专题01 集合（专项训练11大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“概念-关系-运算-应用”为逻辑主线，系统覆盖集合核心题型，突出参数问题分层突破与新定义问题创新探究。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|20+题|数集点集辨析、元素互异性应用|从集合定义到元素特性，构建概念认知基础| |关系运算|30+题|子集个数公式、交并补运算、韦恩图应用|由集合关系到运算规则，形成逻辑推理链| |综合应用|25+题|参数问题（元素/关系/运算）、结构不良问题、新定义问题|从静态关系到动态参数，培养数学思维与创新意识|

专题01 集合 常考题型·精准突破........................................................................................................................1 考点一 集合的概念 题型1 数集与点集 1 题型2 集合中元素的互异性应用（重） 3 题型3 集合元素个数...............................................................................................................................................5 题型4 集合与元素中的参数问题（重） 6 考点二 集合间的基本关系 题型5 子集、真子集的个数 7 题型6 集合间的基本关系中的参数问题（重） 8 考点三 集合的基本运算 题型7 集合的交、并、补运算（高频） 10 题型8 韦恩图和容斥原理（高频） 10 题型9 集合的基本运算中的参数问题（难） 12 题型10 集合中的结构不良问题 14 题型11 集合的新定义问题 17 综合攻坚·知能拔高......................................................................................................................18 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26高一上·天津·期中）下列表述中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 5．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中的元素是的两条边的边长，则（    ） A．一定不是等腰三角形 B．一定不是直角三角形 C．一定不是等边三角形 D．一定不是钝角三角形 2．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． ◆题型3集合元素个数 1．（25-26高一上·云南文山·期末）由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 2．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．已知，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 3．（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 4．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合，，若，则的值为________． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．（2026·湖南长沙·三模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 3．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．满足条件的集合的个数为（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 5．（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．（25-26高一上·上海·阶段检测）若集合的没有真子集，则实数________． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·江西南昌·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北秦皇岛·二模）已知集合 ， ，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津河西·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 3．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 3．（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 6．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．（25-26高一上·北京西城·期中）已知关于的不等式组的解集是，集合. (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. ◆题型11集合的新定义问题 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称子集族构成集合的一个划分．已知集合，则集合的所有划分的个数为__________． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·广东清远·专题练习）已知集合，，则满足B的集合C的个数为（   ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）下列四个命题中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 二、填空题 7．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，则______. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）集合有且仅有一个元素，则实数___________ 9．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 三、解答题 10．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 11．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知集合. (1)若，定义集合且，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件.在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若__________，求实数的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 12．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 13．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 14．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．【答案】C 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 2．【答案】C 【详解】是点集，是数集，故A错误； 是含有元素0的集合，空集是不含任何元素的集合，故B错误； 0是自然数，所以，故C正确； 是有理数，故，故D错误. 故选：C 3．【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. 4．【答案】C 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 5．【答案】BD 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．【答案】C 【详解】由集合中元素的互异性可得，故一定不是等边三角形，故C正确； 可取，设中，，另一边为， 若，则，此时是等腰三角形，故A错误； 若，则有，即，此时是直角三角形，故B错误； 若，则有，即，此时是钝角三角形，故D错误. 故选：C. 2．【答案】BD 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 3．【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 4．【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． ◆题型3集合元素个数 1．【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 2．【答案】C 【详解】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C 3．【答案】C 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 4．【答案】C 【详解】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．【答案】A 【详解】因为，所以，解得，， 故选：A． 2．【答案】D 【详解】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D 3．【答案】AC 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 4．【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．【答案】D 【详解】由题意得，元素个数为，子集个数为. 2．【答案】B 【详解】已知，，且，所以的个数为. 3．【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 4．【答案】B 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2,3,4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为，，； 当集合中含有四个元素时，可为，，； 综上所述满足条件的集合的个数为个. 5．【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．【详解】因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. 故答案为：0 2．【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 3.【答案】D 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 4．【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 5．【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．【答案】B 【详解】由得，所以 即，， 所以． 2．【答案】C 【详解】由题. 3．【答案】B 【详解】. 4．【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 2．【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 3．【答案】B 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得， 所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 4．【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1．【答案】B 【详解】因为集合，且中只有一个元素， 则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 3．【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 4．【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 5．【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．【详解】（1）当时，集合， 且或， 所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．【详解】（1）由不等式组，解得， 因此， 而，则，所以. （2）集合，， 选择条件①：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 2．【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 3．【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. ◆题型11集合的新定义问题 1．【答案】C 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 2．【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 3．【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.BCD 二、填空题 7．2或或 8．或 9． 三、解答题 10．【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 11．【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 12．【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 13．【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或，即. 14．【详解】(1)当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2)将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11， 则只剩4，8可选，由于， 所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)， 若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选， 故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又中只能选1个元素，4，9可以选， 故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为， 则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取， 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素， 经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 常考题型·精准突破 考点一 集合的概念 ◆题型1 数集与点集 1．C 2.C 3.B 4.C 5.BD ◆题型2集合中元素的互异性应用（重） 1．C 2.BD 3．【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 4．【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． ◆题型3集合元素个数 1． 2．C 3．C 4．C ◆题型4集合与元素中的参数问题（重） 1．A 2.D 3.AC 4．【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 考点二 集合间的基本关系 ◆题型5子集、真子集的个数 1．D 2.B 3.B 4.B 5.B ◆题型6集合间的基本关系中的参数问题（重） 1．0 2．A 3.D 4．D 5．【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 考点三 集合的基本运算 ◆题型7集合的交、并、补运算（高频） 1．B 2.C 3.B 4.C ◆题型8韦恩图和容斥原理（高频） 1．B 2．【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 3．B 4．C ◆题型9集合的基本运算中的参数问题（难） 1． B 2.B 3.B 4．【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 5．【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 6．【详解】（1）当时，集合， 且或， 所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． ◆题型10集合中的结构不良问题 1．【详解】（1）由不等式组，解得， 因此， 而，则，所以. （2）集合，， 选择条件①：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②：，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 2．【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 3．【详解】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. ◆题型11集合的新定义问题 1．C 2．【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 3．4 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．C 2.B 3.B 4.A 5.A 6.BCD 二、填空题 7．2或或 8．或 9． 三、解答题 10．【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 11．【详解】（1）当时，，又， . （2）若选①，由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得； 综上，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，有，解得，经验证， 综上，实数的取值范围为. 12．【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 13．【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或，即. 14．【详解】(1)当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； (2)将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和， 所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11， 则只剩4，8可选，由于， 所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)， 若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选， 故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又中只能选1个元素，4，9可以选， 故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素， 故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为， 则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取， 然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素， 经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null