专题2.3 有理数的乘方（考点变式培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方概念（n个相同因数的积）、运算规则（先乘方再乘除后加减）、混合运算技巧（奇负偶正），延伸至科学记数法（a×10ⁿ）和近似数（精确度、有效数字），构建从基础到应用的完整知识支架。 资料以14个题型为载体，例题与变式结合，强化概念理解与实际应用，如乘方应用（折纸厚度问题）、程序流程图计算，培养数学眼光与运算能力。科学记数法结合“中国天眼”等实例，用数学语言表达现实，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 9 12 14 16 19 21 24 25 27 29 31 知识点一：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点二：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 【变式1-1】下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，以及正负数的概念，对于①，根据一个数的平方是非负数进行判断；对于②、③，根据零的平方是零，零既不是正数也不是负数，据此分析；对于④，根据负数的平方是正数，负数小于正数，即可举例作出判断. 【详解】解：没有平方得的数，①正确； 时，，不是负数，②错误； 时，，不是正数，③错误； ，，④错误． 综上所述，正确的有1个， 故选：A． 【变式1-2】若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 【变式1-3】表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定的取值范围取一个值，分别代入代数式求值，再进行比较即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 【变式2-1】下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先根据有理数的化简法则计算每个选项中两个数的值，再根据相反数的定义判断即可，相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数． 【详解】解：、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数绝对值相等，符号相反， ∴两数互为相反数，符合题意． 【变式2-2】下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果. 【详解】解：①∵只有的相反数等于本身，∴①正确； ②∵绝对值等于本身的数是正数和，不只是正数，∴②错误； ③∵倒数等于本身的数是和即，∴③正确； ④∵，，其余数的平方都不等于本身，∴平方等于本身的数是和，④正确； ⑤∵，，∴平方为的数是，不只是，∴⑤错误； ⑥∵绝对值最小的有理数是，存在绝对值最小的有理数，∴⑥正确； 综上，正确的说法共个. 【变式2-3】在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 【题型3 有理数的乘方逆运算】 【例3】年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 【变式3-1】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式3-2】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【变式3-3】计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 【详解】解：原式= 故选B 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 【变式4-1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 【变式4-2】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式4-3】给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义即可判断①，根据相反数的性质即可判断②，根据单项式的系数即可判断③，根据乘方的非负性即可判断④，根据多个有理数的乘法符号法则即可判断⑤，根据多项式的定义进行判断即可⑥． 【详解】解：①若，则，故说法错误； ②若a、b互为相反数且，则，故说法错误； ③单项式的系数是，故说法错误； ④∵，∴代数式，即代数式的值永远是正的，故说法正确； ⑤几个非零有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负，故说法错误； ⑥多项式是关于x，y的三次多项式，故说法错误； 综上可知，判断正确的有1个， 故选：A 【点睛】此题考查了绝对值的意义、乘方的非负性、单项式和多项式、多个有理数的乘法、相反数等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【题型5 乘方的应用】 【例5】把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 【变式5-1】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 【变式5-2】数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 【变式5-3】我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【详解】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 【题型6 程序流程图与有理数计算】 【例6】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 【变式6-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 【变式6-2】如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，我们看到第一次输出的结果为9．第二次输出的结果为3，……，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查的是程序流程图和有理数的运算，找出输出结果的规律是解题的关键．根据运算程序的示意图，依次计算每次输入后的输出结果，找出输出结果的规律，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序的示意图， 可得第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 从前面的计算结果可以看出，从第2次开始，输出结果以3,1两个数为一组进行循环， 故，， 说明第2026次输出的结果是循环节的第一个数，即为3． 故选：B． 【变式6-3】按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值，熟练掌握该知识点是关键． 根据题意列式计算，直至结果小于输出结果即可． 【详解】解：若开始输入的值为， 则,返回继续运算： ,返回继续运算； ． 故选：． 【题型7 算“24”点】 【例7】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【变式7-1】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式7-2】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式7-3】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【题型8 含乘方的有理数混合运算】 【例8】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式8-1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式8-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型9 计算器-有理数】 【例9】如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 【变式9-1】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 【答案】D 【分析】根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】解：A.按键显示结果：45，正确，不符合题意； B.按键 显示结果：，正确，不符合题意； C.按键 显示结果：，正确，不符合题意； D. 按键 显示结果：66，错误，应为，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 【变式9-2】计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【答案】 ． 【分析】本题主要考查了利用计算器进行数有理数的乘方运算，根据计算器的按键顺序计算即可得解，熟练掌握计算器求幂的时候指数的使用方法是解决此题的关键． 【详解】略 【变式9-3】（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】(1)利用计算器一一计算即可 (2)用计算器分别进行计算，再根据结果找出规律，通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． (3)根据规律即可直接写出999×29的结果即可． 【详解】解：（1），； （2）通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． （3）根据以上规律可直接写出：． 【点睛】此题考查了计算器−有理数，解题的关键是通过用计算器计算，找出规律，通过规律进行解答． 知识点三：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 【题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例10】光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】先将题目中的速度单位换算为米/秒，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）得到正确结果，判断选项． 【详解】解：∵ 30万千米/秒 = 千米/秒 = 米/秒 米/秒， 符合科学记数法的要求， ∴ 正确选项为D． 【变式10-1】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【变式10-2】被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 【变式10-3】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】用全国互联网业务总收入乘以京津冀地区收入占比，再将结果整理为标准科学记数法形式即可得到答案． 【详解】解：∵全国总收入为 亿元，京津冀地区收入占比为 ， ∴京津冀地区收入为：（亿元）． 【题型11 将用科学记数法表示的数还原】 【例11】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 【变式11-1】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式11-2】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式11-3】把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 【答案】(1)3618 (2)-21000 (3) (4)-800000 【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法. 科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题. 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000． 知识点四：近似数 1.定义：接近准确数但又与准确数有一定差别的数，叫做近似数。（与实际完全相符的数是准确数） 2.精确度：表示一个近似数接近准确数的程度。 · 一般用四舍五入法得到近似数。 · 精确到哪一位，就看这一位后面一位的数字（四舍五入）。 【例】3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 【例】3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 3.两种精确度描述（需区分）： · 精确到小数点后第几位（如精确到0.01，即百分位）。 · 保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 【注】科学记数法 a×10^n 中，有效数字只数 a 部分。 【例】0.05080有 4 个有效数字（5、0、8、0），注意中间和末尾的0都要算。 4.易错提醒（避坑指南）： · 近似数末尾的0不能随便去掉（如 3.50 精确到百分位，3.5 精确到十分位，精确度不同）。 · 大数取近似数时，要先用科学记数法表示再取，避免漏掉位数。 【例】12345精确到百位 → （不能写成 12300，要体现精确到百位）。 【题型12 求一个数的近似数】 【例12】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 【变式12-1】下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【答案】D 【分析】根据近似数的精确位数判断各选项正误． 【详解】解：A.近似数精确到十分位，精确到百分位，二者意义不同，A错误； B.万精确到千位，B错误； C.300精确到个位，C错误； D. 将精确到百分位是，D正确； 【点睛】掌握近似数的精确度及四舍五入规则． 【变式12-2】下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 【变式12-3】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．用四舍五入法取近似数，精确到百分位为 C．连接A、B两点的线段就是A、B两点间的距离 D．钟表上时，分针和时针的夹角是 【答案】B 【分析】本题考查射线定义、四舍五入规则、距离概念及钟表角度计算，需逐项判断正误． 【详解】解：∵射线表示从A出发经B的射线，射线表示从B出发经A的射线，方向不同， ∴A错误． ∵6.1573精确到百分位需看千分位数字7，，故百分位5进1，结果为6.16， ∴ B正确． ∵ 连接A、B两点的线段是图形，A、B两点间的距离是该线段的长度，概念不同， ∴ C错误． ∵ 钟表时，时针从10点整位置移动，故时针走过，分针走过，夹角为， ∴ D错误． 故选B． 【题型13 求近似数的精确度】 【例13】据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】本题考查增长率的应用，利用增长率问题公式计算，终值等于初始值乘以（1增长率）的次方，为增长年限，计算后保留三个有效数字，再写成科学记数法形式即可． 【详解】解：由题意得，十三五期间为2016年到2020年，以2016年生产总值为基数，到2020年末共增长4次， ∴到“十三五”末我市生产总值约为（亿元）． 【变式13-1】下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 【变式13-2】下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据有理数的定义，绝对值性质，有理数加法法则，相反数定义，近似数精确度等初中相关概念，逐一判断各说法即可． 【详解】解：①根据有理数定义，整数和分数统称为有理数，故①正确； ②绝对值是它本身的数是所有正数和0，不只有0，故②错误； ③当两个数相加时，若存在负加数，和会小于正加数，如，故③错误； ④负数小于0，因此0不是最小的有理数，故④错误； ⑤0的相反数是0，对应点在原点，不在原点两侧，故⑤错误； ⑥精确到百分位，精确到千分位，精确度不同，故⑥错误； ⑦ ，其中3在千位，因此近似数精确到千位，故⑦正确； 综上，正确的说法共2个，故A正确． 【变式13-3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断，根据近似数最后一位数字所在的数位确定精确度. 【详解】解：∵ 近似数的最后一位在百分位，∴ 精确到百分位，不是个位，故①错误； ∵ 近似数精确到十分位，精确到百分位，∴ 精确度不同，故②错误； ∵ 近似数万中，最后一位对应万，即，∴ 精确到百位，故③正确； ∵ 近似数的最后一位在十分位，∴ 精确到十分位，故④正确； ∴ 正确的说法有种， 故答案选：C． 【点睛】判断近似数的精确度时，需注意单位转换和最后一位数字所在的数位. 【题型14 近似数推断取值范围】 【例14】据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 【变式14-1】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【变式14-2】近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 【变式14-3】数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查四舍五入取近似值的方法，关键注意精确到的位数及进位规则． 近似值2.0表示精确到十分位，根据四舍五入规则，百分位数字决定是否进位． 【详解】解：∵数x四舍五入后的近似值为 2.0，精确到十分位， ∴需看百分位数字：若百分位数字，则十分位进1；若百分位数字，则十分位不变． 但近似值为2.0，因此x的最小值为1.95（百分位为5，进1后得2.0），最大值为2.05（百分位为5时进1得2.1，故不包括2.05）， ∴x的取值范围是． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义） （新教材人教版） 3 5 7 9 12 14 16 19 21 24 25 27 29 31 知识点一：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点二：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】下列说法正确的有（　　） ①没有平方得的数；②是负数；③是正数；④任何一个小于1的数都大于它的平方． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【变式1-3】表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3 有理数的乘方逆运算】 【例3】年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式3-1】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式3-2】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【变式3-3】计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式4-3】给出下列判断：①若，则；②若a、b互为相反数，则；③单项式﹣的系数是；④代数式的值永远是正的；⑤几个有理数相乘，当负因数的个数是奇数个时，积一定为负；⑥多项式是关于x，y的四次多项式，其中判断正确的有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型5 乘方的应用】 【例5】把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【变式5-1】一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【变式5-2】数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【题型6 程序流程图与有理数计算】 【例6】如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【变式6-1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x值为27，我们看到第一次输出的结果为9．第二次输出的结果为3，……，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【变式6-3】按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果可能是（    ） A． B． C． D．12 【题型7 算“24”点】 【例7】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【变式7-1】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式7-2】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式7-3】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【题型8 含乘方的有理数混合运算】 【例8】计算： (1)． (2)． 【变式8-1】计算： (1)． (2)． 【变式8-2】计算： (1)． (2)． 【变式8-3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【题型9 计算器-有理数】 【例9】如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【变式9-1】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（    ） A．按键显示结果：45 B．按键 显示结果： C．按键 显示结果： D．按键显示结果：66 【变式9-2】计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【变式9-3】（1）用计算器计算下列各式，将结果写在横线上．________；________；________；________． （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么规律？ （3）不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 知识点三：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 【题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例10】光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【变式10-1】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【变式10-2】被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【题型11 将用科学记数法表示的数还原】 【例11】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【变式11-1】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【变式11-2】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【变式11-3】把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上． (1)___________． (2)___________． (3)___________ (4)___________． 知识点四：近似数 1.定义：接近准确数但又与准确数有一定差别的数，叫做近似数。（与实际完全相符的数是准确数） 2.精确度：表示一个近似数接近准确数的程度。 · 一般用四舍五入法得到近似数。 · 精确到哪一位，就看这一位后面一位的数字（四舍五入）。 【例】3.14159精确到百分位（即小数点后两位）→ 看千分位（第三位）是1，舍去 → 3.14 【例】3.14159精确到千分位（即小数点后三位）→ 看万分位（第四位）是5，入1 → 3.142 3.两种精确度描述（需区分）： · 精确到小数点后第几位（如精确到0.01，即百分位）。 · 保留几个有效数字（从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是有效数字）。 【注】科学记数法 a×10^n 中，有效数字只数 a 部分。 【例】0.05080有 4 个有效数字（5、0、8、0），注意中间和末尾的0都要算。 4.易错提醒（避坑指南）： · 近似数末尾的0不能随便去掉（如 3.50 精确到百分位，3.5 精确到十分位，精确度不同）。 · 大数取近似数时，要先用科学记数法表示再取，避免漏掉位数。 【例】12345精确到百位 → （不能写成 12300，要体现精确到百位）。 【题型12 求一个数的近似数】 【例12】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【变式12-1】下列说法正确的是（   ） A．近似数和表示的意义一样 B．万精确到万位 C．300精确到百位 D．将精确到百分位是 【变式12-2】下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【变式12-3】下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．用四舍五入法取近似数，精确到百分位为 C．连接A、B两点的线段就是A、B两点间的距离 D．钟表上时，分针和时针的夹角是 【题型13 求近似数的精确度】 【例13】据2021年2月28日我市十届人大五次会议《政府工作报告》：“2016年全市生产总值达到839亿元，比上一年增长”．如果“十三五”期间（2016年-2020年）每年的全市生产总值都按年增长率增长，那么到“十三五”末我市生产总值约为（     ）（保留三个有效数字） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【变式13-1】下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【变式13-2】下列说法：①整数和分数统称为有理数；②绝对值是它本身的数只有0；③两数之和一定大于每个加数；④0是最小的有理数；⑤数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；⑥近似数与的精确度相同；⑦近似数精确到千位；其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式13-3】下列说法：①近似数是精确到个位的数；②近似数和是一样的；③近似数万是精确到百位的数；④近似数是精确到十分位的数．其中说法正确的有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【题型14 近似数推断取值范围】 【例14】据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【变式14-1】数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式14-2】近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式14-3】数x四舍五入后的近似值为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $