23.4 数据的方差 课件 2026-2027学年数学冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的方差”，核心内容包括方差的意义、计算公式及实际应用。通过射击比赛成绩比较的问题导入，先回顾平均数、中位数等集中趋势统计量，再引出离散程度的研究必要性，搭建从集中到离散的知识学习支架。 其亮点在于以实际情境驱动教学，如射击成绩分析、公交路线选择等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。推导方差公式时通过“偏差平方和”“除以n”等环节的思考，发展数学思维。结合数据计算与问题解决，帮助学生用数学语言表达现实，既提升学生数据分析能力，也为教师提供逻辑清晰的教学范例。

23.4 数据的方差 第二十三章 数据分析与统计估计 22100 1.理解方差的意义，了解方差是刻画数据相对平均数的离散程度，学会如何刻画一组数据波动的大小. 2.掌握方差的计算公式，并会用它来比较两组数据的波动大小，解决一些实际问题. 3.学会从实际问题中提取信息，用合适的统计量去分析数据，解决问题. 学习目标 22100 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 你能说出谁的成绩更好吗？ 新课导入 22100 (1)观察上图，甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数各是多少？ 两个人射击成绩的平均数和中位数都是7环. 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 新知讲解 22100 观点一 因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 观点二 从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. 你认为哪种观点更合理些？ (2)在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点： ①若平均数、中位数相同，他们的射击水平就一样吗？ 射击水平不能只看平均数、中位数，还要看发挥稳定性. ②从图上看，哪一组成绩相对于平均数波动比较大，波动大小反映了什么？ 甲的波动比较大，波动大小反映射击水平的稳定性有差异. 新知讲解 22100 在分析数据的特征时，仅考虑数据的集中趋势来描述这组数据往往是不够的，还需要考虑这组数据的离散程度. 如何构造一个量，来描述数据的离散程度呢？ 22100 (3)请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) (4)我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0，现有以下两种观点： 观点一：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点二：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 那么，这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢？ 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 乙成绩的偏差 -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 新知讲解 22100 设n个数据 x1， x2， …，xn的平均数为 各个数据与平均数偏差的平方分别是 偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s2表示，即 我们称 为这组数据的离差平方和. 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 新知讲解 22100 [(4-7)2+(8-7)2+(6-7)2+2(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(10-7)2]=3.5， 甲 [(5-7)2+2(6-7)2+4(7-7)2+2(8-7)2+(9-7)2]=1.2. 乙 由于 ＜ ，所以乙的射击成绩比甲的波动小，乙的成绩更稳定些. 乙 甲 例如：对于甲和乙的射击成绩数据，平均数都是7环，方差分别为 由方差的意义可以看出：当一组数据分布比较分散时，方差较大;当一组数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了这组数据的离散程度(或波动程度). 新知讲解 22100 平方：可以起到放大差距的效果 思考1：计算方差时为什么要进行平方？ 思考2：计算方差时为什么要除以n？ 除以n：消除数据个数的影响 22100 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 例题讲解 22100 根据上表数据绘制的折线统计图如图所示. （1）从图形看，哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？ （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. (1)从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. (2)经计算得: 例题讲解 22100 （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线？ （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线？ (3)当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线不超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. (4)当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 在统计分析中，往往需要对数据的集中趋势和离散程度进行综合分析. 例题讲解 22100 特别提醒： 1. 方差是用来描述一组数据与这组数据的平均数的偏离程度的量，在实际生活中，经常用方差的大小来判断数据的稳定性； 2. 方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差较大，也可能一组数据比较大，但方差较小. 3.当数据中出现极端值时，方差会变大，此时平均数对数据的代表性变差；反之，方差小时，说明数据中没有异常值，此时平均数对数据的代表性较好. 4.在比较两组数据的稳定性时，一般先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再用方差分析稳定性问题． 新知讲解 22100 方差 意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： 课堂小结 22100 1. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 ＝0.6， ＝1.1， ＝1.2， ＝0.9，则射击成绩最稳定的是(　A　) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 A 随堂小练 基础 22100 2. 已知一组数据3，6， x ，5，5，7的平均数是5，则这组数据的方差是(　B　) A. 1 B. C. 2 D. B 随堂小练 基础 22100 3. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩(单位：环)统计如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 /环 9.7 m 9.3 9.6 方差 s2 0.25 n 0.28 0.27 根据表中数据，可以判断乙是四人中成绩最好且发挥最稳定的，则 m ， n 的值可以是(　B　) B A. m ＝10， n ＝0.3 B. m ＝10， n ＝0.2 C. m ＝9， n ＝0.3 D. m ＝9， n ＝0.2 随堂小练 基础 22100 4.某次射击练习，甲、乙二人各射靶5次，命中的环数如下表: 甲命中环数 7 8 6 8 6 乙命中环数 9 5 6 7 8 那么射击比较稳定的是　　　　.  甲 随堂小练 基础 22100 $