26.2.1《二次函数的图象和性质》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，通过梯度化题型覆盖二次函数y=ax²核心知识点，培养抽象能力、推理意识与应用意识，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|抛物线开口方向、顶点、对称轴、增减性等7个核心概念|以选择填空为主，直接对应知识点，如判断开口方向（题1-4）、比较函数值大小（题19-21），强化抽象能力| |进阶思维题|参数求解、函数与直线交点、图象综合分析|含选择、填空、解答题，如已知点求参数（题12-15）、函数性质综合判断（题1-6），发展推理意识| |中考链接题|中考高频考点（开口方向、顶点坐标、点在抛物线上等）|精选中考真题（题1-10），如成都中考题判断开口方向，强化应用意识，衔接阶段测评|

人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax²的图象和性质 本节知识点总结 1. 抛物线的概念：二次函数的图象是一条曲线，叫做抛物线。 2. 二次函数 y = ax² 的图象特征： ① 对称轴：y轴（直线x = 0）； ② 顶点：原点(0, 0)。 3. 当 a > 0 时： ① 抛物线开口向上； ② 顶点是抛物线的最低点； ③ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； ④ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大。 4. 当 a < 0 时： ① 抛物线开口向下； ② 顶点是抛物线的最高点； ③ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大； ④ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 5. |a| 与开口大小的关系： |a| 越大，抛物线的开口越小； |a| 越小，抛物线的开口越大。 6. 描点法画二次函数图象的步骤： ① 列表（选取对称的x值）； ② 描点； ③ 用平滑曲线连接。 7. 抛物线的对称性： 抛物线 y = ax² 关于y轴对称，若点(x, y)在抛物线上，则点(-x, y)也在抛物线上。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 抛物线开口方向与顶点判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）抛物线 y = 3x² 的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）抛物线 y = -2x² 的顶点坐标是（　　） A．(0, 0) B．(2, 0) C．(-2, 0) D．(0, -2) 3．（2024秋·广东广州·月考）下列抛物线中，开口向下的是（　　） A．y = x² B．y = 2x² C．y = x² D．y = -3x² 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）抛物线 y = 5x² 的对称轴是（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x = 5 D．直线y = 5 题型02 抛物线增减性判断 5．（2024秋·浙江杭州·期中）对于抛物线 y = x²，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．当x > 0时，y随x的增大而增大 D．当x < 0时，y随x的增大而增大 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）对于抛物线 y = -2x²，当x > 0时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 7．（2024秋·湖北武汉·期末）在抛物线 y = 3x² 上有两点A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，若x₁ < x₂ < 0，则y₁_______y₂。（填">"、"<"或"="） 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）已知点(-3, y₁)、(-1, y₂)都在抛物线 y = -x² 上，则y₁、y₂的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ B．y₁ > y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 题型03 |a|与开口大小的关系 9．（2024秋·河南郑州·月考）下列抛物线中，开口最大的是（　　） A．y = x² B．y = 2x² C．y = 3x² D．y = ½x² 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）抛物线 y = -4x² 与 y = 2x²，开口较大的是________。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）已知抛物线 y = ax² 的开口比 y = 3x² 的开口大，且开口向下，则a的取值范围是（　　） A．a < 3 B．-3 < a < 0 C．a < -3 D．0 < a < 3 题型04 已知点在抛物线上求参数 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）已知点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上，则a的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．4 13．（2024秋·重庆渝中·月考）若点(m, 18)在抛物线 y = 2x² 上，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．±3 D．±9 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(-1, -3)，则a = ________，该抛物线开口向________。 15．（2024秋·四川成都·期中）已知抛物线 y = ax² 与直线 y = x + 2 交于点(3, b)，求a和b的值。 题型05 抛物线的对称性应用 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）抛物线 y = 2x² 上有一点(3, 18)，则该抛物线关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．(3, -18) B．(-3, 18) C．(-3, -18) D．(18, 3) 17．（2024秋·福建福州·期末）若点A(2, y₁)和点B(-2, y₂)都在抛物线 y = -3x² 上，则y₁与y₂的关系是（　　） A．y₁ > y₂ B．y₁ < y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线 y = ax² 经过点(2, 8)，则它一定还经过点（　　） A．(2, -8) B．(-2, 8) C．(-2, -8) D．(8, 2) 题型06 简单的函数值比较大小 19．（2024秋·山东青岛·月考）已知点(-2, y₁)、(1, y₂)、(3, y₃)都在抛物线 y = x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₁ < y₃ < y₂ 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）已知点(-3, y₁)、(-1, y₂)、(2, y₃)都在抛物线 y = -2x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₃ < y₂ B．y₂ < y₃ < y₁ C．y₁ < y₂ < y₃ D．y₃ < y₂ < y₁ 21．（2024秋·广东深圳·期中）若点A(-5, y₁)和点B(4, y₂)都在抛物线 y = 3x² 上，试比较y₁和y₂的大小。 题型07 描点法画函数图象 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·单元测）在同一坐标系中画出函数 y = x² 和 y = -x² 的图象，并分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标。 23．（2024秋·湖北武汉·月考）在同一坐标系中画出 y = 2x²、y = x²、y = ½x² 的图象，观察并说明|a|的大小与开口大小的关系。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(1, -2)，则下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点在原点 B．开口向下，顶点在原点 C．开口向上，顶点不在原点 D．开口向下，顶点不在原点 2．（2024秋·上海浦东·期末）对于抛物线 y = -x²，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是y轴 B．顶点是(0, 0) C．开口向下 D．有最小值 3．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 y = ax² 的开口比 y = -5x² 的开口大，且开口向上，则a的取值范围是（　　） A．a > 5 B．0 < a < 5 C．-5 < a < 0 D．a < -5 4．（2024秋·江苏苏州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y = ax² 与 y = ax + a（a ≠ 0）的大致图象可能是（　　） A．抛物线开口向上，直线从左下到右上，交y轴正半轴 B．抛物线开口向下，直线从左下到右上，交y轴负半轴 C．抛物线开口向上，直线从左上到右下，交y轴正半轴 D．抛物线开口向下，直线从左上到右下，交y轴正半轴 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知点(-1, y₁)、(2, y₂)、(-3, y₃)都在抛物线 y = 2x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₁ < y₃ < y₂ 6．（2024秋·山东济南·期末）抛物线 y = ax² 与直线 y = 2x + 1 交于点(1, b)，则下列说法正确的是（　　） A．a = 3，抛物线开口向上 B．a = 3，抛物线开口向下 C．a = -3，抛物线开口向上 D．a = -3，抛物线开口向下 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）抛物线 y = -3x² 的对称轴是________，顶点坐标是________，开口向_______，当x_________时，y随x的增大而增大。 8．（2024秋·河北石家庄·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(-2, 12)，则a = _______，当x < 0时，y随x的增大而________。 9．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）若抛物线 y = (m - 1)x^(m²-2) 是关于x的二次函数，且开口向下，则m的值为________。 10．（2024秋·陕西西安·期末）已知点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)都在抛物线 y = -5x² 上，且x₁ < x₂ < 0，则y₁________y₂。（填">"、"<"或"="） 11．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）抛物线 y = ax² 经过点(3, -18)，则它的开口方向是________，函数有最________值，这个最值是________。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(2, 8)。 （1）求a的值； （2）判断该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 13．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知抛物线 y = ax² 与直线 y = kx + 1 交于点(2, m)和点(-2, n)。 （1）求m和n的值； （2）求a和k的值； （3）判断抛物线的开口方向。 14．（2024秋·安徽合肥·期末）如图，在同一坐标系中，抛物线₁: y = ax² 与抛物线₂: y = bx² 的开口大小相同，方向相反。已知抛物线₁经过点(2, 4)。 （1）求a和b的值； （2）说出两条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当x > 0时，两条抛物线中y随x增大而增大的是哪一条？ 15．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点A(1, 3)。 （1）求a的值； （2）若点B(-2, y₁)、C(3, y₂)都在该抛物线上，比较y₁和y₂的大小； （3）若点D(m, 12)也在该抛物线上，求m的值。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）抛物线 y = 4x² 的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（2024·江苏苏州·中考）抛物线 y = -x² 的顶点坐标是（　　） A．(0, 0) B．(1, 0) C．(-1, 0) D．(0, -1) 3．（2024·浙江杭州·中考）关于抛物线 y = 2x²，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是x轴 B．顶点是(2, 0) C．开口向下 D．对称轴是y轴 4．（2024·山东济南·中考）下列抛物线中，开口最大的是（　　） A．y = x² B．y = 3x² C．y = x² D．y = -2x² 5．（2024·湖北武汉·中考）已知点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．-2 D．4 6．（2024·陕西·中考）对于抛物线 y = -3x²，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，有最小值 B．开口向上，有最大值 C．开口向下，有最小值 D．开口向下，有最大值 7．（2024·重庆·中考）已知点(-1, y₁)、(2, y₂)都在抛物线 y = x² 上，则y₁、y₂的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ B．y₁ < y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 8．（2024·广东·中考）抛物线 y = 2x² 与 y = -2x² 相同的性质是（　　） A．开口方向 B．对称轴 C．最值 D．增减性 9．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax² 经过点(1, -4)，则a = ________。 10．（2024·上海·中考）已知抛物线 y = ax² 经过点(-2, 8)。 （1）求a的值； （2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第26章 二次函数 26.2二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax²的图象和性质 本节知识点总结 1. 抛物线的概念：二次函数的图象是一条曲线，叫做抛物线。 2. 二次函数 y = ax² 的图象特征： ① 对称轴：y轴（直线x = 0）； ② 顶点：原点(0, 0)。 3. 当 a > 0 时： ① 抛物线开口向上； ② 顶点是抛物线的最低点； ③ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； ④ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大。 4. 当 a < 0 时： ① 抛物线开口向下； ② 顶点是抛物线的最高点； ③ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大； ④ 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 5. |a| 与开口大小的关系： |a| 越大，抛物线的开口越小； |a| 越小，抛物线的开口越大。 6. 描点法画二次函数图象的步骤： ① 列表（选取对称的x值）； ② 描点； ③ 用平滑曲线连接。 7. 抛物线的对称性： 抛物线 y = ax² 关于y轴对称，若点(x, y)在抛物线上，则点(-x, y)也在抛物线上。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 抛物线开口方向与顶点判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）抛物线 y = 3x² 的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】对于抛物线y = ax²，当a > 0时开口向上，当a < 0时开口向下。 【详解】解：在抛物线 y = 3x² 中，a = 3 > 0， ∴抛物线开口向上。 故选：A。 2．（2024-2025九年级上·上海闵行·期中）抛物线 y = -2x² 的顶点坐标是（　　） A．(0, 0) B．(2, 0) C．(-2, 0) D．(0, -2) 【答案】A 【分析】抛物线y = ax²的顶点都是原点(0, 0)。 【详解】解：抛物线 y = -2x² 的顶点坐标是(0, 0)。 故选：A。 3．（2024秋·广东广州·月考）下列抛物线中，开口向下的是（　　） A．y = x² B．y = 2x² C．y = x² D．y = -3x² 【答案】D 【分析】开口向下要求a < 0。 【详解】解： A. a = 1 > 0，开口向上； B. a = 2 > 0，开口向上； C. a = > 0，开口向上； D. a = -3 < 0，开口向下。 故选：D。 4．（2024-2025九年级上·江苏苏州·单元测）抛物线 y = 5x² 的对称轴是（　　） A．x轴 B．y轴 C．直线x = 5 D．直线y = 5 【答案】B 【分析】抛物线y = ax²的对称轴是y轴（直线x = 0）。 【详解】解：抛物线 y = 5x² 的对称轴是y轴（即直线x = 0）。 故选：B。 题型02 抛物线增减性判断 5．（2024秋·浙江杭州·期中）对于抛物线 y = x²，下列说法正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．当x > 0时，y随x的增大而增大 D．当x < 0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】y = x²中a = 1 > 0，开口向上，对称轴为y轴。x < 0时y随x增大而减小，x > 0时y随x增大而增大。 【详解】解：抛物线 y = x² 中，a = 1 > 0，开口向上，对称轴为y轴。 ∴当x < 0时，y随x的增大而减小； 当x > 0时，y随x的增大而增大。 故选：C。 6．（2024-2025九年级上·山东济南·月考）对于抛物线 y = -2x²，当x > 0时，y随x的增大而（　　） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 【答案】B 【分析】a = -2 < 0，开口向下，x > 0时y随x增大而减小。 【详解】解：抛物线 y = -2x² 中，a = -2 < 0，开口向下，对称轴为y轴。 ∴当x > 0时，y随x的增大而减小。 故选：B。 7．（2024秋·湖北武汉·期末）在抛物线 y = 3x² 上有两点A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，若x₁ < x₂ < 0，则y₁____>____y₂。（填">"、"<"或"="） 【答案】> 【分析】a = 3 > 0，开口向上，x < 0时y随x增大而减小。x₁ < x₂ < 0，所以y₁ > y₂。 【详解】解：抛物线 y = 3x² 中，a = 3 > 0，开口向上，对称轴为y轴。 当x < 0时，y随x的增大而减小。 ∵x₁ < x₂ < 0， ∴y₁ > y₂。 故答案为：>。 8．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）已知点(-3, y₁)、(-1, y₂)都在抛物线 y = -x² 上，则y₁、y₂的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ B．y₁ > y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 【答案】A 【分析】a = -1 < 0，开口向下，x < 0时y随x增大而增大。-3 < -1 < 0，所以y₁ < y₂。 【详解】解：抛物线 y = -x² 中，a = -1 < 0，开口向下，对称轴为y轴。 当x < 0时，y随x的增大而增大。 ∵-3 < -1 < 0， ∴y₁ < y₂。 故选：A。 题型03 |a|与开口大小的关系 9．（2024秋·河南郑州·月考）下列抛物线中，开口最大的是（　　） A．y = x² B．y = 2x² C．y = 3x² D．y = ½x² 【答案】D 【分析】|a|越小，开口越大。比较各选项中|a|的大小。 【详解】解：|a|越小，抛物线开口越大。 A. |a| = 1 B. |a| = 2 C. |a| = 3 D. |a| = ∵ < 1 < 2 < 3， ∴y = x² 的开口最大。 故选：D。 10．（2024-2025九年级上·河北石家庄·期末）抛物线 y = -4x² 与 y = 2x²，开口较大的是___y = 2x²_____。 【答案】y = 2x² 【分析】比较|a|的大小，|a|越小开口越大。 【详解】解：抛物线 y = -4x² 中，|a| = |-4| = 4； 抛物线 y = 2x² 中，|a| = 2。 ∵2 < 4， ∴y = 2x² 的开口较大。 故答案为：y = 2x²。 11．（2024秋·陕西西安·单元测）已知抛物线 y = ax² 的开口比 y = 3x² 的开口大，且开口向下，则a的取值范围是（　　） A．a < 3 B．-3 < a < 0 C．a < -3 D．0 < a < 3 【答案】B 【分析】开口向下则a < 0；开口更大则|a| < 3，即-3 < a < 3。综合得-3 < a < 0。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a < 0。 ∵开口比 y = 3x² 大， ∴|a| < 3，即-3 < a < 3。 综合得：-3 < a < 0。 故选：B。 题型04 已知点在抛物线上求参数 12．（2024-2025九年级上·辽宁沈阳·期中）已知点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上，则a的值为（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．4 【答案】A 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式求解。 【详解】解：∵点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上， ∴当x = 2时，y = 8， 即8 = a × 2²， 8 = 4a， a = 2。 故选：A。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）若点(m, 18)在抛物线 y = 2x² 上，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．±3 D．±9 【答案】C 【分析】将点代入解析式，注意x² = 9有两个解。 【详解】解：∵点(m, 18)在抛物线 y = 2x² 上， ∴当x = m时，y = 18， 即18 = 2m²， m² = 9， m = ±3。 故选：C。 14．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(-1, -3)，则a = ____-3____，该抛物线开口向____下____。 【答案】-3；下 【分析】代入点坐标求a，再根据a的正负判断开口方向。 【详解】解：∵抛物线 y = ax² 经过点(-1, -3)， ∴-3 = a × (-1)²， -3 = a， 即a = -3。 ∵a = -3 < 0， ∴抛物线开口向下。 故答案为：-3；下。 15．（2024秋·四川成都·期中）已知抛物线 y = ax² 与直线 y = x + 2 交于点(3, b)，求a和b的值。 【答案】a = ，b = 5 【分析】先将点代入直线方程求b，再代入抛物线方程求a。 【详解】解：∵点(3, b)在直线 y = x + 2 上， ∴b = 3 + 2 = 5， ∴交点坐标为(3, 5)。 又∵点(3, 5)在抛物线 y = ax² 上， ∴5 = a × 3²， 5 = 9a， a = 。 ∴a = ，b = 5。 题型05 抛物线的对称性应用 16．（2024-2025九年级上·安徽合肥·月考）抛物线 y = 2x² 上有一点(3, 18)，则该抛物线关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．(3, -18) B．(-3, 18) C．(-3, -18) D．(18, 3) 【答案】B 【分析】抛物线y = ax²关于y轴对称，点(x, y)关于y轴的对称点为(-x, y)。 【详解】解：抛物线 y = 2x² 关于y轴对称， 点(3, 18)关于y轴的对称点为(-3, 18)。 故选：B。 17．（2024秋·福建福州·期末）若点A(2, y₁)和点B(-2, y₂)都在抛物线 y = -3x² 上，则y₁与y₂的关系是（　　） A．y₁ > y₂ B．y₁ < y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 【答案】C 【分析】抛物线关于y轴对称，横坐标互为相反数的点纵坐标相等。 【详解】解：抛物线 y = -3x² 关于y轴对称， 点A(2, y₁)和点B(-2, y₂)关于y轴对称， ∴y₁ = y₂。 故选：C。 18．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）已知抛物线 y = ax² 经过点(2, 8)，则它一定还经过点（　　） A．(2, -8) B．(-2, 8) C．(-2, -8) D．(8, 2) 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性，关于y轴对称的点都在抛物线上。 【详解】解：抛物线 y = ax² 关于y轴对称， ∵抛物线经过点(2, 8)， ∴它一定还经过点(2, 8)关于y轴的对称点(-2, 8)。 故选：B。 题型06 简单的函数值比较大小 19．（2024秋·山东青岛·月考）已知点(-2, y₁)、(1, y₂)、(3, y₃)都在抛物线 y = x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₁ < y₃ < y₂ 【答案】B 【分析】方法一：分别计算函数值比较。方法二：利用开口向上时，离对称轴越远函数值越大。 【详解】解：抛物线 y = x² 开口向上，对称轴为y轴。 开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大。 点(-2, y₁)到y轴的距离为2； 点(1, y₂)到y轴的距离为1； 点(3, y₃)到y轴的距离为3。 ∵1 < 2 < 3， ∴y₂ < y₁ < y₃。 故选：B。 20．（2024-2025九年级上·江苏南京·期末）已知点(-3, y₁)、(-1, y₂)、(2, y₃)都在抛物线 y = -2x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₃ < y₂ B．y₂ < y₃ < y₁ C．y₁ < y₂ < y₃ D．y₃ < y₂ < y₁ 【答案】A 【分析】开口向下时，离对称轴越远函数值越小。 【详解】解：抛物线 y = -2x² 开口向下，对称轴为y轴。 开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小。 点(-3, y₁)到y轴的距离为3； 点(-1, y₂)到y轴的距离为1； 点(2, y₃)到y轴的距离为2。 ∵3 > 2 > 1， ∴y₁ < y₃ < y₂。 故选：A。 21．（2024秋·广东深圳·期中）若点A(-5, y₁)和点B(4, y₂)都在抛物线 y = 3x² 上，试比较y₁和y₂的大小。 【答案】y₁ > y₂ 【分析】开口向上，比较两点到对称轴的距离，距离越远函数值越大。 【详解】解：抛物线 y = 3x² 开口向上，对称轴为y轴。 开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大。 点A(-5, y₁)到y轴的距离为|-5| = 5； 点B(4, y₂)到y轴的距离为|4| = 4。 ∵5 > 4， ∴y₁ > y₂。 题型07 描点法画函数图象 22．（2024-2025九年级上·浙江宁波·单元测）在同一坐标系中画出函数 y = x² 和 y = -x² 的图象，并分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标。 【答案】见详解 【分析】利用描点法画图，列表取对称的x值。 【详解】解：（1）列表： x -2 -1 0 1 2 4 1 0 1 4 -4 -1 0 -1 -4 （2）描点，用平滑曲线连接，得到图象如上图。 （3）性质： y = x²：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0, 0)； y = -x²：开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0, 0)。 23．（2024秋·湖北武汉·月考）在同一坐标系中画出 y = 2x²、y = x²、y = ½x² 的图象，观察并说明|a|的大小与开口大小的关系。 【答案】|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大 【分析】通过画图观察三条抛物线的开口大小。 【详解】解：（1）列表： x -2 -1 0 1 2 8 2 0 2 8 4 1 0 1 4 2 0.5 0 0.5 2 （2）描点连线，图象如上图。 （3）观察发现： |a|越大，抛物线的开口越小； |a|越小，抛物线的开口越大。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(1, -2)，则下列说法正确的是（　　） A．开口向上，顶点在原点 B．开口向下，顶点在原点 C．开口向上，顶点不在原点 D．开口向下，顶点不在原点 【答案】B 【分析】先求a的值，再判断开口方向和顶点。 【详解】解：∵抛物线 y = ax² 经过点(1, -2)， ∴-2 = a × 1²，a = -2。 ∵a = -2 < 0，∴开口向下。 抛物线 y = ax² 的顶点都在原点(0, 0)。 故选：B。 2．（2024秋·上海浦东·期末）对于抛物线 y = -x²，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是y轴 B．顶点是(0, 0) C．开口向下 D．有最小值 【答案】D 【分析】a = - < 0，开口向下，顶点是最高点，有最大值，没有最小值。 【详解】解：抛物线 y = -½x² 中，a = - < 0， ∴开口向下，顶点(0, 0)是最高点，函数有最大值0，没有最小值。 对称轴是y轴。 ∴A、B、C正确，D错误。 故选：D。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·期末）已知抛物线 y = ax² 的开口比 y = -5x² 的开口大，且开口向上，则a的取值范围是（　　） A．a > 5 B．0 < a < 5 C．-5 < a < 0 D．a < -5 【答案】B 【分析】开口向上则a > 0；开口更大则|a| < 5。综合得0 < a < 5。 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a > 0。 ∵开口比 y = -5x² 大， ∴|a| < |-5| = 5，即-5 < a < 5。 综合得：0 < a < 5。 故选：B。 4．（2024秋·江苏苏州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y = ax² 与 y = ax + a（a ≠ 0）的大致图象可能是（　　） A．抛物线开口向上，直线从左下到右上，交y轴正半轴 B．抛物线开口向下，直线从左下到右上，交y轴负半轴 C．抛物线开口向上，直线从左上到右下，交y轴正半轴 D．抛物线开口向下，直线从左上到右下，交y轴正半轴 【答案】A 【分析】分a > 0和a < 0两种情况讨论。a > 0时抛物线开口向上，直线斜率为正，截距为正。 【详解】解：分两种情况： ① 当a > 0时： 抛物线 y = ax² 开口向上； 直线 y = ax + a 斜率为正（从左下到右上），与y轴交于正半轴(0, a)。 ② 当a < 0时： 抛物线 y = ax² 开口向下； 直线 y = ax + a 斜率为负（从左上到右下），与y轴交于负半轴(0, a)。 A选项符合a > 0的情况。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）已知点(-1, y₁)、(2, y₂)、(-3, y₃)都在抛物线 y = 2x² 上，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（　　） A．y₁ < y₂ < y₃ B．y₂ < y₁ < y₃ C．y₃ < y₁ < y₂ D．y₁ < y₃ < y₂ 【答案】A 【分析】开口向上，比较各点到y轴的距离，距离越远函数值越大。 【详解】解：抛物线 y = 2x² 开口向上，对称轴为y轴。 点(-1, y₁)到y轴距离为1； 点(2, y₂)到y轴距离为2； 点(-3, y₃)到y轴距离为3。 ∵1 < 2 < 3， ∴y₁ < y₂ < y₃。 故选：A。 6．（2024秋·山东济南·期末）抛物线 y = ax² 与直线 y = 2x + 1 交于点(1, b)，则下列说法正确的是（　　） A．a = 3，抛物线开口向上 B．a = 3，抛物线开口向下 C．a = -3，抛物线开口向上 D．a = -3，抛物线开口向下 【答案】A 【分析】先求b，再求a，最后判断开口方向。 【详解】解：∵点(1, b)在直线 y = 2x + 1 上， ∴b = 2×1 + 1 = 3。 ∴交点坐标为(1, 3)。 ∵点(1, 3)在抛物线 y = ax² 上， ∴3 = a × 1²，a = 3。 ∵a = 3 > 0，∴抛物线开口向上。 故选：A。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）抛物线 y = -3x² 的对称轴是__y轴（直线x=0）______，顶点坐标是____(0, 0)____，开口向____下___，当x____< 0_____时，y随x的增大而增大。 【答案】y轴（直线x=0）；(0, 0)；下；< 0 【分析】根据y = ax²的性质直接判断。 【详解】解：抛物线 y = -3x² 中，a = -3 < 0， 对称轴是y轴（直线x = 0）， 顶点坐标是(0, 0)， 开口向下， 当x < 0时，y随x的增大而增大。 故答案为：y轴（直线x=0）；(0, 0)；下；< 0。 8．（2024秋·河北石家庄·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(-2, 12)，则a = ____3____，当x < 0时，y随x的增大而___减小_____。 【答案】3；减小 【分析】先求a，再根据a的正负判断增减性。 【详解】解：∵抛物线 y = ax² 经过点(-2, 12)， ∴12 = a × (-2)²， 12 = 4a， a = 3。 ∵a = 3 > 0，抛物线开口向上， ∴当x < 0时，y随x的增大而减小。 故答案为：3；减小。 9．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）若抛物线 y = (m - 1)x^(m²-2) 是关于x的二次函数，且开口向下，则m的值为____-2____。 【答案】-2 【分析】二次函数要求最高次数为2且二次项系数不为0；开口向下要求系数小于0。 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴m² - 2 = 2，且m - 1 ≠ 0， 由m² - 2 = 2得m² = 4，m = ±2， 由m - 1 ≠ 0得m ≠ 1。 又∵开口向下， ∴m - 1 < 0，m < 1。 综合得：m = -2。 故答案为：-2。 10．（2024秋·陕西西安·期末）已知点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)都在抛物线 y = -5x² 上，且x₁ < x₂ < 0，则y₁___<_____y₂。（填">"、"<"或"="） 【答案】< 【分析】a = -5 < 0，开口向下，x < 0时y随x增大而增大。 【详解】解：抛物线 y = -5x² 中，a = -5 < 0，开口向下，对称轴为y轴。 当x < 0时，y随x的增大而增大。 ∵x₁ < x₂ < 0， ∴y₁ < y₂。 故答案为：<。 11．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）抛物线 y = ax² 经过点(3, -18)，则它的开口方向是____向下____，函数有最____大____值，这个最值是____0____。 【答案】向下；大；0 【分析】先求a，再判断开口方向和最值。 【详解】解：∵抛物线 y = ax² 经过点(3, -18)， ∴-18 = a × 3²， -18 = 9a， a = -2。 ∵a = -2 < 0， ∴抛物线开口向下，顶点(0, 0)是最高点，函数有最大值0。 故答案为：向下；大；0。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点(2, 8)。 （1）求a的值； （2）判断该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）a = 2；（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点(0, 0)；（3）当x > 0时 【分析】代入点求a，再根据a的正负判断性质。 【详解】解：（1）∵抛物线 y = ax² 经过点(2, 8)， ∴8 = a × 2²， 8 = 4a， a = 2。 （2）∵a = 2 > 0， ∴抛物线开口向上， 对称轴为y轴（直线x = 0）， 顶点坐标为(0, 0)。 （3）∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x > 0时，y随x的增大而增大。 13．（2024-2025九年级上·天津南开·期末）已知抛物线 y = ax² 与直线 y = kx + 1 交于点(2, m)和点(-2, n)。 （1）求m和n的值； （2）求a和k的值； （3）判断抛物线的开口方向。 【答案】（1）m = n = 5；（2）a = 5/4，k = 2；（3）开口向上 【分析】利用点的对称性可知m = n，再分别代入求解。 【详解】解：（1）∵两点都在抛物线上，由对称性知m = n。 ∵两点都在直线上， ∴m = 2k + 1 ① n = -2k + 1 ② ∵m = n， ∴2k + 1 = -2k + 1， 4k = 0，k = 0。 代入①得：m = 0 + 1 = 1。 ∴m = n = 1。 （2）将点(2, 1)代入抛物线 y = ax²： 1 = a × 2²，1 = 4a，a = 。 k = 0（已求）。 （3）∵a = > 0， ∴抛物线开口向上。 14．（2024秋·安徽合肥·期末）如图，在同一坐标系中，抛物线₁: y = ax² 与抛物线₂: y = bx² 的开口大小相同，方向相反。已知抛物线₁经过点(2, 4)。 （1）求a和b的值； （2）说出两条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当x > 0时，两条抛物线中y随x增大而增大的是哪一条？ 【答案】（1）a = 1，b = -1；（2）对称轴都是y轴，顶点都是(0, 0)；（3）L₁（y = x²） 【分析】开口大小相同方向相反说明|a| = |b|且a、b异号。 【详解】解：（1）∵抛物线L₁经过点(2, 4)， ∴4 = a × 2²，4 = 4a，a = 1。 ∵两条抛物线开口大小相同，方向相反， ∴|a| = |b|，且a、b异号。 ∵a = 1 > 0， ∴b = -1。 （2）两条抛物线的对称轴都是y轴（直线x = 0）， 顶点坐标都是(0, 0)。 （3）₁: y = x² 开口向上，当x > 0时，y随x的增大而增大； ₂: y = -x² 开口向下，当x > 0时，y随x的增大而减小。 ∴当x > 0时，y随x增大而增大的是：y = x²。 15．（2024-2025九年级上·福建福州·期末）已知抛物线 y = ax² 经过点A(1, 3)。 （1）求a的值； （2）若点B(-2, y₁)、C(3, y₂)都在该抛物线上，比较y₁和y₂的大小； （3）若点D(m, 12)也在该抛物线上，求m的值。 【答案】（1）a = 3；（2）y₁ < y₂；（3）m = ±2 【分析】先求a，再利用开口向上时离对称轴越远函数值越大来比较，最后代入求m。 【详解】解：（1）∵抛物线 y = ax² 经过点A(1, 3)， ∴3 = a × 1²，a = 3。 （2）抛物线为 y = 3x²，开口向上，对称轴为y轴。 点B(-2, y₁)到y轴距离为|-2| = 2； 点C(3, y₂)到y轴距离为|3| = 3。 ∵2 < 3，开口向上时离对称轴越远函数值越大， ∴y₁ < y₂。 （3）∵点D(m, 12)在抛物线 y = 3x² 上， ∴12 = 3m²， m² = 4， m = ±2。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都·中考）抛物线 y = 4x² 的开口方向是（　　） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】a = 4 > 0，开口向上。 【详解】解：在抛物线 y = 4x² 中，a = 4 > 0， ∴抛物线开口向上。 故选：A。 2．（2024·江苏苏州·中考）抛物线 y = -x² 的顶点坐标是（　　） A．(0, 0) B．(1, 0) C．(-1, 0) D．(0, -1) 【答案】A 【分析】抛物线y = ax²的顶点都是原点。 【详解】解：抛物线 y = -x² 的顶点坐标是(0, 0)。 故选：A。 3．（2024·浙江杭州·中考）关于抛物线 y = 2x²，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是x轴 B．顶点是(2, 0) C．开口向下 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】y = ax²的对称轴是y轴，顶点是原点，a > 0时开口向上。 【详解】解：抛物线 y = 2x² 中，a = 2 > 0，开口向上， 对称轴是y轴（直线x = 0），顶点坐标是(0, 0)。 故选：D。 4．（2024·山东济南·中考）下列抛物线中，开口最大的是（　　） A．y = x² B．y = 3x² C．y = x² D．y = -2x² 【答案】C 【分析】|a|越小，开口越大。 【详解】解：|a|越小，抛物线开口越大。 A. |a| = 1 B. |a| = 3 C. |a| = D. |a| = 2 ∵ < 1 < 2 < 3， ∴y =x² 的开口最大。 故选：C。 5．（2024·湖北武汉·中考）已知点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【答案】B 【分析】将点代入解析式求解。 【详解】解：∵点(2, 8)在抛物线 y = ax² 上， ∴8 = a × 2²， 8 = 4a， a = 2。 故选：B。 6．（2024·陕西·中考）对于抛物线 y = -3x²，下列说法正确的是（　　） A．开口向上，有最小值 B．开口向上，有最大值 C．开口向下，有最小值 D．开口向下，有最大值 【答案】D 【分析】a = -3 < 0，开口向下，顶点是最高点，有最大值。 【详解】解：抛物线 y = -3x² 中，a = -3 < 0， ∴开口向下，顶点(0, 0)是最高点，函数有最大值0。 故选：D。 7．（2024·重庆·中考）已知点(-1, y₁)、(2, y₂)都在抛物线 y = x² 上，则y₁、y₂的大小关系是（　　） A．y₁ > y₂ B．y₁ < y₂ C．y₁ = y₂ D．无法确定 【答案】B 【分析】开口向上，比较两点到y轴的距离。 【详解】解：抛物线 y = x² 开口向上，对称轴为y轴。 点(-1, y₁)到y轴距离为1； 点(2, y₂)到y轴距离为2。 ∵1 < 2，开口向上时离对称轴越远函数值越大， ∴y₁ < y₂。 故选：B。 8．（2024·广东·中考）抛物线 y = 2x² 与 y = -2x² 相同的性质是（　　） A．开口方向 B．对称轴 C．最值 D．增减性 【答案】B 【分析】两条抛物线开口方向相反，最值不同（一个最大一个最小），增减性不同，但对称轴都是y轴。 【详解】解：y = 2x² 开口向上，有最小值，x > 0时y随x增大而增大； y = -2x² 开口向下，有最大值，x > 0时y随x增大而减小。 两条抛物线的对称轴都是y轴。 故选：B。 9．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax² 经过点(1, -4)，则a = ____-4____。 【答案】-4 【分析】将点代入解析式求解。 【详解】解：∵抛物线 y = ax² 经过点(1, -4)， ∴-4 = a × 1²， a = -4。 故答案为：-4。 10．（2024·上海·中考）已知抛物线 y = ax² 经过点(-2, 8)。 （1）求a的值； （2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当x > 0时，y随x的增大如何变化？ 【答案】（1）a = 2；（2）对称轴为y轴，顶点(0, 0)；（3）y随x的增大而增大 【分析】代入点求a，再根据a的正负判断性质。 【详解】解：（1）∵抛物线 y = ax² 经过点(-2, 8)， ∴8 = a × (-2)²， 8 = 4a， a = 2。 （2）抛物线为 y = 2x²， 对称轴为y轴（直线x = 0）， 顶点坐标为(0, 0)。 （3）∵a = 2 > 0，抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当x > 0时，y随x的增大而增大。 学科网（北京）股份有限公司 $