第一章 集合与常用逻辑用语单元检测卷2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本试卷聚焦集合与常用逻辑用语单元核心内容，融合梦天实验舱对接、杭州亚运会等真实情境，设计“交替和”“生成集”等新定义问题，考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配高一单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合定义、命题否定、充要条件|第5题以太空对接考充分不必要条件，第8题用亚运会观赛数据考容斥原理| |多选题|3/18|充分条件、集合运算|第10题结合Venn图考查交并补混合运算| |填空题|3/15|元素互异性、子集个数|第14题结合方程根分布考必要不充分条件| |解答题|5/77|集合关系、新定义应用|第18题数集性质P、19题生成集定义，考查创新思维与逻辑论证|

第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷 2026-2027学年 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．下列可以构成集合的是( ) A．2025年我校高一数学期中试卷中的难题 B．高一年级所有高个子男生 C．2025年所有受观众喜爱的影片 D．所有大于3的自然数 2．不小于2的所有整数构成的集合可表示为( ) A． B． C． D． 3．已知命题，则是( ) A． B． C． D． 4．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 5．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中的真命题是( ) A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 7．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为( ) A． B． C． D． 8．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出( ) A．16 B．17 C．18 D．19 二、多选题（共18分） 9．下列命题正确的是( ) A．三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件 B．， C．有些平行四边形是菱形是全称量词命题 D．至少有一个整数，使为奇数是真命题 10．图中阴影部分用集合符号可以表示为( ) A． B． C． D． 11．对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是( ) A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 三、填空题（共15分） 12．若，则实数的值为______． 13．已知集合，则满足条件的集合个数为__________个． 14．已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．设，，，. (1)求，的值及，； (2)求. 17．已知命题，，命题，. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 18．已知数集具有性质P：对任意的i、，与两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）． (1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (2)求的值； (3)证明：． 19．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 集合与常用逻辑用语 单元检测卷 2026-2027学年 高一上学期 数学人教A版必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B A C A A AB AD 题号 11 答案 ABD 1．D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的确定性进行判断 【详解】对于选项A，什么题目是难题是不确定的，所以A不能构成集合； 对于选项B，高个子也没有标准，所以B不能构成集合； 对于选项C，受观众喜爱的影片并非确定的，所以C不能构成集合； 对于选项D，一个数是否是大于3的自然数是可以确定的，所以D可以构成集合. 故选：D 2．D 【知识点】描述法表示集合 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 3．A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以是. 故选：A 4．B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】已知，， 所以. 5．A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由推出关系可确定结论. 【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”， “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件. 故选：A. 6．C 【知识点】判断命题的真假 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 7．A 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：    ；      ；       ；      ；             ；              3；      ；           ；         4.        ；                 ；        ；                ；          1；                            2； 从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为 【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为. 故选: A. 8．A 【知识点】容斥原理的应用 【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，观看过田径类与游泳类比赛的有人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，画出图结合题意求解即可. 【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人， 观看过田径类与游泳类比赛的有人，则， 只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①， 因为有18人没看过球类比赛，所以， 因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，， 所以②，由①②得，则． 故选：A． 9．AB 【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件、判断命题是否为全称命题 【分析】A：结合充分不必要条件的概念即可判断；B：由即可判断；C：全称量词命题的关键词即可判断；D：根据为奇数或偶数分析即可判断. 【详解】A：三角形全等可以推出面积相等，但是面积相等不一定全等，如直角边为4，4的直角三角形和直角边为2，8的直角三角形，三角形面积相等，但是不全等，结合充分必要条件的概念即可判断三角形全等是三角形面积相等的充分不必要条件,所以A正确； B：，故B正确； C：全称量词命题的关键词为所有，全部，都，故C错误； D：，当为奇数时，则为偶数，为偶数；当为偶数时，则为奇数，为偶数，故D错误； 故选：AB. 10．AD 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、利用Venn图求集合 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 11．ABD 【知识点】集合新定义、交并补混合运算 【分析】根据定义，得到，对四个选项一一验证. 【详解】根据定义. 对于A：若,则,,,,∴,故A正确; 对于B：若,则,,,,∴,故B正确; 对于C：若 ,则,,则.故C错; 对于D：左边,右边所以左=右.故D正确. 故选：ABD. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 12．2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，即可求解. 【详解】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 13． 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 14． 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围. 【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题， 时，，符合题意； 当时，，且， 则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意； 当时，由，解得， 此时方程为符合题意； 由解得，此时， 则此时方程有两个负根，符合题意. 综上所述，为真命题时，的取值范围是. 若为真命题的一个必要不充分条件为， 则. 故答案为： 【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解. 15．(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 16．(1)，，， (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】（1）根据，，可求的值，解方程可得集合. （2）根据集合的交集、并集的概念进行运算. 【详解】（1）因为，所以 ， 由 或，所以. 因为，所以 ， 由 或，所以. 所以，，，，. （2）所以，所以 17．(1) (2)或 (3) 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据或且非的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1），可转化个； （2），可转化成方程有两不等实根； （3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案 【详解】（1）若命题p为真命题，则对恒成立， 即，因此，解得. 因此，实数m的取值范围是. （2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根， 所以，则，解得或. 因此，实数m的取值范围是或. （3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题， 则结合（1）（2）得或 ， 因此，实数m的取值范围是 18．(1)数集A不具有性质P，数集B具有性质P，理由见解析 (2)1 (3)证明见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）举反例得到数集A不具有性质P，用列举法得到数集B具有性质P，得到答案. （2）与中至少有一个属于A，，得到答案. （3）根据得到，，…，，，计算得到证明. 【详解】（1）由于与均不属于数集，所以数集A不具有性质P． 由于，，，，，，，，，都属于数集， 所以数集B具有性质P （2）具有性质P，则与中至少有一个属于A．由于，可知，则，从而，所以. （3）由于，可知，则． 又由A具有性质P，可知． 因为，所以，，…，，， 从而， 所以 19．(1) (2)或 (3)证明：， ， ， ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 【知识点】判断是否为同一集合、利用集合元素的互异性求参数、集合新定义 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）略. 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $