 感谢聆听! $