暑期复习练习9 分式方程 讲义 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

该初中数学讲义以分式方程为核心，通过例题解析、对比表格等工具构建知识体系，从基础解法、无解条件到综合应用层层递进，清晰呈现去分母、验根等重难点及内在逻辑联系。 练习设计分层递进，基础题巩固运算能力，提高题如含参数方程无解问题培养推理意识，培优题中新定义运算（如☆运算）强化模型意识。配套错题分析和解题模板，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

浙教版七年级下册暑期复习9 --分式方程 一．例题 1．已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 知识点： 解题思路： 二．基础练习 2．将关于x的方程去分母后可得（　　） A．x+1＝2﹣1 B．x+1＝2﹣x﹣3 C．x+1＝﹣2﹣1 D．x+1＝﹣2﹣x+3 3．若关于x的方程的解为x＝4，则m＝　 　 ． 4．小明解分式方程如下所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是 　 　 （填序号），并给出正确的解题过程． 解方程：1 解：去分母得，x+x﹣3＝2① ①移项得，2x＝3+2② ②所以，x③ ③经检验：x不是原方程的根，原方程无解．④ 5．若，则x＝　 　 ． 6．方程0的解为　 　 ． 7．解分式方程：． 8．解分式方程：． 9．下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程： 甲同学： 解：去分母，得：3x﹣2＝﹣6， 解得：x 检验：当x时，x﹣20， ∴分式方程的解为x 乙同学：解：去分母，得：3x﹣2（x﹣2）＝6， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴分式方程无解. （1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×． （2）请写出你认为正确的过程解答此方程． 三．提高练习 10．已知，关于x的分式方程 （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程1的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a，b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 11．已知关于x的分式方程1无解，则m的值是（　　） A．﹣2或﹣3 B．0或3 C．﹣3或3 D．﹣3或0 12．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 13．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．0 B．3 C．1或 D．0或1或 14．若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．2 B．﹣1或3 C．﹣1或2 D．﹣1或2或3 15．定义关于☆的一种新运算；x☆y（x，y是实数，且x≠y），例如（﹣1）☆2． （1）求（﹣3）☆（﹣2）的值． （2）是否存在x的值，使得x☆1＝1☆x+3成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 16．对于任意实数a和b，我们规定aOb＝a﹣b+1，例如3O4＝3﹣4+1＝0，则方程的解为 　 　 ． 17．定义一种新的运算：a*b，例如：3*5，若关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数，则m的取值范围为 　 　 ． 四．培优练习 18．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为　 　 ． 19．若a＝3b且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（　　） A．277 B．240 C．272 D．256 20．若方程3的解为x，则方程3的解为y＝　 　 ． 21．已知关于x的方程的解为x＝2和x＝3，则关于x的方程的解为 　 　 ． 22．定义：形如，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如，其中a＝2，b＝1． （1）试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． （2）若十字分式方程的解为x1＝a，x2＝b，求下列代数式的值： ①a2+3b； ②． 23．如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． （1）已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． （2）已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为﹣1，求E所代表的代数式． （3）已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 参考答案 一．例题 1． 【解答】解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得：2， 整理得：2， 去分母得：2＝x﹣2（1﹣x）， 去括号得：2＝x﹣2+2x， 移项、合并同类项得：3x＝4， 解得：x， 检验：把x代入得：1﹣x0， ∴x是分式方程的解； （2）分式方程变形得：2， 去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4， 若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解； 若m﹣2≠0，即m≠2时， ∵分式方程无解， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2， 综上所述，m＝2或﹣2． 二．基础练习 2． 【解答】解：原方程两边同乘（x﹣3），去分母得：x+1＝﹣2﹣（x﹣3）， 即x+1＝﹣2﹣x+3， 故选：D． 3． 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）（m﹣x）得， x（m﹣x）+2（x﹣3）＝2（x﹣3）（m﹣x）， ∵方程的解是x＝4， ∴4（m﹣4）+2（4﹣3）＝2（4﹣3）（m﹣4）， 整理得，m﹣4＝﹣1， 解得m＝3． 经检验，当m＝3时，方程的解为x＝4． 故答案为：3． 4． 【解答】解：由解方程步骤可得首次出错的是①， 故答案为：①； 正确解题过程如下： 原方程去分母得，x+x﹣3＝﹣2， 整理得：2x＝1 解得：， 经检验：是原方程的解． 5． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3），得﹣x+1＝x﹣3， 移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故答案为：2． 6． 【解答】解：方程两边乘最简公分母x（x﹣6）得， 2x+x﹣6＝0， 解得x＝2， 经检验x＝2是原方程的解， 故答案为：x＝2． 7． 【解答】解：， 5（x﹣1）﹣2（x+2）＝0， 3x＝9， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解． 8. 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得2（x﹣3）＝x， 解得x＝6， 检验：当x＝6时，x（x﹣3）≠0， 所以，x＝6是原方程的解． 9． 【解答】解：（1）甲同学、乙同学的解法均错误； （2）去分母，得 3x﹣2（x﹣2）＝﹣6， 解得x＝﹣10， 经检验x＝﹣10是原方程的解， 所以原方程的解为x＝﹣10． 三．提高练习 10． 【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入方程得：1， 去分母得：2（x﹣5）﹣（2x+3）（1﹣x）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：2x﹣10+2x2+x﹣3＝2x2﹣7x﹣15， 移项合并得：10x＝﹣2， 解得：x， 检验：把x代入得：（2x+3）（x﹣5）≠0， ∴分式方程的解为x； （2）把a＝1代入方程得：1， 去分母得：x﹣5﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：x﹣5+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， 即（11﹣2b）x＝3b﹣10， 当11﹣2b＝0，即b＝5.5时，整式方程无解； ∵分式方程无解， ∴（2x+3）（x﹣5）＝0，即x或x＝5， 当x时，（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b无解； 当x＝5时，5（11﹣2b）＝3b﹣10，此时b＝5， 则b＝5或5.5； （3）把a＝3b代入方程得：1， 去分母得：3b（x﹣5）﹣（2x+3）（b﹣x）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：3bx﹣15b+2x2+（3﹣2b）x﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， 即（b+10）x＝18b﹣15， 解得：x18， ∵分式方程的解为整数，且x≠5， ∴b+10＝±1，b+10＝±15，b+10＝±13，b+10＝±5，b+10＝±39，b+10＝±65，b+10＝±195， 解得：b＝﹣9或﹣11或5或﹣25或3或﹣23或﹣5或﹣15或29或﹣49或55或﹣75或185或﹣205， ∵b为正整数， ∴b＝3或29或55或185． 11． 【解答】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3， 整理，得：（m+2）x＝﹣3， 解得， ①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解， ②∵关于x的分式方程1无解， ∴或， 解得m＝﹣3． ∴m的值是﹣2或﹣3． 故选：A． 12． 【解答】解：， m﹣（x+2）＝0， x＝m﹣2， ∵分式方程无解， ∴x＝m﹣2为增根， ∴m﹣2＝4， ∴m＝6， 故选：A． 13． 【解答】解：， x﹣3a＝2a（x﹣3）， x﹣3a＝2ax﹣6a， x﹣2ax＝3a﹣6a， （1﹣2a）x＝﹣3a， ， ∵关于x的分式方程无解， ∴当1﹣2a＝0且﹣3a≠0，方程无解，解得：； 当1﹣2a≠0，时，方程无解，解得：a＝1， 综上可知：当分式方程无解时，或1， 故选：C． 14． 【解答】解：， ， x﹣2+mx＝4， （m+1）x＝6， ∵关于x的方程无解， ∴m+1＝0， 解得：m＝﹣1， 当m≠﹣1，x＝0时， （m+1）x＝6，该方程无解； 当m≠﹣1，x＝2时， （m+1）x＝6， m＝2， ∴m的取值为﹣1或2． 故选：C． 15． 【解答】解：（1）（﹣3）☆． （2）由题意，得3， 去分母，得x＝﹣x+3（x﹣1） 解这个方程，得x＝3． 经检验x＝3是原方程的解． ∴原方程的解为x＝3． 16． 【解答】解：由题意得， （﹣2）+1， 两边同时乘以x﹣3，得 x+2+3x﹣9＝﹣x， 解得， 检验：当x时，最简公分母x﹣3≠0， ∴x是原方程的解， 故答案为：x． 17． 【解答】解：由题意得：， ∴m＝﹣6x+3， ∴， ∵关于x的方程m*x＝﹣3的解为非负数， ∴，2x﹣1≠0， 解得：m≤3，m≠0， ∴m的取值范围为：m≤3且m≠0， 故答案为：m≤3且m≠0． 四．培优练习 18． 【解答】解：，（x﹣1≠0）， x＝6（x﹣1）+mx， x＝6x﹣6+mx， （m+5）x＝6， x， ∵分式方程的解为正整数， ∴为正整数， ∴m+5可为1，2，3，6， ∴整数m的值为﹣4，﹣3，﹣2，1， ∵x﹣1≠0，即x≠1， ∴， 即m≠1， ∴整数m的值为﹣4，﹣3，﹣2， 故答案为：﹣4，﹣3，﹣2． 19． 【解答】解：∵，a＝3b， ∴， 两边都乘以（2x+3）（x﹣5），得 3b（x﹣5）﹣（2x+3）（b﹣x）＝（2x+3）（x﹣5）， 解得，且，x≠5；b≠﹣10， ∴且， 解得：，b≠5， ∵正整数b使关于x的分式方程的解为整数， ∴b+10＞10， ∴b+10＝13或15或39或65或195， 即b＝3或5或29或55或185， 其中b＝5不符合题意， ∴3+29+55+185＝272， 故选：C． 20． 【解答】解：∵方程3的解为x， ∴设t＝2y， 方程3变形得：3， 根据题意得：方程的解为t＝2y，即y． 故答案为：． 21． 【解答】解：令x， ∴方程可化为1， 整理得1， ∵方程的解为x＝2和x＝3， ∴t和t， ∴关于x的方程的解为x和x， 经检验，x和x是方程的解， ∴方程的解为x和x， 故答案为：x和x． 22． 【解答】解：（1）解分式方程得， x1＝﹣2，x2＝﹣3． ∵﹣2﹣3＝﹣5，（﹣2）（﹣3）＝6， ∴方程是十字分式方程． ， 去分母，得x2+5x+6＝0， ∴（x+2）（x+3）＝0． ∴x+2＝0或x+3＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣3． 经检验，﹣2、﹣3都是方程的解． ∴原分式方程的解为：x1＝﹣2，x2＝﹣3． （2）∵是十字分式方程，其解为x1＝a，x2＝b， ∴a3，a+b＝3，ab＝﹣1． ①∵a3，a+b＝3， ∴a2＝3a+1 ∴a2+3b＝3a+3b+1 ＝3（a+b）+1 ＝3×3+1 ＝10； ② 2 ＝﹣11． 23． 【解答】解：（1）∵A﹣B2， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）由题意得，C﹣D＝﹣1，即1， ∴1， 即（﹣2x+3）（2x+1）﹣E＝﹣4x2+1， ﹣4x2﹣2x+6x+3﹣E＝﹣4x2+1， 解得E＝4x+2； （3）P﹣Q ； 因为P与Q互为“差离分式”，12÷4＝3， 所以﹣n＝3，﹣（2n﹣m）＝4×3＝12， 所以n＝﹣3，m＝6， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $