1.1 正数与负数 考点变式培优讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦正数与负数核心知识点，系统梳理正数负数定义、0的分界作用、相反意义的量表示方法及实际应用，构建从概念理解到情境应用的完整学习支架。 资料以6大题型为框架，例题与变式题结合，融入中国古代正负数史料，通过实际情境问题培养学生抽象能力和应用意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固易错点，提升知识运用能力。

专题1.1 正数与负数（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 4 6 7 9 10 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 【题型1 正负数的定义】 【例1】在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 【变式1-2】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．中国古代用红算筹表示正数，黑算筹表示负数，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹可记作（     ） A．10 B． C． D． 【变式1-3】在，，，，，，中，负数有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 【题型2 相反意义的量】 【例2】如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 5. 易错提醒 · 带单位的正负数在书写时，符号写在数值前面，单位写在最后面，如“+5米”； · 在表格或统计中，要看清“正数表示什么，负数表示什么”，不要凭主观经验判断； · “0”在应用题中不代表“没有”，而是表示达到基准线或与基准持平。 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【变式3-1】如果零上记作，那么零下可记为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【变式3-3】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【题型4 用正负数表示误差】 【例4】食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（    ） A．低于标准质量 B．低于标准质量 C．高于标准质量 D．减少 【变式4-2】某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 【变式4-3】一箱橘子的标准质量为，如果超过标准质量表示为，那么比标准质量少可以表示为（　　） A． B． C． D． 【题型5 用正负数表示变化量】 【例5】如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-1】我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】2023年，坪山区超1329亿元，同比增长，成为全市增速最快的区域，如果下降记为，那么增长可以记为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】近日国家统计局公布数据，规模以上家具制造企业1至10月实现营业收入5127.9亿元，净利润为 247.1亿元，同比上一年下降．若表示上升，则表示（　　） A．上升 B．下降 C．下降 D．下降 【题型6 正负数范围归类填空】 【例6】有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有_______个． 【变式6-1】把下列各数填在相应的横线上． 15，，0，，，，，，． （1）正数：________． （2）负数：________． 【变式6-2】在数字，0，，，，106，中，正数有________，负数有________． 【变式6-3】下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 正数与负数（举一反三讲义） （新教材人教版） 2 4 6 7 9 10 知识点一：正数和负数的概念 1. 正数的定义 大于0的数叫做正数。正数前面的“+”号通常省略不写，有时为了强调也可以加上。 例如：3、​、1.8%、+7.5 都是正数。 2. 负数的定义 在正数前面加上“−”号的数叫做负数。负数的“−”号不能省略。 例如：−3、​、−1.8%、−7.5 都是负数。 3. 0的特殊地位 0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。 · 核心理解：正数 > 0 > 负数，0是正负“分水岭”。 4. 易错警示 · 符号“+”可以省略，但“−”绝对不能省略； · 并非所有带“+”的数都是正数（如“+0”仍是0），所有带“−”的数（除0外）都是负数； · 判断一个数是正数还是负数，关键是看它与0的大小关系，而不是看它是否带有符号。 【题型1 正负数的定义】 【例1】在，，，12，0，，这6个数中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】小于0的数是负数，由此逐个判断给定的数，统计得到负数的个数． 【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，，， ∴负数为和，共2个． 【变式1-1】下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据“负数是小于0的数”，判断各选项的数与0的大小关系即可得到结果； 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是正数，不符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是负数，符合要求． 【变式1-2】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．中国古代用红算筹表示正数，黑算筹表示负数，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹可记作（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数表示具有相反意义的量，结合题意解答即可． 【详解】解：由题意可知“红正”“黑负”，如果3根红算筹记作，那么10根黑算筹记作． 【变式1-3】在，，，，，，中，负数有（  ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】在，，，，，，中， 负数：，，， ∴负数共有个． 知识点二：相反意义的量 1. 定义 在生活中，有许多意义相反的量，如“上升”与“下降”、“收入”与“支出”、“零上”与“零下”等。人们常用正数和负数来表示这样一对具有相反意义的量。 2. 表示方法 对于一对具有相反意义的量，我们可以规定其中一种意义的量为正，用正数表示；则与它意义相反的量就为负，用负数表示。 注意：正、负的规定是人为的，可以互换，但一旦规定好，整个问题中必须保持一致。 3. 常见相反意义的量配对 正方向（记为+） 负方向（记为−） 上升 下降 收入 支出 盈利 亏损 运进 运出 高于海平面 低于海平面 零上温度 零下温度 向东 向西 增加 减少 上涨 下跌 超过标准 不足标准 4. 基准（参照点） 用正负数表示相反意义的量时，通常先确定一个基准，基准用0表示。高于基准的量为正，低于基准的量为负。 例如：海平面的海拔高度记为0米，高于海平面记为正，低于海平面记为负。 关键理解：相反意义的量包含两个要素——①意义相反；②是同类量（如长度、金额、温度等）。“黑”与“白”虽然意义相反，但不是同类量，不能作为一对相反意义的量。 【题型2 相反意义的量】 【例2】如果一辆汽车加油记作，那么消耗油记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 加油记作， ∴ 消耗油记作. 【变式2-1】如果温度升高记作，那么温度下降应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵温度升高记作， ∴升高记为正， ∴温度下降记为负， ∴温度下降记作． 【变式2-2】中国战国时期已出现负数的雏形，汉代以“负算”表示亏缺数量，并用算筹颜色区分正负数：红为正，黑为负．如果个红算筹记作，那么个黑算筹应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵红为正，黑为负，个红算筹记作， ∴个黑算筹应记作． 【变式2-3】刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 知识点三：正负数的实际应用 正负数在实际生活中应用广泛，理解其含义是解决应用题的关键。 1. 表示允许偏差（误差范围） 产品包装上常见“标准值±偏差值标准值±偏差值”的标识，表示产品合格的范围。 例如：某食品包装标注“净含量：500±5克”，表示：标准净含量为500克；最多比标准多5克（500+5=505克），最少比标准少5克（500−5=495克）；合格范围：495克 ~ 505克。 通用公式：若标注为“A±B”，则合格范围为 [A−B, A+B]。 2. 表示变化量 正负数可以表示某个量相对于基准量的变化情况： “+a”表示比基准增加或上升了a个单位； “−a”表示比基准减少或下降了a个单位。 例如：某日气温变化记录为“+3∘C”表示比前一天上升了3℃，“−2∘C”表示比前一天下降了2℃。 3. 表示相对位置或等级 海拔：以海平面为0，高于为正，低于为负； 成绩评定：以标准线为0，超过为正，不足为负； 楼层：有些国家以地面层为0，地上为正，地下为负。 4. 应用中的核心方法 在实际情境中，用正负数解决问题的一般思路： (1) 明确基准（什么量记为0）； (2) 确定正方向（什么情况记为正）； (3) 按要求表示或计算。 5. 易错提醒 · 带单位的正负数在书写时，符号写在数值前面，单位写在最后面，如“+5米”； · 在表格或统计中，要看清“正数表示什么，负数表示什么”，不要凭主观经验判断； · “0”在应用题中不代表“没有”，而是表示达到基准线或与基准持平。 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】负数在现实生活中有广泛的应用．有理数可以描述（     ） A．天气气温 B．数轴原点 C．旗杆高度 D．参赛人数 【答案】A 【详解】解：A、天气气温可以低于，可以用表示零下3摄氏度，符合要求； B、数轴原点对应的数是，不是，不符合； C、旗杆高度是长度，为非负数，不能为，不符合； D、参赛人数为非负整数，不能为，不符合． 【变式3-1】如果零上记作，那么零下可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数的应用，正数表示零上，负数表示零下，这是解题的关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：如果零上记作，那么零下记作． 故选：A． 【变式3-2】已知某次数学考试成绩的中位数为100分，若高于中位数1分记作分，则低于中位数1分应记作（   ） A．1分 B．分 C．101分 D．99分 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的应用，理解题意是解题的关键．根据高于中位数1分记作分，即可得到答案． 【详解】解：高于中位数1分记作分， 故于中位数1分应记作分， 故选B． 【变式3-3】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【答案】B 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算． 【题型4 用正负数表示误差】 【例4】食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键． 【变式4-1】第35届乒乓球亚洲杯于2026年2月4日至8日在海南海口举行．在比赛用球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示（    ） A．低于标准质量 B．低于标准质量 C．高于标准质量 D．减少 【答案】A 【分析】根据已知正量的含义，推得负量表示的相反意义即可得到答案. 【详解】∵题目规定高于标准质量记为正，高于标准质量记作， ∴负号表示与“高于标准质量”相反的意义，即低于标准质量， 因此表示低于标准质量，A选项符合. 【变式4-2】某校组织学生去劳动基地采摘杨梅，并称重、封装．规定一筐杨梅的标准质量为，如果比标准质量多表示为，那么比标准质量少表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目对正偏差的规定，即可推出负偏差的表示方法。 【详解】∵题目规定比标准质量多记为正，即比标准多表示为， ∴比标准质量少是与“比标准质量多”相反的意义，应该记为负， 因此比标准质量少表示为． 【变式4-3】一箱橘子的标准质量为，如果超过标准质量表示为，那么比标准质量少可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据题意，超过标准质量用正数表示，少于标准质量用负数表示． 【详解】解：∵超过标准质量表示为， ∴比标准质量少应表示为， 故选：A． 【题型5 用正负数表示变化量】 【例5】如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． 【变式5-1】我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的应用． 在一对具有相反意义的量中，规定一个方向为正，则相反方向为负． 【详解】解：∵气温升高记作， ∴气温下降记作． 故选：B． 【变式5-2】2023年，坪山区超1329亿元，同比增长，成为全市增速最快的区域，如果下降记为，那么增长可以记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若下降用“”表示，那么上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果下降记为，那么增长可以记为， 故选：A． 【变式5-3】近日国家统计局公布数据，规模以上家具制造企业1至10月实现营业收入5127.9亿元，净利润为 247.1亿元，同比上一年下降．若表示上升，则表示（　　） A．上升 B．下降 C．下降 D．下降 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：表示上升，则表示下降， 故选：D． 【题型6 正负数范围归类填空】 【例6】有下列各数：3，，，，，，0，．其中，负数有_______个． 【答案】4 【分析】本题考查了负数的概念，掌握小于零的数为负数是解题的关键． 将每一个数分别和0比较大小，即可求解． 【详解】解：，，，，，，， ，，，为负数；3，，为正数；0既不是正数，也不是负数； 负数有4个． 故答案为：4． 【变式6-1】把下列各数填在相应的横线上． 15，，0，，，，，，． （1）正数：________． （2）负数：________． 【答案】 15，，， ，，， 【分析】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键． （1）根据正数大于0即可判断； （2）根据负数小于0即可判断． 【详解】解：（1）正数：15，0.15，，； 故答案为：15，0.15，，； （2）负数：，，，； 故答案为：，，，． 【变式6-2】在数字，0，，，，106，中，正数有________，负数有________． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的定义，关键是熟记定义判断即可．根据正数与负数的定义即可判断． 【详解】解：根据大于零的数为正数，小于零的数为负数可得正数有， 负数有， 故答案为：；． 【变式6-3】下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个 【答案】 7 4 【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键． 根据大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数求解即可． 【详解】解：正数有，总共7个， 负数有，总共4个， 故答案为：7，4． 学科网（北京）股份有限公司 $