精品解析：上海市市南中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 2025年11月 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 2. 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 3. 若复数满足（是虚数单位），则___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为复数满足，则，故. 4. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由二倍角的余弦公式可得. 5. 若，，那么在方向上的数量投影为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由投影数量的定义即可求解. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 6. 已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解. 【详解】展开式的通项为，令解得，∴． ∴． 故答案为：1 7. 短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求出长半轴长，再由周长为求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则， 又离心率为，则，解得， 所以周长为. 故答案为：. 8. 已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【解析】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 9. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 10. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 【答案】186 【解析】 【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则 ，取法为. 考点：古典概型. 11. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【解析】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 12. 已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知分析出中对应的轨迹圆，结合交集结果知两圆有交点，利用圆与圆的相交关系列不等式求参数范围. 【详解】由，， 所以的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部， 则的轨迹是以为顶点的平行四边形及其内部，如下图所示， 对于集合中，则，结合集合的描述知， 即的轨迹是以的轨迹上的每一点为圆心，半径为1的圆的并集， 对于集合中，即的轨迹是以原点为圆心，半径为a的圆， 由，即中对应的轨迹有交点，则能成立， 由上图知，，即， 所以，可得，即. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 15. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】取中点、中点，求证平面平面，得到点在正方形内的轨迹即可逐一分析选项. 【详解】取中点、中点，连接、、，则， 又分别是棱，的中点，则，所以， 平面，平面，所以平面， ，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 平面，，故平面平面， 因此满足平面的点在正方形内的轨迹是线段，该线段长度为； 分析选项： 选项A：若，与平面相交，不满足条件； 选项B：若为中点，该点不在轨迹上，不满足条件； 选项C：的轨迹长度为不能得到平面，不满足充分性； 选项D：若为中点，则是线段的端点，必然满足平面， 但满足平面的点可以是线段上的任意点，不一定是中点，因此是充分非必要条件. 16. 对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件，利用不等式，对各条件中的代数式进行放缩. 【详解】数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 数列具有性质，故存在常数，对任意的，有. 对于命题①. 存在常数，对任意的，有 故 即数列具有性质.命题①为真命题. 对于命题②. 存在常数，对任意的，有 故数列具有性质.命题②为真命题. 故选： 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 【答案】（1） 连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直； （2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是中点，连接，因为点E是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面 是直线与平面所成的角. 设正方形的边长为，则，， ∴，∴， ∴与平面所成的角为． 18. 已知函数，. （1）若，当时，求的值域； （2）若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先求整体角的取值范围，结合正弦函数的图象性质求值域； （2）由周期公式求出，将零点问题转化为整体角范围内正弦函数的零点个数问题，列不等式求解的范围. 【小问1详解】 当时，. 因为，所以. 根据正弦函数的单调性：当即时，取最大值； 当即时，取最小值. 因此的值域为. 【小问2详解】 由的最小正周期，且，解得，故. 令，当时，.  在上有且仅有3个零点等价于在上有且仅有3个零点. 正弦函数的零点为，满足的前4个零点依次为， 要恰有3个零点，需满足. 解不等式得： . 因此实数的取值范围为. 19. 甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． （1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】（1）甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； （2）； （3）把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【解析】 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【小问1详解】 甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． 【小问2详解】 记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件， . 【小问3详解】 ， 要使两组平均身高都增大， 则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为． 【小问2详解】 ①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则； ②当时，设，∴， 则， 解得，则. 【小问3详解】 ①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴， 联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数” （2）若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 【答案】（1） 因为，所以， 故，即恒成立， 故函数是函数的“控制函数”； （2） （3） 充分性：若存在常数使得恒成立， ∴，∴， 因为为偶函数，则， 可得，得，则，∴， 因，∴， 当时，恒成立，则充分性得证； 必要性：当时，， 则， 则为偶函数， 又是偶函数，则， 当时，，∴，则， 则，即，则； 综上可得，当时，“”的充要条件是“为常值函数”． 【解析】 【分析】（1）根据控制函数的定义证明即可； （2）根据题意得出恒成立，分类讨论求出其最小值将问题转化为使得，即得，再利用导数求解不等式即可； （3）充分性：假设，根据为偶函数求出，再求证；必要性：根据以及得出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 则， 因函数是函数的“控制函数”，则恒成立， 因， ①当时，，则在上单调递增， 当时，不符合题意舍去； ②当时，得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则恒成立即可， 则使得，则， 设，∴， 则得；得， 则在单调递减，在单调递增，则， 即，则，即， 即控制系数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中考试 高三年级 数学试卷 2025年11月 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集，集合，则__________． 2. 已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 3. 若复数满足（是虚数单位），则___________. 4. 已知，则__________. 5. 若，，那么在方向上的数量投影为__________. 6. 已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______． 7. 短轴长为2，离心率的椭圆的两焦点为，，过作直线交椭圆于A，B两点，则的周长为__________. 8. 已知，，则不等式的解是___________. 9. 设，则的最小值为_________． 10. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________. 11. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 12. 已知，集合，（其中为虚数单位），若，且满足，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，每题有且只有一个正确答案）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分. 13. ，，，，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正方体边长为，分别是棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 16. 对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论： ①若数列和均具有性质，则数列也具有性质 ②若数列和均具有性质，则数列也具有性质． 则下列判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须写出必要的步骤. 17. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证: AF⊥BE; （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小. 18. 已知函数，. （1）若，当时，求的值域； （2）若的最小正周期是，在（）上有且仅有三个零点，求实数a的取值范围. 19. 甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边． （1）分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； （2）从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； （3）为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 20. 已知双曲线的右焦点为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； （3）过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 21. 若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数． （1）求证：函数是函数的“控制函数” （2）若存在实数，使得函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围； （3）若，其中且，函数为定义在上的偶函数，函数是函数的“控制函数”，当时，求证““的充要条件是“为常值函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $