第22章相似形单元测试卷 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 沪科版九上数学第22章相似形单元卷，120分钟120分，覆盖相似判定、位似、应用等核心知识，结合生活情境与跨学科案例，适配单元复习，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似多边形判定、位似性质、相似三角形应用|基础概念辨析，如矩形相似判定（题1）| |填空题|8/24|黄金分割、重心、相似比计算|结合文化（汉字黄金分割题12）与物理（小孔成像题13）| |解答题|5/56|相似证明、位似作图、实际应用（太阳能路灯题22）、几何综合（题23）|分层设计，压轴题融合正方形、菱形中的相似，培养创新意识|

2026-2027学年九上数学沪科版第22章相似形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：120分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列个矩形中，相似的是（ ） ①长为，宽为；②长为，宽为；③长为，宽为 A．①②和③ B．①和② C．①和③ D．②和③ 2．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平地上、两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别在、上各找一点、，已知，，若测量得米，则、两点间的距离为（    ） A．8米 B．32米 C．48米 D．64米 4．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，原点为位似中心．已知点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 8．在如图的正方形网格图中，、、、都是格点，、相交于点，则的比值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝3，△ADC 的面积为 1，则△ABC 的面积为（    ） A．9 B．8 C．3 D．2 10．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知，____． 12．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 14．如图，点G是的重心，DE过点G，，，那么BF：CF=_______． 15．如图，四边形的对角线交于点O，，如果，那么的值是 ____． 16．如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 17．如图，在矩形中，，点分别在上，，点在矩形的边上，则当为直角三角形时，的长为_____．    18．如图，矩形内接于，且边落在上，如果，，，，那么的长为________ 三、解答题 19．（8分）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点， (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 20．（10分）如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． (1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； (2)在(1)的情况下直接写出点的坐标． 21．（12分）【问题背景】（1）如图1，与交于点，过点的直线分别与交于两点，求证：． 【问题探究】（2）如图2，点，分别是平行四边形边，上的点，连接，交于点，连接并延长交于点． ①如图3，若平行四边形为正方形，分别是边的中点．求证：； ②如图2，求证：． 22．（12分）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 23．（14分）（1）基础：如图1，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，．若，求证：； （2）迁移：如图2，在菱形中，，，点为的中点，点在对角线上．若，求线段的长； （3）拓展：如图3，在矩形中，，点在边上，连接，使得，，两点分别在线段，上，连接，，．当时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第22章相似形单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D A C C A A A 1．C 【分析】判定两个矩形是否相似，可以判断对应边的比是否相等． 【详解】：①与②中矩形长与宽的比分别为 不相似． ①与③中矩形长与宽的比分别为相似． ②与③中矩形长与宽的比分别为 不相似．故选C 【点睛】本题考查了相似多边形的判定：对应边的比相等，对应角的比相等．解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质. 2．A 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，，， ，， ，． ， ， ． 3．D 【分析】证明，列比例式解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 4．D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出点的横坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵， ∴与位似比为， 点的坐标是，点E在第一象限， 点E的坐标是，即， ∴点的横坐标是10． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 6．C 【分析】根据点，的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，原点为位似中心， 点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点E的坐标为，即． 7．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）． 已知是与的公共角，结合各选项条件，判断是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的判定条件． 【详解】解：∵是与的公共角， A、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； B、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； C、，变形为，但不是与、与的夹角，不满足判定条件，不能判定相似，此选项符合题意； D、，变形为，结合，两边成比例且夹角相等，可判定，此选项不符合题意． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键，设小正方形的边长为，由相似三角形的判定和性质可求，的长，通过证明，可得，可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，过点作于，设与的交点为，与交于点，小正方形的边长为1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 9．A 【分析】由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出，结合△ADC的面积为1，即可求出△ABC的面积． 【详解】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， . ∵S△ACD=1， ∴S△ABC=9， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题关键． 10．A 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 11． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．/ 【详解】解：∵，， ∴． 13． 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 14． 【分析】连接并延长，交于H，先根据重心的性质，得出，再由平行线分线段成比例定理，得出，． 【详解】 如图，连接并延长，交于H， ∵点G是的重心， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 15． 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键．由，证明得 ，则， ，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的值是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高线的比、对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．2或5或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论，以免漏解． 分三种情况： ①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵矩形 ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， 分三种情况：①当时，如图，    ∵，点在矩形的边上， ∴点与点A重合， ∴； ②当时，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 综上，当为直角三角形时，的长为2或5或． 故答案为：2或5或． 18． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 设、相交于点，证四边形是矩形，得，由矩形得，得，设，则有，，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，设、相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则有，， ∴， 解得：， 则， 故答案为：． 19．(1) 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由平行四边形得到，即可证明； （2）由得到，再代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．(1) 即为所求： (2) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 21． （1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴． （2）①证明：延长交延长线于点G， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形，分别是边的中点． ∴，， ∴， ∴，即． ②证明：延长交延长线于点G， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 得，，即， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形和平行四边形的性质，解题关键是根据相似三角形的判定证明三角形相似，列出比例式即可证明． （1）根据，证明，，列出比例式即可； （2）①延长交延长线于点G，由（1）的结论即可证明；②类似①的方法利用平行证明三角形相似，再列比例式即可． 【详解】略 22．(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 23．（1）证明：在正方形中，，， ， ， ， ， 即， ， ； （2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质推出，结合可推出结论； （2）连接，过点作，交延长线于，交于，证明，得出，推出，，可推出结果； （3）连接，过点作交于点，交于点，交于点，设，，，根据勾股定理推出．证明四边形为菱形结合，分别得出与，证明得出，即可推出结果． 【详解】（1） 略 （2）解：连接，过点作，交延长线于，交于， 则， ， 又在菱形中，， ，， ， 又， ， ， ， ， 又，，， ，， 在中，， 又，， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作交于点，交于点，交于点，    ， 设，， ， 在中，， ， ． 解得，． ． ，， ．， ．， ． ， ． ．四边形为菱形． ， ． ． ， ， 在菱形中，，， ． 又， ． ． ， ． 解得（舍去负值）． 【点睛】本题是相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $