26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（分层作业,8大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数y=ax²图象与性质，通过基础认知、关联理解、综合应用三层递进设计，实现从概念辨析到跨知识综合的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|系数a与图象性质、点代入求值、增减性判断|以选择填空为主，如顶点坐标、对称轴基础题，强化符号意识与运算能力| |关联理解层|函数值比较、多图象对比、对称变换|结合图象辨析a的大小关系，如多抛物线对比题，发展几何直观与推理意识| |综合应用层|与一次函数综合、与几何图形综合|含菱形面积计算、坐标系中最值问题，体现模型意识与应用能力|

26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 知识点一 系数a与图象性质辨析 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 4．（25-26九年级下·河南周口·月考）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点二 函数点代入、求值 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图象经过点． (1)判断这个函数图象的开口方向； (2)点在这个函数图象上，求m的值． 知识点三 基础增减性判断 1．（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末）在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 知识点一 比较函数值大小 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点二 多条y=ax2图象对比分析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 知识点三 抛物线对称变换 1．（25-26九年级上·山东德州·月考）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图象关于x轴对称 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 知识点一 二次函数与一次函数综合 1．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 知识点二 二次函数与平面几何综合 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是_____． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 知识点一 系数a与图象性质辨析 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西崇左·月考）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握形如的抛物线对称轴方程是，顶点坐标为原点是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 4．（25-26九年级下·河南周口·月考）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 知识点二 函数点代入、求值 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入验证是否成立即可． 【详解】A：当时，，点不在抛物线上，故A错误； B：当时，，点在抛物线上，故B正确； C：当时，， 点不在抛物线上，故C错误； D：B说法正确，故D错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）若二次函数的图象过点，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，将点代入函数解析式进行计算即可． 【详解】解：由题知，将点代入得， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图象经过点． (1)判断这个函数图象的开口方向； (2)点在这个函数图象上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图象的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图象的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 知识点三 基础增减性判断 1．（25-26九年级上·新疆吐鲁番·期末）在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握相关知识是解题的关键．二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线，在对称轴右侧随的增大而增大． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 故选：A． 2．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 知识点一 比较函数值大小 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 2．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 知识点二 多条y=ax2图象对比分析 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知四个二次函数的图象如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图象可知的图象和的图象的开口向上，且的图象的开口小于的图象的开口， 则． 根据图象可知的图象和的图象的开口向下，且的图象的开口大于的图象的开口， 则． ∴． 故答案为：． 知识点三 抛物线对称变换 1．（25-26九年级上·山东德州·月考）关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与的图象关于x轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的图象与性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 它是一条抛物线，故原选项正确，不符合题意； B. ∵，∴它的开口向上，且关于y轴对称，故原选项正确，不符合题意； C. ∵的图象开口向上，∴它的顶点是抛物线的最低点，故原选项错误，符合题意； D. 它与的图象关于x轴对称，故原选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）与二次函数关于x轴对称的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的对称，熟练掌握对称的特点是解题的关键． 设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上，则，回代解析式得即，解答即可． 【详解】解：设上的一个点坐标为，关于x轴的对称点为，则一定在抛物线上， 则，回代解析式得即， 故抛物线的表达式为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·上海·课后作业）若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是二次函数的对称轴的确定； 函数的对称轴为轴，点关于轴的对称点即为点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵的对称轴是：直线， ∵点在函数的图象上， ∴关于直线对称， ∴， 故答案为：． 知识点一 二次函数与一次函数综合 1．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图象可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图象可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图象可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图象可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 知识点二 二次函数与平面几何综合 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 【答案】 或或或 【分析】将代入求出点的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ∴点的坐标为； ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ∵ ∴； 当时， ∴ ∴； 当或时， ∵ ∴ ∴ ∴， 综上所述，点的坐标为或或或． 4．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $