第三十章 直线与圆的位置关系（单元自测卷·内蒙古专用）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学（内蒙古专用）第三十章“直线与圆的位置关系”单元卷，以切线判定与性质、圆内接多边形等核心知识为载体，融合刘徽割圆术、苯分子结构等文化与科学情境，考查几何直观、推理能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|切线定义（第3题）、内心作图（第4题）|结合苯分子正六边形（第5题）考查圆内角度计算，体现数学眼光| |填空题|4/12|切线性质（第9题）、直角三角形内切圆（第10题）|动态弦中点问题（第12题）培养空间观念| |解答题|6/64|切线证明（第14题）、割圆术应用（第7、8题）|综合考查圆与三角形综合证明（第17题），发展推理能力与数学语言表达|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（内蒙古专用） 第三十章直线与圆的位置关系（参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C ⊙ D B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9.29.5 10 1 11.33° 12. 4V2 三、解答题（共6小题，共64分） 13.(10分) 【详解】 (1)如图，⊙0即为所作… 3分 E 0 C D (2)直线DE与⊙0相切4分 理由如下： 如图，连接OD,5分 点D为BC的中点，点O为AB的中点， 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0D/AC,6分 .DE⊥AC, .DEL0D…8分 ·直线DE经过半径OD的外端， .直线DE与⊙0相切. 10分 14.(7分) 【详解】 (1)证明： AB为半圆O的直径， ADB- 01分 又BA=BC, .AD=CD.3分 (2)连接0D.4分 ...AD-CD,AO-OB, .0D为△ABC的中位线5分 ∴.OD/BC .DE⊥BC, ODDE. 又OD是半圆0的半径， .DE为半圆0的切线。7分 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(10分) 【详解】 ①AEAE2ADE25 ABE,ADE25…m 2分 (2)如图，连接OA… 3分 由圆周角定理，得∠AOC=2∠B. B 0 .∵AB=AC, :人B, 4分 A0C=2C.5分 ..∠ .AC切⊙0于点A <0AC 90… .7分 ∴.∠C=30, OA=OC44i44…8s分 2 .∵0A=OE, .0A=0E-CE=29分 O0半径的长为210分 16.(12分) 【详解】 (1)证明： .⊙O是△ABC的内切圆 .ODLBC,OE⊥AC.2分 又，∠C=90°， .四边形0DCE是矩形.4分 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∵OD=OE, ∴四边形ODCE是正方形. 6分 (2)∠C=90°，AC=6,BC=8, 六AB=AC2+BC-=108分 由切线长定理， 得AF=AE,BD=BF,CD=CE, 9分 ∴.CD+CE =BC+AC-BD-AE =BC+AC-AB =4, .10分 则CE=2. 即⊙0的半径为2. 12分 17.(12分) 【详解】 证明：(1).AB为⊙O的直径， ∴.AD⊥BC 1分 在Rt△ADB和Rt△ADC中， AB=AC AD=AD3分 .Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)片…4分 (2)直线DE与⊙O相切，5分 理由如下： 连接OD,如图所示： 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由△ABD≌△ACD知：BD=DC,6分 又.OA=OB, .0D为△ABC的中位线，8分 .∴.OD//AC DE⊥AC .∴.OD⊥DE' .10分 :0D为o0的半径， :.直线DE与Oo相切. 12分 18.(13分) 【详解】（①） (1)证明： .DE⊥PE, ·∠DE0=90 1分 ,∠EDB=∠EPB, ∠BOE=∠EDB+∠DEO, ∠BOE=∠EPB+∠OBP, ∠OBP=∠DE0=90,3分 ∴OB⊥PB, 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PB是⑥0的切线4分 (2)解：在Rt△PBD中，PB=6,DB=8, 根据勾股定理，得pPD=V6+8=105分 PD,PB均为⊙O的切线， PC=PB=6,6分 DC=PD-PC=10-6=47分 在Rt△CDO中，设OC=r,则OD=8-r, 根据勾股定理，得8-r2=r2+42 解得r=3, 则回O的半径为38分 (3)解：如图，延长PB,DE相交于点F9分 .PD,PB均为⊙O的切线， .PO平分∠CPB, 小∠DPE=∠FPEl0分 PE⊥DF, ∴.∠PED=∠PEF=90 又，PE=PE, .△PED≌△PEF|ASA,11分 ..PD=PF=10,DE=EF, .∴.BF=PF-PB=10-6=4 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△DBF中， DF=VD B2+BE2=V82+42-4V5 ∠DBF=90,DE=EF, BE-DF-2V5- 13分 717 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】利用切线性质：切线垂直于过切点的直径，结合直角三角形内角和求解。 【详解】 ∵BC是的切线，是的直径， ∴ AB⊥BC，即∠ABC=90°。 在Rt ABC中，∠BAC=35°， ∴ ∠ACB=90°-35°=55°。 故选 C。 2.如图，，是的两条切线，切点分别是，如果，，那么的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】切线性质、切线长定理、等腰三角形、直角三角形边角计算。 【详解】 ∵ ，是的两条切线 ∴ OA⊥ PA，OP平分 ∠AOB。 ∵∠AOB=120° ∴ ∠AOP=60° ∴∠APO=30° ∵在RtAOP中，OP=4， ∴PA=2 ∴PA= 故选 B。 3.下列说法中，不正确的是(    ) A. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】D  【分析】辨析切线的定义与判定定理，找出错误说法。 【详解】 A：与圆只有一个公共点的直线是切线，定义正确； B：经过半径外端且垂直半径的直线是切线，判定定理正确； C：圆心到直线距离等于半径的直线是切线，等价判定正确； D：垂直于半径的直线未说明“过半径外端”，不一定是切线，错误。 故选 D。 4.根据尺规作图的痕迹，可以判定点为的内心的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】三角形内心为三条内角平分线交点，根据尺规作图痕迹判断。 【详解】 内心的定义：三角形内角平分线的交点。 只有C选项作图痕迹为三角形内角平分线，交点即为内心。 故选 C。 5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等如图，组成了一个完美的六边形正六边形，图是其平面示意图，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】正多边形内角、外角与夹角计算。 【详解】 正六边形每个内角为120°，根据平面角度关系可得∠1=180°—30°－30°=120°。 故选 B。 6.如图是边长均为的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心、长为半径画圆，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】正多边形内角求扇形圆心角，利用扇形面积公式计算。 【详解】 正八边形内角135°，正六边形内角120°， 阴影扇形圆心角：n=360°-135°-120°=105°，半径r=6。 扇形面积：S=。 故选 C。 7.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法如图，六边形是的内接正六边形，连接若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】圆内接正六边形性质、直径所对圆周角为直角、勾股定理。 【详解】连接AO,与BF交于点H ∵六边形是的内接正六边形 ∴AB=AF，∠A=120°∠ABF=∠AFB=30° ∴AH=1 ∴BF=2BH= 8.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了我国数学发展史上圆周率研究的新纪元某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】圆内接正十二边形面积拆分，利用中心角三角形面积求和。 【详解】 圆半径R=1，正十二边形每条边对应中心角30°， 单个三角形面积：S1=， 总面积：S=。 故选 B。 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，是的切线，点为切点，连接交于，半径，若，则的度数是          ． 【答案】  【分析】分析：切线性质、平行线性质、等腰三角形角度推导。 【详解】连接OA ∵是的切线 ∴∠AOB=62° ∵OA=OC ∴∠OCA=59° ∵ ∴∠DOC=59° =29.5° ∴∠OAB=90° 10.如图，在中，，，，则的内切圆半径为          ． 【答案】  【分析】勾股定理判定直角三角形，直角三角形内切圆半径公式求解 【详解】 ，即， 为直角三角形，且， 的内切圆半径． 11.如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，，点为上的一点且在上方，连接，若，则          ． 【答案】  【分析】切线垂直半径、圆心角与圆周角关系 【解析】如图，连接． 是的切线，切点是， ． 在中，，， ． ． 12.如图，的弦，是上的一个动点，且，，分别为，的中点，则的最大值为          ． 【答案】  【分析】三角形中位线定理、圆周角定值、圆中弦最值问题 【详解】 ∵D、E为中点 ∴DE=BC，DE最大即BC最大。 ∵，AB=8，当BC为直径时最长， ∴最大直径为8 ∴DE=  三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，在中，，点为的中点． 以点为圆心作圆，使该圆经过，，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 过点作于点，判断直线与中所作的的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图,O即为所作.   (2)直线DE与O相切. 理由如下: 如图,连接OD, 点D为BC的中点,点O为AB的中点, OD//AC, DEAC, DEOD, 直线DE经过半径OD的外端, 直线DE与O相切. 14.分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为． 求证： 求证：为半圆的切线． 【答案】 (1) 证明: AB为半圆O的直径, ADB=. 又BA=BC,​​​​​​​ AD=CD.  (2)连接OD. AD=CD,AO=OB, OD为ABC的中位线. OD//BC. DEBC, ODDE. 又OD是半圆O的半径, DE为半圆O的切线.  15.分 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． 若，求的度数 若，，求半径的长． 【答案】 (1) =,ADE=, ABE=ADE=.  (2)如图,连接OA 由圆周角定理,得AOC=2B. AB=AC, C=B, AOC=2C. AC切O于点A, OAC=, C=,OA=OC. OA=OE,OA=OE=CE=2, O半径的长为.   16.12分 如图，在中，，是的内切圆，，，是切点． 求证：四边形是正方形； 如果，，求内切圆的半径． 【答案】 (1) 证明： ∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴OD⊥BC，OE⊥AC． 又∵∠C＝90°， ∴四边形ODCE是矩形． ∵OD＝OE， ∴四边形ODCE是正方形．  (2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴． 由切线长定理，得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE， ∴CD+CE＝BC+AC-BD-AE＝BC+AC-AB＝4， 则CE＝2． 即⊙O的半径为2．  17. 12分 如图，在中，，以为直径的交于点， 过点作，垂足为点． 求证：≌； 判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】 证明：为的直径， ， 在和中， ≌； 直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 由≌知：， 又， 为的中位线， ， ， ， 为的半径， 直线与相切．  18.13分 如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交的延长线于点，连接，，已知，，． 求证：是的切线； 求的半径； 连接，求的长． 【答案】 (1) 证明： ∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴PB是的切线. (2)解：在中，，， 根据勾股定理，得. ∵PD，PB均为的切线， ∴， ∴. 在中，设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 则的半径为3.   (3)解：如图，延长PB，DE相交于点F. ∵PD，PB均为的切线， ∴PO平分， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，， ∴. 在中，， ∵，， ∴. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，是的两条切线，切点分别是，如果，，那么的长度为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，不正确的是(    ) A. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 4.根据尺规作图的痕迹，可以判定点为的内心的是(    ) A. B. C. D. 5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等如图，组成了一个完美的六边形正六边形，图是其平面示意图，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图是边长均为的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心、长为半径画圆，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 7.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法如图，六边形是的内接正六边形，连接若，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了我国数学发展史上圆周率研究的新纪元某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，是的切线，点为切点，连接交于，半径，若，则的度数是           ． 10.如图，在中，，，，则的内切圆半径为           ． 11.如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，，点为上的一点且在上方，连接，若，则           ． 12.如图，的弦，是上的一个动点，且，，分别为，的中点，则的最大值为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，在中，，点为的中点． 以点为圆心作圆，使该圆经过，，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 过点作于点，判断直线与中所作的的位置关系，并说明理由． 14.7分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为． 求证： 求证：为半圆的切线． 15.10分 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． 若，求的度数 若，，求半径的长． 16.12分 如图，在中，，是的内切圆，，，是切点． 求证：四边形是正方形； 如果，，求内切圆的半径． 17.12分 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点． 求证：≌； 判断直线与的位置关系，并说明理由． 18.13分如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交的延长线于点，连接，，已知，，． 求证：是的切线； 求的半径； 连接，求的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(内蒙古专用) 第三十章 直线与圆的位置关系 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.如图，是的直径，是的切线，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 2.如图，，是的两条切线，切点分别是，如果，，那么的长度为(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中，不正确的是(    ) A. 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 B. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 4.根据尺规作图的痕迹，可以判定点为的内心的是(    ) A. B. C. D. 5.苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等如图，组成了一个完美的六边形正六边形，图是其平面示意图，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图是边长均为的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心、长为半径画圆，则阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 7.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法如图，六边形是的内接正六边形，连接若，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了我国数学发展史上圆周率研究的新纪元某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，是的切线，点为切点，连接交于，半径，若，则的度数是           ． 10.如图，在中，，，，则的内切圆半径为           ． 11.如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，，点为上的一点且在上方，连接，若，则           ． 12.如图，的弦，是上的一个动点，且，，分别为，的中点，则的最大值为           ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。 13.10分 如图，在中，，点为的中点． 以点为圆心作圆，使该圆经过，，要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． 过点作于点，判断直线与中所作的的位置关系，并说明理由． 14.7分 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，连接，过点作，垂足为． 求证： 求证：为半圆的切线． 15.10分 如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点． 若，求的度数 若，，求半径的长． 16.12分 如图，在中，，是的内切圆，，，是切点． 求证：四边形是正方形； 如果，，求内切圆的半径． 17.12分 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点． 求证：≌； 判断直线与的位置关系，并说明理由． 18.13分如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交的延长线于点，连接，，已知，，． 求证：是的切线； 求的半径； 连接，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $