精品解析：上海市卢湾高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分、其中第1~6题每题满分54分，第7－12题每题满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用交集的定义直接求解即可 【详解】解：因为集合，， 所以， 故答案为： 2. 直线的倾斜角是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】解：由已知，则直线斜率， 又倾斜角的范围为. 故直线的倾斜角是. 故答案为：. 3. 已知，若，（为虚数单位），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 可由除法法则求出，再根据模的运算求得模． 【详解】由题意，所以． 故答案为：． 4. 的展开式中的系数为_____________．（结果用数字表示） 【答案】-10 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可得出结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令r=9，可得的系数为， 故答案为：-10 5. 已知，是第四象限角，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 6. 已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 7. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果. 【详解】因为等腰直角三角形的斜边长为4， 所以直角边长为， 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径，母线长， 则其表面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关圆锥的表面积的问题，正确解题的关键点是： （1）要确定旋转后所得到的几何体是圆锥； （2）要明确圆锥的各个量：底面圆的半径以及母线长； （3）要熟练掌握圆锥的表面积公式. 8. 数据的第百分位数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由百分位的计算公式求解即可. 【详解】数据从小到大排序，即； 由于，从小到大，选择第个和第个数据的平均数作为第百分位数， 则数据的第百分位数为. 故答案为：. 9. 若向量，满足，且，，则向量与夹角为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知求得，然后利用数量积求夹角公式得答案. 【详解】，， ，即. 设向量与的夹角为， 则，又 则向量与夹角为. 故答案为：. 10. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先算出从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生的选派方案种数，再算出男女主任都没有参加的选派方案种数，两者相减求得结果. 【详解】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生， 共有种选派方案， 如果所选的男女主任都没有参加，共有种选派方案， 所以至少有一名主任医师参加有种， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关组合的综合问题，方法如下： （1）要用好两个计数原理； （2）可以用间接法求解，用总的减去不满足条件的就是要求的； （3）也可以用直接法求解，包括男主任参加女主任不参加、男主任不参加女主任参加和男女主任都参加，相加即可. 11. 已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再由特殊到一般，归纳出时，，从而可得，最后利用错位相减法可得结果. 【详解】设的公比为，由 得或（舍去） 所以 在区间上，， 在区间上上，个1 在区间上，，个2 在区间上，，个3， … 归纳得当时， 所以 令 则 两式相减得, 所以, 故答案为： 【点睛】方法点睛：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以. 12. 设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】令，则目标式可改写为，应用放缩、绝对值的性质、辅助角公式及正弦函数的性质求最小值，注意等号成立的条件. 【详解】设且， ∴， 当且仅当且时等号成立. 故答案为：2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分18分，第15~16题每题满分18分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 14. 已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件. 【详解】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若函数，则易知， 且在区间内有两个零点，故必要性不成立. 故选：A. 15. 已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理得为直角三角形，取中点，连接，结合球半径可得的长，进而得体积的最大值. 【详解】 如图，设球心为， 由，，， 则为直角三角形， 取斜边的中点为球小圆的圆心，连接，， 则平面， 由，，可得， 由的面积为：，要使三棱锥的体积最大，即高最大， 因此当三点共线，即平面时， 三棱锥的高最大即为， 故三棱锥的最大体积为：. 故选：A. 16. 已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，则，， 令，则，所以，函数在上为增函数， 对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由可得，即， 即，所以，，即，解得. 故选：A 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. （1）若，求A和外接圆半径R的值； （2）若三角形的面积，求c. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求； （2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【小问1详解】 因为，则，且. 由正弦定理，得，即， 即，， 因为，所以， 因此，； 【小问2详解】 由得， 于是. 当时，由余弦定理，得. 当时，由余弦定理，得. 所以，或. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以， 因为底面是正方形，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四棱锥的体积为， 所以，解得， 又平面，所以， 所以，, 所以正三角形面积为， 设点到平面的距离为， 则由可得：， 即，解得. 即点到平面的距离为. 19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数. 【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人. 【解析】 【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可； （2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案. 【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为， 则数列是等差数列，，公差为， 又， 则11月1日至11月10日新感染者总人数为： 人； （2）记11月日新感染者人数为， 11月日新感染者人数最多，当时，. 当时，， 因为这30天内的新感染者总人数为11940人， 所以， 得，即 解得或(舍)， 此时 所以11月13日新感染者人数最多为630人. 【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程. 20. 已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：设，则，， 由 ， 所以，与共线，即，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）由焦点为，点在椭圆上，列方程组，解得a，b，即可得出答案； （2）由，得，设，，由条件可知，点.，由此能推导出的最大值；（3）验证与共线，设，则，，由，进而可得三点共线. 【小问1详解】 根据题意可得，解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题可得原点关于点的对称点的坐标为， 显然直线斜率不为零，故设过点的直线的方程为，，， 所以，得， 其中，，， 则， 所以， 令，，则， 所以，当且仅当，即，时取等号， 则直线的方程为时，面积的最大值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：处理本题第二问的关键是，熟练掌握直线截椭圆所得三角形面积的求解，以及分式函数最值的求解；处理本题第三问的关键是通过证明与共线，进而证明，，三点共线；属综合中档题. 21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【小问1详解】 与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. 【小问2详解】 令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. 【小问3详解】 因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解新定义，得到与具有C关系，则在定义域上存在，使得，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分、其中第1~6题每题满分54分，第7－12题每题满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1. 已知集合，，则___________. 2. 直线的倾斜角是______． 3. 已知，若，（为虚数单位），则__________． 4. 的展开式中的系数为_____________．（结果用数字表示） 5. 已知，是第四象限角，则_____. 6. 已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为_____. 7. 将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_________. 8. 数据的第百分位数为_____. 9. 若向量，满足，且，，则向量与夹角为_____. 10. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 11. 已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________. 12. 设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为_____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分18分，第15~16题每题满分18分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 16. 已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. （1）若，求A和外接圆半径R的值； （2）若三角形的面积，求c. 18. 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 19. 流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数. 20. 已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值； （3）设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线. 21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $